高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案.docx

11.2 & 1.1.3四种命题四种命题间的相互关系四种命题提出问题观察下列四个命题：(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定导入新知1四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题2四种命题结构化解疑难1用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p，q的否定2四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的.四种命题之间的关系提出问题问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题导入新知1四种命题之间的关系2四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系化解疑难互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.四种命题的概念例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x2时，x23x20.解(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等(2)原命题：若x2，则x23x20；逆命题：若x23x20，则x2；否命题：若x2，则x23x20；逆否命题：若x23x20，则x2.类题通法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变活学活用把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：(1)正数a的平方根不等于0；(2)平行于同一条直线的两条直线平行解：(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.是真命题逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数是假命题否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.是假命题逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数是真命题(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行是真命题逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线是真命题否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行是真命题逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线是真命题.四种命题真假的判断例2有下列四个命题：(1)“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若xy，则x2y2”的逆否命题；(3)“若x3，则x2x60”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是()A0B1C2 D3解选B(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x0，y1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x3，则x2x60”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题类题通法解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可活学活用写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假(1)在ABC中，若BCAC，则AB；(2)相等的两个角的正弦值相等解：(1)逆命题：在ABC中，若AB，则BCAC.真命题否命题：在ABC中，若BCAC，则AB.真命题逆否命题：在ABC中，若AB，则BCAC.真命题(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等假命题否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等假命题逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等真命题.等价命题的应用例3证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.解证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”若ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题法二：假设ab0，则ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知条件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾因此假设不成立，故ab0.类题通法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题活学活用证明：若m2n22，则mn2.证明：将“若m2n22，则mn2”视为原命题，则它的逆否命题为“若mn2，则m2n22”由于mn2，则m2n2(mn)2222，所以m2n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题典例将命题“当a0时，函数yaxb是增函数”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题解“若p，则q”的形式：若a0，则函数yaxb是增函数否命题：若a0，则函数yaxb不是增函数易错防范1“a0”的否定易误为“a0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学者易犯的错误2在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题中，实数a可能有三种取值，分别为a0，a0，a0，从而a0的否定是a0. 成功破障(山东高考)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0解析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”故选D.随堂即时演练1命题“若aA，则bB”的否命题是()A若aA，则bBB若aA，则bBC若bB，则aA D若bB，则aA解析：选B命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“”与“”互为否定形式2给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A3B2C1 D0解析：选C原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数yf(x)的图象不过第四象限，则函数yf(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个3命题“若x1，则x0”的逆命题是_，逆否命题是_答案：若x0，则x1若x0，则x14在原命题“若ABB，则ABA”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_解析：逆命题为“若ABA，则ABB”；否命题为“若ABB，则ABA”；逆否命题为“若ABA，则ABB”；全为真命题答案：45已知命题p：“若ac0，则二次不等式ax2bxc0无解”(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假解：(1)命题p的否命题为：“若ac0，则二次不等式ax2bxc0有解”(2)命题p的否命题是真命题判断如下：因为ac0，所以ac0b24ac0二次方程ax2bxc0有实根ax2bxc0有解所以该命题是真命题课时达标检测一、选择题1命题“若ab，则”的逆命题是()A若ab，则B若ab，则C若，则abD若，则ab解析：选D原命题的条件是ab，把它作为逆命题的结论；原命题的结论是，把它作为逆命题的条件，即得逆命题“若，则ab”2命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B命题“若a3，则a6”的逆命题为“若a6，则a3”，为假命题，则它的否命题“若a3，则a6”也必为假命题；它的逆否命题“若a6，则a3”为真命题故真命题的个数为2.3与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A能被3整除的整数，一定能被6整除B不能被3整除的整数，一定不能被6整除C不能被6整除的整数，一定不能被3整除D不能被6整除的整数，能被3整除解析：选B即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题4若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A互逆命题 B互否命题C互为逆否命题 D以上都不正确解析：选A设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”故q与r为互逆命题5下列四个命题：“若xy0，则x0，且y0”的逆否命题；“正方形是矩形”的否命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题；若m2，则不等式x22xm0.其中真命题的个数为()A0 B1C2 D3解析：选B命题的逆否命题是“若x0，或y0，则xy0”，为假命题；命题的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，为假命题；命题为真命题，当m2时，方程x22xm0的判别式0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.二、填空题6命题“若x1，则x210”的真假性为_解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x210，则x1”，因为x210时，x1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题答案：假命题7已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_解析：由已知得，若1x2成立，则m1xm1也成立1m2.答案：1,28下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_(填序号)解析：命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断答案：和，和和，和和，和三、解答题9写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假(1)等高的两个三角形是全等三角形；(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高它是真命题否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等它是真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高它是假命题(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线它是假命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧它是假命题逆否命题：若一条直