(第五模块)任意角和弧度制及任意角的三角函数.ppt

第十六讲任意角和弧度制及任意角的三角函数 走进高考第一关基础关教材回归 角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 旋转开始时的射线OA叫做角的 旋转终止时的射线OB叫做角的 按 时针方向旋转所形成的角叫做正角 按 时针方向旋转所形成的角叫做负角 若一条射线没作任何旋转 称它形成了一个 角 始边 终边 逆 顺 零 2 象限角把角置于直角坐标系中 使角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么 角的终边在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 k 360 k 360 90 k Z k 360 90 k 360 180 k Z k 360 180 k 360 270 k Z k 360 90 k 360 k Z 3 象限界角 即轴线角 k 360 k Z k 360 180 k Z k 360 90 k Z k 360 90 k Z k 180 k Z k 180 90 k Z 注意 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 即为象限界角 或轴线角 4 终边相同的角所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 或 前者 用角度制表示 后者 用弧度制表示 S k 360 k Z S 2k k Z 注意 1 终边相同的角不一定相等 但相等的角的终边一定相同 终边相同的角有无数个 它们相差周角的整数倍 2 一般地 终边相同的角或通式表达形式不唯一 如 k 180 90 k Z 与 k 180 90 k Z 都表示终边在y轴上的所有角 3 应注意整数k为奇数 偶数的讨论 5 弧度制 1 把长度等于 长的弧所对的 叫1弧度的角 以弧度作为单位来度量角的单位制 叫做 它的单位符号是rad 读作 2 一般地 正角的弧度数是一个 负角的弧度数是一个 零角的弧度数是 半径 圆心角 弧度制 弧度 正数 负数 0 6 度与弧度的换算关系 周角的为1度的角即周角 1 12 周角 1rad 360 rad 180 rad 1 rad 1rad 2 57 18 7 扇形的半径为R 弧长为l 0 2 为圆心角弧长l 即弧长等于 扇形面积S l R R 该弧所对的圆心角的弧度数乘以半 R2 8 在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y 那么 1 y叫做 的 记作 即sin y 2 x叫做 的 记作 即cos x 3 叫做 的 记作 即tan x 0 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 9 利用角 终边上任意一点的坐标定义三角函数设直角坐标系中任意大小的角 终边上任意一点的坐标为 x y 它与原点的距离是r r 0 那么任意角的三角函数的定义 三角函数定义定义域注意 要特别注意三角函数的定义域 sin cos tan R 且 k k Z R R 10 各象限角的三角函数值和符号如图所示三角函数正值口诀 全正 正弦 正切 余弦 11 终边相同的角的同一三角函数的值 即sin k 2 cos k 2 其中k Z tan k 2 相等 sin cos tan 12 三角函数线图中有向线段MP OM AT分别表示 和 正弦线 余弦线 正切线 注意 当角 的终边与x轴重合时 正弦线 正切线分别变成一个点 此时角 的正弦值和正切值都为0 当角 的终边与y轴重合时 余弦线变成一个点 正切线不存在 此时角 的正切值不存在 考点陪练 已知集合A 第一象限角 B 锐角 C 小于90 的角 下列四个命题 A B C A C C A A C B 其中正确命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 答案 A 2 将分针拨快10分钟 则分针转过的弧度数是 A B C D 答案 B 3 若扇形的面积为 半径为1 则扇形的圆心角 为 答案 B 4 有下列命题 1 终边相同的角的同名三角函数的值相等 2 终边不同的角的同名三角函数的值不等 3 若sin 0 则 是第一 二象限的角 4 若 是第二象限的角 且P x y 是其终边上一点 则cos 其中正确的命题的个数是 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 根据任意角三角函数的定义知 1 正确 答案 A 5 若sin 0 则 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 解析 sin 0 是第一 三象限的角 是第三象限的角 答案 C 解读高考第二关热点关 类型一 角的集合表示解题准备 1 任意角 都可以表示成 k 360 0 360 k Z 2 并不是所有角都是某象限角 当角的终边落在坐标轴上时 它就不属于任何象限 3 相等的角终边一定相同 终边相同的角不一定相等 终边相同的角有无数个 它们相差360 的整数倍 4 注意 第一象限角 锐角 小于90 的角 是范围不同的三类角 需加以区别 典例1 1 如果 是第三象限角 那么 2 的终边落在何处 1 利用终边相同的角的集合S 2k k Z 判断一个角 所在的象限时 只需把这个角写成 类型二 扇形弧长 面积公式应用解题准备 典例2已知一扇形的中心角是 所在圆的半径为r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 2 若扇形的周长是一定值C C 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 类型三 三角函数的定义解题准备 1 任意角的三角函数值 只与角的终边位置有关 而与终边上的点的位置无关 2 当点P的坐标中含字母时 表达r时要注意分类讨论思想的应用 典例3已知 的终边经过点P 4a 3a a 0 求sin cos tan 的值 分析 根据任意角三角函数的定义 应首先求出点P到原点的距离r 由于含有参数a 要注意分类讨论 1 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论 2 熟记几组常用的勾股数组 如 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 等 会给我们解题带来很多方便 3 若角 已经给定 不论点P选择在 的终边上的什么位置 角 的三角函数值都是确定的 另一方面 如果角 终边上一点坐标已经确定 那么根据三角函数定义 角 的三角函数值也都是确定的 类型四 求函数的定义域解题准备 确定三角函数的定义域的依据 1 正 余弦函数和正 余切函数的定义域 2 若函数是分式函数 则分母不能为零 3 若函数是偶次根式函数 则被开方式非负 4 若函数是形如y logaf x a 0 且a 1 的函数 则其定义域由f x 0确定 5 当函数是由实际问题确定时 其定义域不仅要使解析式有意义 同时还要使实际问题有意义 典例4求下列函数的定义域 求定义域的问题 其实质是解不等式 当不等式中含有三角函数时 可以利用三角函数线或三角函数的图象来求解 笑对高考第三关成熟关名师纠错 误区一 忽视表示区间角的不等式两端的大小关系典例1用集合表示终边在阴影部分的角 的集合 评析 利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原则 1 按逆时针方向书写 2 表示区域角的不等式两个端点值相差必须是终边落在两条边界射线 或直线 上的最小差值 误区二 利用三角函数值符号判断角的位置时 忽视轴线角而致错 典例2已知sin 0 cos 0 试确定 终边的位置 错解 由sin 0知 终边在第一象限 或第二象限 或y轴的非负半轴上 又由cos 0知 终边在第一象限 或第四象限 或x轴的非负半轴上 故 终边在第一象限 剖析 错解的解答中由sin 0和cos 0确定 终边位置时 分别遗漏了x轴和y轴的情形 造成错误 正解 由sin 0知 终边在第一象限或第二象限 或x轴 或y轴的非负半轴上 由cos 0知 终边在第一象限或第四象限 或y轴 或x轴的非负半轴上 故 终边在第一象限 或x轴的非负半轴上 或y轴的非负半轴上 解题策略 根据近几年三角部分的命题特点 学习本单元应采用以下策略 1 复习本讲 可以从三个方面入手 一方面是三角函数的定义与符号的应用 第二方面是 弧度制 与 角度制 表示角的集合 第三方面是单位圆中三角函数线的应用 对于三角函数的定义与符号 是三角函数中最基本 最重要的知识 是今后研究三角函数公式 图象 性质的基础 应在理解的基础上准确记忆 对于 弧度制 与 角度制 下角的表示形式 应熟练掌握它们间的相互转换 对于单位圆中的三角函数线 应准确应用 它是画三角函数图象及诱导公式推导的重要知识 同时也为我 们运用数形结合思想解决三角不等式问题提供了重要的理论依据 2 涉及本讲的高考题多为选择题 填空题且难度不大 因此复习时重点复习基础知识 基本概念 深刻理解其中蕴含的数学思想和教学方法 3 解决三角问题 应注意以下三种数学思想的应用 构造思想 主要指构造单位圆 借助单位圆中的三角函数线直观地解决问题 分类讨论思想 分类讨论思想要注意 起点 的寻求与 层次 的划分 做到 起点 讨论合理 自然 层次 划分明确 清晰 函数与方程的思想 主要是指在弧度制下研究扇形的弧长及面积问题时 常将某一量设为变量 建立函数关系式 运用函数的性质分析问题 解决问题 快速解题 典例已知 的始边与x轴正向重合 顶点在原点 终边过点 3k 4k k 0 则tan sin 教师备选 课时作业十六任意角和弧度制及任意角的三角函数 一 选择题1 基础题 易 若cos 0 且sin 0 则角 的终边所在象限是 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案 D 答案 A 答案 A 4 易错题 易 集合M x x k 90 45 k Z N x x k 45 90 k Z 则有 A M NB N MC M ND M N 答案 C 答案 C 6 能力题 中 是第四象限角 则下列函数值一定是负值的是 答案 C 二 填空题7 基础题 易 已知0 2 点P sin cos tan 在第一象限 则 的取值范围是 9 能力题 中 如果x y 且满足 s