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新课标七年级数学竞赛讲座第二十八讲 计数方法所谓计数,通俗地说就是数数,即把我们研究的对象的个数数出来 当研究的对象比较简单,且数目也不大时,枚举法是最基本而又简单的方法,即把对象的所有可能一一列举出来,数出总数即可当研究的对象比较复杂,且数目较大时,计数时常常要用到如下两原理: 加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第 n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有Nm1 + m2+mn种不同的方法乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1m2mn种不同的方法例题【例1】 如图,从甲地到乙地共有4条路可走,从乙地到丙地有3条路可走,从甲地到丙地有5条路可走,那么从甲地到丙地共有 条路可走 (重庆市竞赛题)思路点拨 从甲地到丙地可分两类办法;直达和转乙地 注: 计数方法原理属于组合数学这门范畴,随着计算机科学的迅猛发展,教学学科原有的平衡被打破了,组合数学这门古老的数学学科又焕发出新的活力 使用乘法原理与加法原理的不同之处在于:在用加法原理时,完成一件事有几类方法,不论用哪一类方法,都能完成这件事;而用乘法原理时,完成一件事情可分为几步,只有每步都完成了,这件事情才得以完成 【例2】 右图中的小方格是边长为1的正方形,则从到中一共可以数出( )个正方形 A24 B210 C 50 D90 ( “五羊杯”邀请赛题)思路点拨 图中的正方形可以分成边长为l,边长为2,边长为3,边长为4这4种类型,分别求出每种规格的正方形个数【例3】 我们知道,两条直线相交,有且只有一个交点,三条直线相交,最多只有三个交点,那么,四条直线相交,最多有多少个交点?一般地, n条直线最多有多少个交点?说明理由 思路点拨 从特殊情况人手,由简到繁,深入思考,从中发现规律 【例4】由0、1、2、3、4、5、6这7个数字,可以组成 (1)多少个四位数,其中有多少个奇数,有多少个偶数?(2)多少个没有重复数字的四位数,其中有多少个奇数,多少个偶数?思路点拨 要确定四位数,必须一位一位来考虑,显然计数时,需要用乘法原理,(2)问与(1)问的差别在于,增加了“没有重复”的限制 【例5】 两条平行直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连接线段:同一直线上的点之间不连接连接的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其他的交点 (1)画图说明当n1,2,3时,连接的线段最多各有多少条? (2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条,证明你的结论; (3)当n2003时,所连接的线段最多有多少条? ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 把直线标记为l1,l2,它们上面的点从左到右分别为人A1,A2,A3,An和B1,B2,B3Bn,设这n对点之间连接的直线段最多有pn条,解题的关键是探讨pn+1与pn的关系注: 运用枚举法进行列举时,必须注意无一重复、无一遗漏因此,枚举法常与分类法结合使用,几何计数有以下常见分类方式: (1)按图形的类型分类;(2)按图形的大小分类;(3)选定参照图形分类解几何计数问题时,从特殊情况入手,仔细观察、归纳,递推,猜想,发现规律是一种行之有效的方法注:你知道这些结论吗? (1)在一条直线上若有n个点,则图中以这些点为端点共有条线段,共有2n条射线; (2)平面面上若有n个点,经过其中每两点画一条直线,则最多可以画条直线; (3)平面上若有n条直线两两相交,则交点个数最多有个;(4)从一点引出n条射线(其中任何两条射线都不共线),则图中共有个小于平角的角学历训练1第一个口袋中装2个球,第二个口袋中装4个球,第三个口袋中装5个球,所有三个口袋中的球各不相同 (1)从口袋中任取一个球,共有 种不同的取法 (2)从三个口袋中各取一个球,有 种不同的取法2如图,在四个正方形拼接成的图形中,以A1、A2、A3、A10这十个点中任意三点为顶点,共能组成 个等腰直角三角形 (泉州市中考题)3画一条直线,可将平面分成2个部分,画2条直线,最多可将平面分成4个部分,那么,画6条直线最多可将平面分成 个部分( “希望杯”邀请赛试题)4一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送例如信息到b2;点可由经a1的站点送达,也可由经a2的站点送达,共有两条途径传送,则信息由A点到达d3的不同途径共有( ) A3条 B4条 C6条 D12条 (南宁市中考题)5如图,图中不同的线段的条数有( ) A52条 B63条 C141条 D154条6平面内的7条直线任两条都相交,交点数最多有a个,最少有b个,则a+b等于( ) A42 B41 C21 D22(北京市竞赛题) 7如图,在表板上有4个开关,如果相邻的2个开关不能同时是关的,那么所有不同的状态有( ) A4种 B6种 C8种 D 12种 (江苏省竞赛题)8如图,左右相邻两点,上下相邻两点之间距离都等于1厘米,把这些点连接起来,作为三角形的顶点,那么可以组成多少个直角三角形? 9用数字0,1,2,3,4可以组成多少个 (1)四位数? (2)四位偶数? (3)没有重复数字的四位数? (4)没有重复数字的四位偶数?105人站成一排照相,其中一人必须站在中间,有 种站法11在l到300这300个自然数中,不含有数字3的自然数有 个12跳格游戏:如图,人从格外只能进入第1格;在格中,每次可向前跳l格或2格,那么人从格外跳到第6格可以有 种方法 (江苏省竞赛题)13如图,由18个边长相等的正方形组成的长方形ABCD中,包含“”在内的长方形及正方形一共有 个 (北京市“迎春杯”竞赛题)14如图,正方形被分成9个相同的小正方形,一共16个顶点,以其中不在同一直线上的3个顶点为顶点,可以构成三角形,在这些三角形中,与阴影面积相等的三角形有 个15如图,一共能数出( )个长方形(正方形也算作长方形) A64 B63 C60 D48 (2000年“五羊杯”竞赛题) 16如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子上方的箭头各指数轮子上的一个数字,若左图轮子上方的箭头指着的数字为a,右图轮子上方的箭头指着的数字为b,数对(a,b)所有可能的个数为n,其中a+b恰为偶数的不同数对的个数为m,则等于( )A B C D (山东省竞赛题)17如图,从A点到B点(只从左向右,从上到下),共有( )种不同的走法 A24 B20 C16 D12 (重庆市竞赛题)18平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分?一般地,n个圆最多能把平面分成多少个部分?195个人站成一排照相 (1)若甲、乙两人必须相邻,则有多少不同的站队方法? (2)若甲、乙两人必不相邻,则有多少不同的站队方法?20将编号为

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