高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结.doc

二、双曲线1、（21）（本小题满分14分）08天津已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（）求双曲线C的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分14分（）解：设双曲线的方程为（）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线的方程为（）点，的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个一等实根，于是，且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是2、（2008上海理18）已知双曲线，为上的任意点。（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值；解；（1）设是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是和. 点到两条渐近线的距离分别是和， 它们的乘积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一常数. （2）设的坐标为，则 ， 当时，的最小值为，即的最小值为. 3、（2007湖南理20）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点.（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：由条件知，设，.解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为.当不与轴垂直时，即.又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即.将代入上式，化简得.当与轴垂直时，求得，也满足上述方程.所以点的轨迹方程是.（II）假设在轴上存在定点，使为常数.当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根，所以，于是.因为是与无关的常数，所以，即，此时=.当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时.故在轴上存在定点，使为常数.解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是.代入有.则是上述方程的两个实根，所以. 由得. 当时，由得，将其代入有.整理得.当时，点坐标为，满足上述方程.当与轴垂直时，求得，也满足上述方程.故点的轨迹方程是.（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，.以上同解法一的（II）.4、21（本小题满分12分）06山东双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。（1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。解：（）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ，双曲线的方程为（）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，则在双曲线上，同理有：若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.，此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程，则.，分的比为.由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则.， .， ，又，即将代入得，否则与渐近线平行。 解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，则 , 。同理 .即。（*）又消去y得.当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。由韦达定理有： 代入（*）式得所求Q点的坐标为例1求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（mR)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角及其取值范围.选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.解：(1)当m=2时，x1x22，直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角= (2)当m2时，直线l的斜率k=m2时，k0.=arctan,（0，），当m2时，k0arctan，(,).说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围.例2若三点A(2，3），B（3，2），C（，m）共线，求m的值.选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.解：A、B、C三点共线，ABAC，解得m=.说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.例3已知两点A(1,5),B(3,2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.选题意图：强化斜率公式.解：设直线l的倾斜角，则由题得直线AB的倾斜角为2.tan2=AB=即3tan2+8tan3=0，解得tan或tan3.tan20,0