量子力学导论 第九章 chap9 力学量本征值问题的代数解法.doc

第九章 力学量本征值问题的代数解法9.1 一维谐振子的Schrdinger因式分解法 升、降算符一、Hamilton量的代数表示一维谐振子的Hamilton量可表为采用自然单位（），（此时能量以为单位，长度以为单位，动量以为单位）则而基本对易式是。令，其逆为，。利用上述对易式，容易证明(请课后证明)将两类算符的关系式，代入一维谐振子的Hamilton量，有上式就是Hamilton量的因式分解法，其中。由于，而且在任何量子态下所以为正定厄米算符二、Hamilton量的本征值下面证明，若的本征值为，则的本征值为（自然单位，），证明：设|n为的本征态( n为正实数)，即利用及容易算出，因此。但上式 左边由此可得。这说明，也是的本征态，相应本征值为。如此类推，从的本征态出发，逐次用运算，可得出的一系列本征态，相应的本征值为，因为为正定厄米算子，其本征值为非负实数。若设最小本征值为，相应的本征态为，则此时即是的本征值为0的本征态，或。此态记为，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为。利用同样可以证明这说明也是的本征态，本征值为。利用上式及，从出发，逐次用运算，可得出的全部本征态：利用，有。已知是的本征态，本征值是0由可知即也是的本征态，本征值是1。下面看是否也是的本征态，本征值是多少？显然故也是的本征态，本征值是2。这样对本征态 ，本征值为， ， ，本征值为， ， ，所以，可以成为上升算符，可以称为下降算符。证毕。这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。利用归纳法可以证明（课下证）：（即）的归一化本征态可表为（为什么？）且满足，由得所以从而有而由得所以或上式作用任一左矢，有利用，有，代入上式，即或利用，上式变为移项，得。上式对任意m都成立，所以或。连同，这就是下降和上升算符的定义,很有用处。三、升降算符的应用1. 坐标和动量算符的矩阵元计算利用以及，容易证明：拿第一式的证明为例。因为，所以2. 能量本征态在坐标表象中的表示考虑基态，它满足即。在坐标表象中，上式可以写为插入完备性关系得已经知道令，代入前式可以得出利用积分中函数的性质可得把，并注意，有解出得添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一化基态波函数为而坐标表象中激发态的波函数为由于，添上长度的自然单位，可得所以上次课复习，升降算符的应用四、S-方程因式分解的条件上述的因式分解法是Schrdinger提出来的。可以证明，对于存在束缚态的一维势阱，只要基态能量有限, 存在,则可定义相应的升降算符，并对Hamilton量进行因式分解。另外还可以证明，对于r幂函数形式的中心势，只当（Coulomb势）或 (各向同性谐振子势)时，径向S-方程才能因式分解。总之，S -方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。9.2 角动量算符的本征值和本征态前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。一、一般角动量算符的对易关系如果算符，其三个分量满足下列对易关系，则以作为三个分量的矢量算符称为角动量算符。且式，称为角动量的基本对易式。轨道角动量，自旋角动量以及总角动量的各分量都满足此基本对易式。以下根据此基本对易式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。定义利用角动量分量间的一般对易式容易证明：，定义其逆表示为，同样可以证明：利用角动量的定义及分量的对易关系，上述几个式子是很容易证明的。利用，有所以。二、角动量本征值和本征态的代数解法1. 声子的概念前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式是针对玻色子体系而言的。我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成“光子”的概念。同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）的能量也是量子化的。人们把量子化了的格波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子。2. 角动量本征值和本征态的代数解法考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和湮灭算符用，和，表示,并满足，定义正定厄米算符，其本征值分别为和，它们分别表示两类声子的数目。和的归一化共同本征态可表为定义算符由此定义角动量升降算符利用对易式，容易证明，这正是角动量的基本对易式（）。 因为，所以即同理可证其它几个分量对易式。同样可证明关系式其中，其本征值为。这样，的本征值可表为，且（？）即角动量量子数只能取非负整数或半整数。由前述可知，是、和的共同本征态，但，故也是的共同本征态，且考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将改写为，并定义，现在的问题是，对于给定的，即，m可以取那些值？下面予以分析：，1，0而，即m可以取这个值。式，的逆可表示为，因而可改写为相应地，利用，式可改写为其中，另外，请同学们课下证明一个非常重要的关系式提示：1.首先证明是的属于本征值的本征函数；2.利用本征值的非简并性，即得出的值。请参阅陈鄂生量子力学习题与解答 p55作业：p260 2, 39.3 两个角动量的耦合与CG系数前面我们讨论过两个具体角动量的耦合自旋与轨道角动量的耦合自旋与自旋角动量的耦合下面讨论两个一般角动量的耦合一、两个角动量的耦合设与分别表示第一和第二粒子的角动量，即（取），这两个角动量分别对不同粒子的态矢运算，属于不同的自由度，因而是彼此对易的：，定义两个角动量之和，这就是两个角动量耦合的一般定义。利用两个角动量各分量满足的基本对易式，同上节介绍的方法可以证明或表成。设的共同本征态记为，即类似地，的共同本征态记为对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用来展开。即可作为体系力学量完全集, 而是它们的共同本征态。1. 非耦合表象以共同本征态为基矢的表象称为非耦合表象。在给定，的情况下，所以有个，即它们张开维子空间。2. 耦合表象考虑到，也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为，即以共同本征态为基矢的表象称为耦合表象，基矢简记为。问题：当给定，可取哪些值？基矢与之间的关系如何？二、两种耦合表象基矢之间的关系CG系数1. Clebsch-Gordan系数令上式的物理意义是明显的。我们将展开系数称之为Clebsch-Gordan系数，简称CG系数。显然CG系数是维子空间中耦合表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换矩阵元。考虑到，将上式两边分别作用到下式两边有对因为，所以将代入上式左边，并移项得由于是正交归一完备基矢，上式要成立，展开系数必然要满足下列条件而是不能为0的？所以只有，即故在式的两个求和指标中，只有一个是独立的，从而上式可以写成如下的形式第一次课遗留的问题：如何由升算符的定义式导出降算符的定义式？上次课复习，则以，作为三个分量的矢量算符称为角动量算符。，定义正定厄米算符，和的归一化共同本征态可表为，我们将展开系数称之为Clebsch-Gordan系数，简称CG系数。CG系数有什么性质？2. Clebsch-Gordan系数的性质1）Clebsch-Gordan系数的实数性由前所述可知, CG系数实际上是两个表象基矢的幺正变换或重叠积分，它可能是复数。根据基函数的性质，表象的基矢具有相位不定性，从而两个表象之间的幺正变换也有一个相位不定性。如果相位选择适当, 就可以使CG系数成为实数。在此情况下,有下两式及代入正交归一关系有或即 当时，给出利用波函数的正交归一性，显然有2）Clebsch-Gordan系数的幺正性由于CG系数是实数，所以由式取逆得上式很容易理解：两个表象基矢的转换是相互的，不过要利用条件将上式代入正交归一性关系得或当时，上式进一步写为上式正是CG系数幺正性的体现。三、的取值范围已经知道，给定和，有即所以按照角动量的矢量耦合性质，给定和见右图。除此之外，还可以取哪些值？是多少？这可以从及下两式定出的值给出：上表中箭头方向表示的一组取值。由这个规律可以定出, 对每一组值，取什么值。从上表中可以看出，的取值除之外，还可以取，依次递减1，直到问题：？方案：由空间维数确定。非耦合表象基矢维数：