高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式课件 新人教版必修4.ppt

第三章三角恒等变换3 1两角和与差的正弦 余弦和正切公式3 1 1两角差的余弦公式 知识提炼 两角差的余弦公式 cos cos sin sin c 任意角 即时小测 1 思考下列问题 1 公式之间有什么关系 提示 公式是公式cos 的特例 即 2 cos cos cos 一定成立吗 何时成立 提示 当 60 30 时 cos cos30 而cos cos cos60 cos30 所以cos 60 30 cos60 cos30 因此对任意角 cos cos cos 不一定成立 而当 45 90 时 cos cos 45 90 cos45 cos cos cos45 cos90 cos45 此时cos cos cos 成立 即 2k k z 2n n z时 cos cos cos 成立 2 sin11 sin71 sin79 sin19 a 1b c d 解析 选d sin11 sin71 sin79 sin19 cos79 cos19 sin79 sin19 cos 79 19 cos60 3 若sin sin m cos cos n 则cos 解析 cos cos cos sin sin n m 答案 n m 4 计算 cos555 解析 cos555 cos 720 165 cos165 cos 180 15 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 答案 5 已知sin 则 解析 因为sin 所以 所以 答案 知识探究 知识点两角差的余弦公式观察图形 回答下列问题 问题1 观察上述图形 你能得出什么结论 问题2 根据公式c 要计算c 需要哪些量 总结提升 对公式c 的三点说明 1 公式的结构特点公式的左边是差角的余弦 右边的式子是含有同名函数之积的和式 可用口诀 余余正正号相反 记忆公式 2 公式的适用条件公式中的 不仅可以是任意具体的角 也可以是一个 团体 如中的 相当于公式中的角 相当于公式中的角 3 公式的 活 用公式的运用要 活 体现在顺用 逆用 变用 而变用又涉及两个方面 公式本身的变用 如 角的变用 也称为角的变换 如 题型探究 类型一给角求值 典例 1 sin7 cos23 sin83 cos67 的值为 a b c d 2 的值为 a b 1c d 3 cos105 sin195 解题探究 1 典例1中的求解关键是什么 提示 本题考查公式的逆用 如何将式子转化为两角差的余弦公式的展开式的形式是关键 2 典例2中的求解关键是什么 提示 本题考查公式的逆用 如何将特殊的数值变形为特殊角的三角函数值 使式子转化为两角差的余弦公式的展开式是关键 3 典例3中的求解思路是什么 提示 先利用诱导公式 然后再利用两角差的余弦公式求解 解析 1 选b 原式 cos83 cos23 sin83 sin23 cos 83 23 cos60 2 选c 原式 3 cos105 sin195 cos105 sin 90 105 cos105 cos105 2cos105 2cos 135 30 2 cos135 cos30 sin135 sin30 答案 方法技巧 运用两角差的余弦公式求值的关注点 1 运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征 切忌死记 2 在逆用两角差的余弦公式解题时 要善于进行角的变形 使之符合公式特征 3 在逆用公式解题时 还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值 变式训练 求下列各式的值 1 cos15 cos105 sin15 sin105 2 cos 35 cos 25 sin 35 sin 25 3 cos40 cos70 cos20 cos50 解析 1 原式 cos 15 105 cos 90 0 2 原式 cos 35 25 cos 60 3 原式 cos40 cos70 sin70 sin40 cos 70 40 cos30 类型二给值求值 典例 1 已知sin sin 且180 270 90 180 则cos 2 已知 且 求cos 的值 解题探究 1 典例1中 要求cos 还需要知道哪些量 计算未知量时要注意什么 提示 要求cos 还需要知道cos 和cos 计算时要注意 的取值范围 2 典例2中 已知角 如何建立关系 提示 解析 1 因为sin 180 270 所以cos 因为sin 90 180 所以cos 所以cos cos cos sin sin 答案 2 因为 所以 所以 所以 即cos 的值为 延伸探究 1 变换条件 若典例2中条件变为 则cos 的值如何 解析 因为又因为所以所以所以 2 变换条件 典例2中条件 改为 结果如何 解析 因为所以由得因为 方法技巧 给值求值问题的解题策略 1 从角的关系中找解题思路已知某些角的三角函数值 求另外一些角的三角函数值 要注意观察已知角与所求表达式中角的关系 根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换 2 常见角的变换 2 2 补偿训练 已知sin 则的值为 解析 由sin 且 得cos 所以答案 类型三给值求角 典例 1 2015 南昌高一检测 已知 为三角形的内角且cos sin 则 2 已知cos cos 且 求角 的值 解题探究 1 典例1中cos sin 通过怎样的变形之后才能应用两角差的余弦公式 提示 cos sin coscos sinsin 2 典例2中 已知角 与 与所求角 有什么关系 提示 2 解析 1 因为cos sin coscos sinsin 所以答案 2 由得sin 由得 cos cos sin sin 又因为所以所以2 所以 延伸探究 若本例2中求 的值 解析 因为所以又因为 所以cos cos cos cos sin sin 又因为所以 方法技巧 已知三角函数值求角的解题步骤 1 界定角的范围 根据条件确定所求角的范围 2 求所求角的某种三角函数值 为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数 3 结合三角函数值及角的范围求角 变式训练 已知 均为锐角 且求 的值 解析 因为 均为锐角 且所以所以cos cos cos sin sin 又因为所以又因为sin sin 所以 即 0 所以 0 所以 补偿训练 已知向量a cos sin b cos sin 0 且a b 求 的值 解析 因为a b 所以a b 0 即cos cos sin sin 0 从而cos 0 因为 0 所以 所以 易错案例灵活应用两角差的余弦公式求值 典例 2015 汕头高一检测 在 abc中 sin a b cosb 则cosa的值为 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 该解法忽略了隐含条件 没有注意角的范围 导致求值错误 在解题中应挖掘出这个隐含条件 自我矫正 在 abc中 因为所以所以 所以cosa cos a b b cos a b cosb sin a b sinb答案 防范措施 1 重视角的范围的计算应用两角差