河南省洛阳市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷-理(含解析).doc

河南省洛阳市2016-2017学年高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1若i为虚数单位，a，bR，且=b+i，则复数a+bi的模等于（）ABCD2命题“若ab，则acbc”的逆否命题是（）A若ab，则acbcB若acbc，则abC若acbc，则abD若ab，则acbc3设x0，由不等式x+2，x+3，x+4，推广到x+n+1，则a=（）A2nB2nCn2Dnn4设随机变量N（2，1），若P（3）=m，则p（13）等于（）A2mB1mC12mDm5抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=两次的点数均为奇数，B=两次的点数之和小于7，则P（B|A）=（）ABCD6用数学归纳法证明“”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（）A2k1B2k1C2kD2k+17学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：不关注关注总计男生301545女生451055总计7525100根据表中数据，通过计算统计量K2=，并参考一下临界数据：P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83若由此认为“学生对2018年俄罗斯年世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（）A0.10B0.05C0.025D0.018某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（）A20种B15种C10种D4种9设随机变量XB（2，p），随机变量YB（3，p），若P（X1）=，则D（Y+1）=（）A2B3C6D710已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则AOB的面积为（）A8B4C2D11设等差数列an满足（1a1008）5+2016（1a1008）=1，（1a1009）5+2016（1a1009）=1，数列an的前n项和记为Sn，则（）AS2016=2016，a1008a1009BS2016=2016，a1008a1009CS2016=2016，a1008a1009DS2016=2016，a1008a100912设函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd（0，1）和命题q：a+b+c+de+e12，e2+e22）真假的判断，正确的是（）Ap假q真Bp假q假Cp真q真Dp真q假二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设函数f（x）=，则定积分f（x）dx= 14某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568由表中的数据得线性回归方程=bx+中的b=20，预测当产品价格定为9.5（元）时，销量为 件15已知x，y满足约束条件，若yx的最大值是a，则二项式（ax）6的展开式中的常数项为 ，（用数字作答）16若函数h（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）图象的对称中心为M（x0，h（x0），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g（x0）=0，设函数f（x）=x33x2+2，则f（）+f（）+f（）+f（）= 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足bcosC+c=a（1）求ABC的内角B的大小；（2）若ABC的面积S=b2，试判断ABC的形状18（12分）已知正项数列an的首项a1=1，且（n+1）a+anan+1na=0对nN*都成立（1）求an的通项公式；（2）记bn=a2n1a2n+1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn19（12分）第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园（1）若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？（2）每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设X，Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记=|XY|，求随机变量的分布列和数学期望E（）20（12分）如图，已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N中，ANBB1，ABAN，CB=BA=AN=BB1（1）求证：BN平面C1B1N；（2）求二面角CC1NB的大小21（12分）已知椭圆C的方程为+=1（ab0），双曲线=1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为4（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，过F2作直线l（与x轴不重合）交于椭圆于A，B两点，线段AB的中点为E，记直线F1E的斜率为k，求k的取值范围22（12分）设函数f（x）=xlnx+ax，aR（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若对x1，f（x）（b+a1）xb恒成立，求整数b的最大值2016-2017学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（2017春洛阳期末）若i为虚数单位，a，bR，且=b+i，则复数a+bi的模等于（）ABCD【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求【解答】解：由=b+i，得a+2i=i（b+i）=1+bi，a=1，b=2，则a+bi的模等于故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，训练了复数模的求法，是基础题2（2017春洛阳期末）命题“若ab，则acbc”的逆否命题是（）A若ab，则acbcB若acbc，则abC若acbc，则abD若ab，则acbc【考点】21：四种命题【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，写出即可【解答】解：命题“若ab，则acbc”的逆否命题是“若acbc，则ab”故选：B【点评】本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题3（2017春洛阳期末）设x0，由不等式x+2，x+3，x+4，推广到x+n+1，则a=（）A2nB2nCn2Dnn【考点】F1：归纳推理【分析】结合已知的三个不等式发现第二个加数的分子是分母x的指数的指数次方，由此得到一般规律【解答】解：设x0，由不等式x+2，x+3，x+4，推广到x+n+1，所以a=nn；故选D【点评】本题考查了合情推理的归纳推理；关键是发现已知几个不等式中第二个加数的分子与分母中x的指数的变化规律，找出共同规律4（2017春洛阳期末）设随机变量N（2，1），若P（3）=m，则p（13）等于（）A2mB1mC12mDm【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】利用正态分布的对称和概率之和等于1的特点进行计算【解答】解：随机变量服从正态分布N（2，1），P（1）=P（3）=m，P（13）=12m故选：C【点评】本题考查了正态分布的特点，属于基础题5（2017春洛阳期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=两次的点数均为奇数，B=两次的点数之和小于7，则P（B|A）=（）ABCD【考点】CM：条件概率与独立事件【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A包含的基本事件数，与在A发生的条件下，事件B包含的基本事件数，再用公式求出概率【解答】解：由题意事件记A=两次的点数均为奇数，包含的基本事件数是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）共9个基本事件，在A发生的条件下，B=两次的点数之和小于7，包含的基本事件数是（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3 ），（5，1）共6个基本事件P（B|A）=故选：D【点评】本题考查条件概率，考查古典概型概率的计算，解题的关键是正确理解与运用条件概率公式属于基础题6（2017春洛阳期末）用数学归纳法证明“”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（）A2k1B2k1C2kD2k+1【考点】RG：数学归纳法【分析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论【解答】解：用数学归纳法证明等式”时，当n=k时，左边=1+，那么当n=k+1时，左边=1+，由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了共2k+12k=2k项，故选：C【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题7（2017春洛阳期末）学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：不关注关注总计男生301545女生451055总计7525100根据表中数据，通过计算统计量K2=，并参考一下临界数据：P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83若由此认为“学生对2018年俄罗斯年世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（）A0.10B0.05C0.025D0.01【考点】BO：独立性检验的应用【分析】根据表中数据计算统计量K2，参考临界数据，即可得出结论【解答】解：根据表中数据，计算统计量K2=3.032.706，参考临界数据知，认为“学生对2018年俄罗斯年世界杯的关注与性别有关”，此结论出错的概率不超过0.10故选：A【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题8（2017春洛阳期末）某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（）A20种B15种C10种D4种【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，安取出数学参考书的数目分4种情况讨论：、若取出的4本书全部是数学参考书，、若取出的4本书有1本语文参考书，3本数学参考书，、若取出的4本书有2本语文参考书，2本数学参考书，、若取出的4本书有3本语文参考书，1本数学参考书，分别求出每一种情况的赠送方法数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：、若取出的4本书全部是数学参考书，将其赠送给4位学生，有1种情况，、若取出的4本书有1本语文参考书，3本数学参考书，需要在4个学生中选取1人，接受语文参考书，剩下的3人接受数学参考书，有C41=4种赠送方法，、若取出的4本书有2本语文参考书，2本数学参考书，需要在4个学生中选取2人，接受语文参考书，剩下的2人接受数学参考书，有C42=6种赠送方法，、若取出的4本书有3本语文参考书，1本数学参考书，需要在4个学生中选取3人，接受语文参考书，剩下的1人接受数学参考书，有C43=4种赠送方法，则一共有1+4+6+4=15种赠送方法，故选：B【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意语文参考书和数学参考书都是相同的9（2017春洛阳期末）设随机变量XB（2，p），随机变量YB（3，p），若P（X1）=，则D（Y+1）=（）A2B3C6D7【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】利用间接法求出p，代入二项分布的方差公式计算D（Y），于是D（Y+1）=3D（Y）【解答】解：P（X1）=1P（X=0）=1（1p）2=，p=，D（Y）=3=，D（Y+1）=3D（Y）=2故选：A【点评】本题考查了二项分布的概率公式，方差计算，方差的性质，属于中档题10（2017春洛阳期末）已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若=3，O为坐标原点，则AOB的面积为（）A8B4C2D【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出AOB的面积【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（，0），由抛物线的定义可知：|AF|=|AD|，|BC|=|BF|，过B做BEAD，由=3，则丨丨=丨丨，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，直线AB的倾斜角为60，直线AB的方程为y=（x）=x3，联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理得：3x210x+9=0，由韦达定理可知：x1+x2=，则丨AB丨=x1+x2+p=+2=，而原点到直线AB的距离为d=，则三角形AOB的面积S=丨AB丨d=4，当直线AB的倾斜角为120时，同理可求S=4，故选B【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11（2017春洛阳期末）设等差数列an满足（1a1008）5+2016（1a1008）=1，（1a1009）5+2016（1a1009）=1，数列an的前n项和记为Sn，则（）AS2016=2016，a1008a1009BS2016=2016，a1008a1009CS2016=2016，a1008a1009DS2016=2016，a1008a1009【考点】85：等差数列的前n项和【分析】（1a1009）5+2016（1a1009）=1，变为：（1+a1009）5+2016（1+a1009）=1，令f（x）=x5+2016x1，f（x）=5x4+20160，因此方程f（x）=0最多有一个实数根由f（0）0，f（1）0，因此f（x）=0有一个实数根x0（0，1）再利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出【解答】解：（1a1009）5+2016（1a1009）=1，变为：（1+a1009）5+2016（1+a1009）=1，令f（x）=x5+2016x1，f（x）=5x4+20160，因此方程f（x）=0最多有一个实数根f（0）=10，f（1）=20160，因此f（x）=0有一个实数根x0（0，1）1a1008=a100910，可得a1008+a1009=2，a10081a1009S2016=2016故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题12（2017春洛阳期末）设函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd（0，1）和命题q：a+b+c+de+e12，e2+e22）真假的判断，正确的是（）Ap假q真Bp假q假Cp真q真Dp真q假【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】画出函数f（x）=的图象，根据a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），令abcd，根据对数的运算性质，及c，d的取值范围得到abcd的取值范围，再利用对勾函数的单调性求出a+b+c+d的范围得答案【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，不妨设abcd，图中实线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m（2，1，则a，b是x2+2xm1=0的两根，a+b=2，ab=m1，ab0，1），且lnc=m，lnd=m，ln（cd）=0，cd=1，abcd0，1），故正确；由图可知，c（，又cd=1，a+b=2，a+b+c+d=c+2，在（，是递减函数，a+b+c+de+2，e2+2），故正确p真q真故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（2017春洛阳期末）设函数f（x）=，则定积分f（x）dx=【考点】67：定积分【分析】利用定积分的运算法则，将所求写成两个定积分相加的形式，然后分别计算定积分即可【解答】解：函数f（x）=，则定积分f（x）dx=（）|+|=；故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算；利用定积分运算法则的可加性解答14（2017春洛阳期末）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483807568由表中的数据得线性回归方程=bx+中的b=20，预测当产品价格定为9.5（元）时，销量为60件【考点】BK：线性回归方程【分析】由题意求出，利用公式求出，即可得出线性回归方程，当x=9.5时，可得结论【解答】解：由题意： =8.5；=80=20=80+208.5=250，从而得到回归直线方程为：y=20x+250当x=9.5时，可得y=60故答案为：60【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题15（2017春洛阳期末）已知x，y满足约束条件，若yx的最大值是a，则二项式（ax）6的展开式中的常数项为540，（用数字作答）【考点】7C：简单线性规划【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合yx的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项【解答】解：已知得到可行域如图：设z=yx变形为y=x+z，当此直线经过图中B（0，3）时，直线在y轴的截距最大，z最大，所以z 的最大值为3，所以a=3，二项式（3x）6的通项为，所以r=3时，展开式中的常数项为=540；故答案为：540【点评】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出a，然后由二项展开式通项求常数项16（2017春洛阳期末）若函数h（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）图象的对称中心为M（x0，h（x0），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g（x0）=0，设函数f（x）=x33x2+2，则f（）+f（）+f（）+f（）=0【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值【分析】求出f（x）的对称点，利用f（x）的对称性得出答案【解答】解：f（x）=3x26x，f（x）=6x6，令f（x）=0得x=1，f（x）的对称中心为（1，0），=2，f（）+f（）=f（）+f（）=f（）+f（）=0，又f（）=f（1）=0f（）+f（）+f（）+f（）=0故答案为：0【点评】本题考查了函数的对称性判断与应用，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）（2017春洛阳期末）已知ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足bcosC+c=a（1）求ABC的内角B的大小；（2）若ABC的面积S=b2，试判断ABC的形状【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理化简可得答案（2）根据ABC的面积S=b2=acsinB建立关系，结合余弦定理，即可判断【解答】解：（1）bcosC+c=a由正弦定理，可得sinBcosCsinC=sinAsinA=sin（B+C）sinBcosC+sinC=sinBcosC+sinCcosB0C，sinC0cosB=0B，B=（2）由ABC的面积S=b2=acsinB，可得：b2=ac由余弦定理：cosB=，得：a2+c22ac=0，即（ac）2=0a=c故得ABC是等腰三角形【点评】本题考查ABC的面积的运用来判断三角形，以及正余弦定理的合理运用属于基础题18（12分）（2017春洛阳期末）已知正项数列an的首项a1=1，且（n+1）a+anan+1na=0对nN*都成立（1）求an的通项公式；（2）记bn=a2n1a2n+1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）（n+1）a+anan+1na=0对nN*都成立分解因式可得：（n+1）an+1nan（an+1+an）=0，由an+1+an0，可得（n+1）an+1nan=0，即=利用“累乘求积”方法即可得出（2）bn=a2n1a2n+1=利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出【解答】（1）解：（n+1）a+anan+1na=0对nN*都成立（n+1）an+1nan（an+1+an）=0，an+1+an0，（n+1）an+1nan=0，即=an=1=（2）证明：bn=a2n1a2n+1=数列bn的前n项和为Tn=+=即Tn【点评】本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）（2017春洛阳期末）第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园（1）若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？（2）每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设X，Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记=|XY|，求随机变量的分布列和数学期望E（）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意可得：共有2种不同的分配方案（2）对于两个公园分配人数分别为：0，5；1，4；2，3；3，2；4，1；5，0可得=|XY|的取值分别为：1，3，5于是P（=1）=，P（=3）=，P（=5）=【解答】解：（1）学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有2=6种不同的分配方案（2）对于两个公园分配人数分别为：0，5；1，4；2，3；3，2；4，1；5，0=|XY|的取值分别为：1，3，5P（=1）=，P（=3）=，P（=5）=可得分布列： 1 3 5 P E=1+2+3=【点评】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、组合数的计算公式、分类讨论方法、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）（2017春洛阳期末）如图，已知矩形BB1C1C所在平面与底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N中，ANBB1，ABAN，CB=BA=AN=BB1（1）求证：BN平面C1B1N；（2）求二面角CC1NB的大小【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明BC平面ABB1N，建立空间坐标系，利用向量证明BNNB1，NBB1C1，故而得出结论；（2）求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小【解答】（1）证明：四边形BB1C1C是矩形，BCBB1，平面BB1C1C底面ABB1N，平面BB1C1C底面ABB1N=BB1，BC平面BB1C1C，BC平面ABB1N，以B为原点，以BA，BB1，BC为坐标轴建立空间直角坐标系Bxyz，设AB=1，则B（0，0，0），N（1，1，0），B1（0，2，0），C1（0，2，1），C（0，0，1）=（1，1，0），=（1，1，0），=（0，0，1），=1+1=0， =0，BNNB1，BNB1C1，又NB1B1C1=B1，BN平面C1B1N（2）解： =（1，1，1），=（1，1，1），=（0，2，0），设平面BNC1的法向量为=（x，y，z），则， =0，令x=1得=（1，1，2），同理可得平面CNC1的法向量为=（1，0，1），cos=二面角CC1NB的大小为30【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用，空间角的计算，属于中档题21（12分）（2017春洛阳期末）已知椭圆C的方程为+=1（ab0），双曲线=1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为4（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2分别为椭圆C的左，右焦点，过F2作直线l（与x轴不重合）交于椭圆于A，B两点，线段AB的中点为E，记直线F1E的斜率为k，求k的取值范围【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由双曲线的渐近线方程及斜率公式，即可求得