高三数学一轮复习 第八篇 立体几何与空间向量 第6节 空间向量及其运算课件 理1.ppt

第6节空间向量及其运算 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 在空间直角坐标系中 在x轴上的点的坐标怎么记 在y轴上的点的坐标怎么记 在z轴上的点的坐标怎么记 提示 可记作 x 0 0 可记作 0 y 0 可记作 0 0 z 2 空间中任意两个非零向量a b共面吗 提示 共面 知识梳理 1 空间直角坐标系及有关概念 1 空间直角坐标系以空间一点o为原点 建立三条两两垂直的数轴 x轴 y轴 z轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系oxyz 其中点o叫做 x轴 y轴 z轴叫做 通过每两个坐标轴的平面叫做 2 右手直角坐标系在空间直角坐标系中 让右手拇指指向x轴的正方向 食指指向y轴的正方向 如果中指指向的正方向 则称这个坐标系为右手直角坐标系 3 空间一点m的坐标空间一点m的坐标可以用有序实数组 x y z 来表示 记作m x y z 其中x叫做点m的 y叫做点m的 z叫做点m的 坐标原点 坐标轴 坐标平面 z轴 横坐标 纵坐标 竖坐标 3 空间向量的有关概念 大小和方向 长度或模 1 0 相同 相等 相反 相等 互相平行 或重合 a b 平面 4 空间向量的有关定理及推论 a b p xa yb 不共面 p xa yb zc 基底 基向量 不共线 两向量的数量积 已知两个非零向量a b 则叫做向量a b的数量积 记作 即 aob 0 a b a b cos a b a b a b cos 2 两个向量数量积的性质和结论已知两个非零向量a和b a e a cos 其中e为单位向量 a b a b a b 3 空间向量数量积的运算律 数乘结合律 a b 交换律 a b 分配律 a b c a b 0 a a a 2 a b b a a b a c 5 空间向量运算的坐标表示设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 那么 加 减运算 a b 数量积 a b 数乘运算 a r 平行的充要条件 a b 垂直的充要条件 a b x y z x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1x2 y1y2 z1z2 x1 y1 z1 x1 x2 y1 y2 z1 z2 r x1x2 y1y2 z1z2 0 夯基自测 解析 中四点恰好围成一封闭图形 正确 中当a b同向时 应有 a b a b 所以 不正确 中a b所在直线可能重合 所以 不正确 中需满足x y z 1 才有p a b c四点共面 不正确 故选c c 解析 关于y轴对称 横 竖坐标变为原来的相反数 纵坐标不变 a c 4 已知a cos 1 sin b sin 1 cos 则向量a b与a b的夹角是 解析 因为 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 1 sin2 sin2 1 cos2 0 所以 a b a b 即向量a b与a b的夹角为90 答案 90 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 空间直角坐标系 例1 1 在空间直角坐标系中 点m 2 1 3 关于坐标原点的对称点为m 则m 在xoz上的投影m 的坐标是 2 已知点a 1 a 5 b 2a 7 2 a r 则 ab 的最小值是 解析 1 m 2 1 3 该点在xoz上的投影m 2 0 3 反思归纳 1 点p x y z 关于各点 线 面的对称点的坐标 2 两点间距离公式的应用 求两点间的距离或线段的长度 已知两点间的距离 确定坐标中参数的值 根据已知条件探求满足条件的点的存在性 解析 1 横坐标不变其余变为原来的相反数 故为 8 6 1 答案 1 8 6 1 2 3 0 0 考点二 空间向量的线性运算 反思归纳 1 用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量时 应结合已知和所求向量观察图形 将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中 然后利用三角形法则或平行四边形法则 把所求向量用已知基向量表示出来 2 向量加法的多边形法则首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算 空间向量的数量积的应用 考点三 2 求证 ac1 bd 3 求bd1与ac夹角的余弦值 反思归纳 1 求空间向量数量积的方法 定义法 设向量a b的夹角为 则a b a b cos 坐标法 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 求长度 距离 运用公式 a 2 a a 可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a b a b 0 a 0 b 0 可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 备选例题 例1 已知向量a 1 2 3 b x x2 y 2 y 并且a b