高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系本讲小结学案 新人教A版选修4-1.doc

第二节 平面与圆柱面的截线整合提升知识网络典例精讲 直线与圆的位置关系是初等几何的核心,通过本章学习进一步熟悉并应用分类思想、运动变化思想和猜想与证明的数学思想方法. 本讲有四类问题,一是与圆有关角的计算与证明,二是圆内接四边形性质与判定,三是切线的性质与判定,四是与圆有关线段的计算与证明.【例1】 如图2-1,eb、ec是o的两条切线,b、c是切点,a、d是o上两点,如果e=46,dcf=32,则a的度数是_.图2-1思路分析:要求a,可转化为求bcd.由已知dcf的度数,想到先求ecb的度数,从而注意到题目所给的eb、ec为切线,将ecb与e的度数联系起来.解法一:eb、ec是o的切线,ec=eb.又e=46,ecb=67.dcf=32,bcd=180-67-32=81.a+bcd=180,a=180-81=99.温馨提示 本解法借助切线长定理和圆内接四边形的有关性质,此题还可借助于弦切角定理来求.解法二:连结ac,eb、ec是o切线,图2-2eb=ec.ecb=67.ef切o于点c,bac=ecb=67,cad=dcf=32.bad=bac+dac=67+32=99.答案:99【例2】 如图2-3,d、e是abc的bc、ac两边上两点,且adb=aeb.求证:ced=abc.图2-3思路分析:要证ced=abc,容易想到圆内接四边形的性质.而证a、b、d、e四点共圆,用圆内接四边形判定定理不易找到条件,我们采用分类讨论思想.证明:作abe的外接圆o,则点d与o有三种位置关系:点d在圆外;点d在圆内;点d在圆上.(1)如果点d在圆外,设bd与o交于点f,连结af,则afb=aeb,而aeb=adb.afb=adb.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点d不能在圆外.(2)如果点d在圆内,设o与cd交于f,连结af,则afb=aeb.又aeb=adb,afb=adb.这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾.故点d不可能在圆内.综上所求,a、b、d、e在同一圆上.ced=abc.温馨提示 通过证四点共圆,然后利用圆内接四边形的性质是本题的一个特色,四点共圆的证明除了圆内接四边形的判定定理及推论外,定理本身的证明方法就是一种有效的证法.证法中分类讨论思想是该证法的精髓,以反证法和圆周角定理作为辅助手段.【例3】如图2-4,已知rtabc中,b=90,ac=13,ab=5,o是ab上的点,以o为圆心,ob为半径作o.(1)当ob=2.5时,o交ac于点d,求cd的长.(2)当ob=2.4时,ac与o的位置关系如何?试证明你的结论.图2-4思路分析:求cd的长容易想到利用圆幂定理.其中ac已知,只需求bc并证bc为切线即可.解:(1)在rtabc中,bc=12.b=90,ob为半径,bc是o切线.又ab=5,ob=2.5,oa=2.5,即a在圆上.由切割线定理,得bc2=cdac.cd=.(2)当ob=2.4时,ac是o的切线,如图2-5.图2-5证明:过o作omac于m,则aomacb.om=2.4,即点o到ac的距离等于o的半径.ac切o于点m.【例4】 如图2-6,已知p是直径ab延长线上的一点,割线pcd交o于c、d两点,弦dfab于点h,cf交ab于点e.(1)求证:papb=pope;(2)若decf,p=15,o的半径为2,求cf的长.图2-6思路分析:由papb立刻想起割线定理.只需证pcpd=pope.(1)证明:连结od.dfab,=.又aod度数等于度数的一半,dcf度数等于度数的一半,aod=dcf.180-aod=180-dcf.pod=pce,p为公共角.pcepod.pcpd=pope.由割线定理pcpd=papb,papb=pope.(2)解析:abdf,de=ef.decf,def为等腰直角三角形.f=feh=hde=45.p=15,dcf=p+cep=15+45=60.doh=60.在rtodh中,dh=odsindoh=2sin60=.在rtdhe中,de=.在rtcde中,dce=60,ec=decot60=.cf=ef+ce=.温馨提示 在圆中证明线段的关系式首要考虑的是圆幂定理,结合相似三角形进行等比代换或等线代换;圆中角的关系,则往往利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化.【例5】 如图2-7,四边形abcd内接于o, =,e为cb延长线bm上的动点,当e点运动到某一位置满足一定条件时,就有abda=becd成立,问该结论成立的条件是什么?请注明条件并给予证明.图2-7思路分析:若abda=becd成立,则需成立,考虑利用abe与acd相似,其中abe=d,acd=acb,只需eab=acb,只要ea是o切线.当ea切o于a时,abda=becd成立.证明:连结ac,ea切o于a,eab=acb.ad=ab,acb=acd