2.1函数值域的几种求法.doc

函数值域的若干求法一. 函数值域的几点解读在函数中，与自变量的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合即为函数的值域。实质上1.当函数用表格给出时，其值域指表格中实数的集合。2.当函数的图象给出时，其值域即为图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合。3.当函数用解析式给出时，其值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。4.当函数由实际问题给出时，其值域由问题的实际意义确定。二.求函数值域的几种方法（一）观察法：对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域。例1：求下列函数的值域 解： 且 所以函数的值域是： 所以函数 的值域是（二）配方法： 对于二次三项式有关问题，常根据求解问题的要求，采用配方法来解决。对于含有二次三项式的函数，也常用配方法来求其值域。 例2：求下列函数的值域 解： 配方得： 所以函数的值域是： 显然 的最大值是9 函数 的最大值是3 且 所以函数的值域是： （三） 图象法 就是利用函数图象的直观性求函数值域的方法 例3：求函数的值域解：将函数化为分段函数： 函数图象如图示：显然所以函数的值域是：（四）换元法：对于一些无理函数或超越函数，通过换元把它们化为有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出。例4：求下列函数的值域 （1） （2） 解：令 则 由二次函数最大值是 知 当 时 当 时 所以函数的值域是： （2）设 则 且 于是 所以函数的值域是：（五） 反函数法若一个函数是到值域上的一一映射，且反函数易求，则可利用反函数的定义域求原函数的值域例5：求下列函数的值域 （1） （2） 解：（1） 易求原函数的反函数为： 由于原函数的定义域为 可得不等式组 所以 或 所以函数 的值域是：（2）易知原函数的定义域为R，由函数解析式解出有：当 时有 故当且仅当 时有实数解所以函数的值域是：（六） 判别式法：即利用一元二次方程根的判别式求。若一个有理函数式可化为关于的一元二次方程，则可利用 来求函数值域。 例6：求下列函数的值域（1） （2） 解：（1）， 由 可知 R 分母 恒不为0，则原式可化为 整理成关于 的方程得： 解得： （若方程显然不成立）所以函数 的值域是：（2）， 将函数两边平方得： 于是: 由于 是实数，故 或 得： 因为函数的定义域为 ，显然 所以函数 的值域是：（七）不等式法 利用基本不等式 求函数的值域，要注意条件“一正、二定、三相等”例7：求函数的值域 解： ，当 时， 当 时所以函数的值域是：（八）函数单调性法 利用函数在定义域中的单调性求其值域例8：求函数的值域 解： 令 ，故不能使用不等式，但 在 时为增函数 所以函数的值域是：（九）分离系数法 对于一次分式函数，用分离系数法，则较为简单例9：求的值域解： 且 所以函数 的值域是：（十）三角函数法 即利用三角函数的有界性求函数值域例10：（十一）导数法 求函数 的值域解：令得，由于，故比较可知的最大值是3，最小值是，值域为（ 十一）几