2002数学建模题完整版.doc

数学建 模 钢管订购和运输二 问题分析问题一，所有钢管必须先运到天然气主管道铺设路线上的节点，以节点为中心向两边铺设。所以我们必须先求出每个钢管厂到每个节点的每单位钢管的最小运输费用。对最小运费的求解：先求出铁路网上钢管厂到铁路上任意两点，的最短路线的长度,用matlab求得对应的铁路单位运费；同理用求出公路网上的任意两点， 的最短公路路线的长度，结果乘以0.1得到公路运费。，j表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。每个铺设点分别向左右两个方向展开，通过Lingo编程求出最小铺设费用。运输费用加上购买费用再加上铺设费用就是我们所要求的总费用。问题二，通过问题一里面Lingo编程运行得出的结果，进行敏感度分析，由敏感度的定义可求出哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。同时我们从影子价格的角度进行分析，进行验证。三 模型的假设与符号说明1) 基本假设: 所需钢管均由 钢厂提供；钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计其它费用；假设运送的钢管路途中没有钢管的丢失和增加，也没有因为自然因素而产生损坏；把“钢厂钢管的销价和产量上限变化对总费用和运购计划的影响”理解为总费用和运购计划对钢厂钢管的销价和产量上限微小变化的敏感度问题；假设销价最小变化是1万元，产量上限的最小变化是1个单位。2) 符号说明: : 钢厂的最大生产能力; : 钢厂 的出厂钢管单位价格(单位: 万元) ;: 公路上一单位钢管的每公里运费( = 0. 1 万元) ; ：铁路网上两点间的单位钢管最少运输费用；：题图一公路网上两点间的单位钢管最少运输费用； ：题图二公路网上两点间的单位钢管最少运输费用；: 铁路上一单位钢管的运费(分段函数见表1) ; : 1 单位钢管从钢厂运到的最小费用(单位: 万元) ;: 从 到之间的距离(单位: 千米) ; : 钢厂运到的钢管数;: 运到地的钢管向左铺设的数目; : 运到地的钢管向右铺设的数目;：运到地的钢管向第三个方向铺设的数目;: = : 问题一中所求钢管订购、运输的总费用(单位: 万元) ;: 问题二中所求钢管订购、运输的总费用(单位: 万元) ;四 模型的建立与求解问题一的模型：针对题图一，用matlab编程求出单位钢管从运输到的最小运输费用，具体数据如下表1：用matlab编程如下：9function D,path=floyd(a)n=size(a,1);D=a;path=zeros(n,n);for i=1:n for j=1:n if D(i,j)=inf path(i,j)=j; end endendfor k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j)D(i,j)+D1(k,j+8) c(i,k)=D(i,j)+D1(k,j+8);%对于所有中转点，在铁路网和公路网上的下标相差8 end end endendfor i=1:7for k=1:15 if c(i,k)D(i,1)+D1(k,33) c(i,k)=D(i,1)+D1(k,33);%33代表第一个钢管生产厂S1点 end if c(i,k)D(i,6)+D1(k,34) c(i,k)=D(i,6)+D1(k,34);%34代表第六个钢管生产厂S6点 end if c(i,k)D(i,7)+D1(k,35) c(i,k)=D(i,7)+D1(k,35);%35代表第七个钢管生产厂S7点 endend%因为S1,S6,S7这三个钢管厂有公路直接连接到铺设节点，所以把这三个点单独处理end 运行结果如下：表1 单位钢管从运输到的最小运输费用（单位：万元）对表1的数据进行分析，我们得到一个非线性规划模型：目标函数是总费用W , 它包含三项: 钢管出厂总价Q , 运输费P , 及铺设费T. 即W = Q + P + T其中 ， ， 目标函数为： 约束条件为: 生产能力的限制: 运到的钢管用完: 与之间的钢管: 变量非负性限制: , 运到的钢管整数限制: 运用数学软件Lingo编程求解 最优最小费用万元问题二的模型通过分析问题一中关于销价的约束，Lingo运行后得到的结果得问题一用Lingo软件求解的编程：model: sets: supply/S1.S7/:p,s,t; need/A1.A15/:L,R,b; links(supply,need):c,x; endsets data: s=800 800 1000 2000 2000 2000 3000; b=104,301,750,606,194,205,201,680,480,300,220,210,420,500,; c=170.7 160.3 140.2 98.6 38.0 20.5 3.1 21.2 64.2 92.0 96.0 106.0 121.2 128.0 142.0 215.7 205.3 190.2 171.6 111.0 95.5 86.0 71.2 114.2 142.0 146.0 156.0 171.2 178.0 192.0 230.7 220.3 200.2 181.6 121.0 105.5 96.0 86.2 48.2 82.0 86.0 96.0 111.2 118.0 132.0 260.7 250.3 235.2 216.6 156.0 140.5 131.0 116.2 84.2 62.0 51.0 61.0 76.2 83.0 97.0 255.7 245.3 225.2 206.6 146.0 130.5 121.0 111.2 79.2 57.0 33.0 51.0 71.2 73.0 87.0 265.7 255.3 235.2 216.6 156.0 140.5 131.0 121.2 84.2 62.0 51.0 45.0 26.2 11.0 28.0 275.7 265.3 245.2 226.6 166.0 150.5 141.0 131.2 99.2 77.0 66.0 56.0 38.2 26.0 2.0; enddata min=sum(links(i,j):(p(i)+c(i,j)*x(i,j)+0.05*sum(need(j):L(j)2+L(j)+R(j)2+R(j); for(supply(i):sum(need(j):x(i,j)=500*t(i); for(supply(i):sum(need(j):x(i,j)D(i,j)+D2(k,j+8) h(i,m)=D(i,j)+D2(k,j+8); end end m=m+1; endendfor i=1:7 m=1; for k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,24,27,28,29,30,34 if h(i,m)D(i,1)+D2(k,33) h(i,m)=D(i,1)+D2(k,33); end if h(i,m)D(i,6)+D2(k,34) h(i,m)=D(i,6)+D2(k,34); end if h(i,m)D(i,7)+D2(k,35) h(i,m)=D(i,7)+D2(k,35); end m=m+1; endend运行结果如下：结果分析：1）确定哪个钢厂的销价的变化对购运计划和总费用的影响最大 我们假设该钢厂的销价变化在10%万元以内，这是较为合理的，将目标函数的w表示为的函数：因此在销价的变化量相同时，越大，则的变化对w的变化影响越大。由模型Obj1计算得到的数据可以知道单位是最大的，所以S6的销价变化对购运计算和总费用的影响最大，我们可以通过简单的分析来证明：由于S6提供的数量最大，销价只要很小变化的，就会引起总费用的很大变化 除了销价的升高，我们还必须考虑销价的降低，此时应尽量满足提供量最少的点S5，当价格越来越低，S5点的提供量将增加，它在总需求中占的份额增加，影响增强，对于S5上升的速度将放慢。 2）确定哪个钢厂的生产上限的变化对物运计划和总费用的影响最大由于S1是A1到A8的最优首选，因此若S1与其他Si同时扩大相同的S容量，则S1会更优，所以推断S1应为影响最大者。利用计算机模拟，得到5个供货钢厂分别扩建1%，2%，4%，6%，8%，10%时的成本的增长率，见表 。可以看出，相同的S下A1产生的增长率最大，符合上述分析。一旦工厂扩建范围超过最大需求量，则不再会使目标函数优化，则此时增长率为0。而对于S1，一旦S12536,则其增长率也为0。（S1的数字结果见表 2 ）表2 某个Si在变化S的情况下目标函数减小量及减小的比率sS1S2S3S5S6z(万元)z/z(%)z（万元)z/z (%)z（万元)z/z (%)z(万元)z/z (%)z(万元)z/z (%)1%8720.0683280.0253100.02400002%17440.1366560.0516200.04800004%34880.27213120.10212400.09600006%52320.40819680.15318600.14500008%69760.54426240.20424800.193000010%87200.68532800.25631000.2420000以上即为敏感度分析的结果。再从影子价格的角度进行验证：影子价格表示在最优解下“资源”增加一个单位时“效益”的增量，即每个钢厂销售价格每减少一万元，对总费用的影响。从表中数据分析，S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用的影响最大。通过分析问题一中关于产量的约束，Lingo运行后得到的结果得 分析表中数据，得S1钢厂钢管的产量上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。比较两者分析的结果：从敏感度分析可以看出对于S1，一旦S12536，即一旦工厂扩建范围超过最大需求量，则不再会使