七数培优竞赛讲座第28讲--计数方法.doc

新课标七年级数学竞赛讲座第二十八讲 计数方法所谓计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来 当研究的对象比较简单，且数目也不大时，枚举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，数出总数即可当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第 n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1 + m2+mn种不同的方法乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1m2mn种不同的方法例题【例1】 如图，从甲地到乙地共有4条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丙地有5条路可走，那么从甲地到丙地共有 条路可走 (重庆市竞赛题)思路点拨 从甲地到丙地可分两类办法；直达和转乙地 注： 计数方法原理属于组合数学这门范畴，随着计算机科学的迅猛发展，教学学科原有的平衡被打破了，组合数学这门古老的数学学科又焕发出新的活力 使用乘法原理与加法原理的不同之处在于：在用加法原理时，完成一件事有几类方法，不论用哪一类方法，都能完成这件事；而用乘法原理时，完成一件事情可分为几步，只有每步都完成了，这件事情才得以完成 【例2】 右图中的小方格是边长为1的正方形，则从到中一共可以数出( )个正方形 A24 B210 C 50 D90 ( “五羊杯”邀请赛题)思路点拨 图中的正方形可以分成边长为l，边长为2，边长为3，边长为4这4种类型，分别求出每种规格的正方形个数【例3】 我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点?一般地， n条直线最多有多少个交点?说明理由 思路点拨 从特殊情况人手，由简到繁，深入思考，从中发现规律 【例4】由0、1、2、3、4、5、6这7个数字，可以组成 (1)多少个四位数，其中有多少个奇数，有多少个偶数?(2)多少个没有重复数字的四位数，其中有多少个奇数，多少个偶数?思路点拨 要确定四位数，必须一位一位来考虑，显然计数时，需要用乘法原理，(2)问与(1)问的差别在于，增加了“没有重复”的限制 【例5】 两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下规则连接线段：同一直线上的点之间不连接连接的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点 (1)画图说明当n1，2，3时，连接的线段最多各有多少条? (2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条，证明你的结论； (3)当n2003时，所连接的线段最多有多少条? ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 把直线标记为l1，l2，它们上面的点从左到右分别为人A1，A2，A3，An和B1，B2，B3Bn，设这n对点之间连接的直线段最多有pn条，解题的关键是探讨pn+1与pn的关系注： 运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复、无一遗漏因此，枚举法常与分类法结合使用，几何计数有以下常见分类方式： (1)按图形的类型分类；(2)按图形的大小分类；(3)选定参照图形分类解几何计数问题时，从特殊情况入手，仔细观察、归纳，递推，猜想，发现规律是一种行之有效的方法注：你知道这些结论吗? (1)在一条直线上若有n个点，则图中以这些点为端点共有条线段，共有2n条射线； (2)平面面上若有n个点，经过其中每两点画一条直线，则最多可以画条直线； (3)平面上若有n条直线两两相交，则交点个数最多有个；(4)从一点引出n条射线(其中任何两条射线都不共线)，则图中共有个小于平角的角学历训练1第一个口袋中装2个球，第二个口袋中装4个球，第三个口袋中装5个球，所有三个口袋中的球各不相同 (1)从口袋中任取一个球，共有 种不同的取法 (2)从三个口袋中各取一个球，有 种不同的取法2如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、A10这十个点中任意三点为顶点，共能组成 个等腰直角三角形 (泉州市中考题)3画一条直线，可将平面分成2个部分，画2条直线，最多可将平面分成4个部分，那么，画6条直线最多可将平面分成 个部分( “希望杯”邀请赛试题)4一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送例如信息到b2；点可由经a1的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条途径传送，则信息由A点到达d3的不同途径共有( ) A3条 B4条 C6条 D12条 (南宁市中考题)5如图，图中不同的线段的条数有( ) A52条 B63条 C141条 D154条6平面内的7条直线任两条都相交，交点数最多有a个，最少有b个，则a+b等于( ) A42 B41 C21 D22(北京市竞赛题) 7如图，在表板上有4个开关，如果相邻的2个开关不能同时是关的，那么所有不同的状态有( ) A4种 B6种 C8种 D 12种 (江苏省竞赛题)8如图，左右相邻两点，上下相邻两点之间距离都等于1厘米，把这些点连接起来，作为三角形的顶点，那么可以组成多少个直角三角形? 9用数字0，1，2，3，4可以组成多少个 (1)四位数? (2)四位偶数? (3)没有重复数字的四位数? (4)没有重复数字的四位偶数?105人站成一排照相，其中一人必须站在中间，有 种站法11在l到300这300个自然数中，不含有数字3的自然数有 个12跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格；在格中，每次可向前跳l格或2格，那么人从格外跳到第6格可以有 种方法 (江苏省竞赛题)13如图，由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中，包含“”在内的长方形及正方形一共有 个 (北京市“迎春杯”竞赛题)14如图，正方形被分成9个相同的小正方形，一共16个顶点，以其中不在同一直线上的3个顶点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影面积相等的三角形有 个15如图，一共能数出( )个长方形(正方形也算作长方形) A64 B63 C60 D48 (2000年“五羊杯”竞赛题) 16如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指数轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对(a，b)所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的个数为m，则等于( )A B C D (山东省竞赛题)17如图，从A点到B点(只从左向右，从上到下)，共有( )种不同的走法 A24 B20 C16 D12 (重庆市竞赛题)18平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分?一般地，n个圆最多能把平面分成多少个部分?195个人站成一排照相 (1)若甲、乙两人必须相邻，则有多少不同的站队方法? (2)若甲、乙两人必不相邻，则有多少不同的站队方法?20将编号为