2019版高考数学大复习函数导数及其应用第16讲导数与函数的综合问题优选学案.docx

第16讲导数与函数的综合问题考纲要求考情分析命题趋势1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题2会利用导数解决实际问题.2017全国卷，212017全国卷，212016四川卷，21考查导数在研究函数中的应用，并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，题目难度较大.分值：1214分1生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究4导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()(2)函数f(x)x3ax2bxc的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点()(3)函数F(x)f(x)g(x)的最小值大于0，则f(x)g(x)()(4)“存在x(a，b)，使f(x)a”的含义是“任意x(a，b)，使f(x)a”()2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(C)A13万件B11万件C9万件D7万件解析yx281，令y0，得x9或x9(舍去)，当x(0,9)时，y0，当x(9，)时，y0，则当x9时，y有最大值，即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续，且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为(A)Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)解析设F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0，F(x)在a，b上是减函数F(x)在a，b上的最大值为F(a)f(a)g(a)4若函数f(x)x33xa有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_(2,2)_.解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可f(x)3x23，令3x230，得x1，只需f(1)f(1)0，即(a2)(a2)0，故a(2,2)5若f(x)，0ab0，且r0，可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大二利用导数研究函数的零点或方程的根研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现【例2】 已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点三利用导数证明不等式利用导数证明不等式的解题策略(1)证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，那么F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，那么F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(3)在证明过程中，一个重要技巧就是找到函数F(x)f(x)g(x)的零点，这往往就是解决问题的一个突破口【例3】 已知函数f(x)xcos xsin x，x，求证：f(x)0.证明f(x)xcos xsin x，f(x)cos xxsin xcos xxsin x.在区间上f(x)xsin x0)，则h(x)1.当x(0,1)时，h(x)0，h(x)在(1，)内单调递增h(x)minh(1)4.ah(x)min4.实数a的取值范围是(，4(2)问题等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集，显然，g(x)单调递减，在区间2,4上，g(x)maxg(2)，g(x)ming(4).对于f(x)，f(x)3x24x1，令f(x)0，解得x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况列表如下.x11(1,2)2f(x)00f(x)a4单调递增a单调递减a单调递增a2f(x)maxa2，f(x)mina4，a.1做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为(A)A3B4C6D5解析设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2l27，l，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小由题意，SR22RlR22.S2R，令S0，得R3，则当R3时，S最小故选A2已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是(C)A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)解析a0时，不符合题意a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x.若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意所以a0，由图象结合f(0)10知，此时必有f0，即a310，化简得a24，则a2.3已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_2或2_.解析设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减，若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.4已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_4，)_.解析当x(0,1时，不等式ax33x10可化为a，设g(x)，x(0,1，g(x).由g(x)0得x，当x时，g(x)0；当x时，g(x)0)，当a0时，f(x)0，f(x)没有零点当a0时，设u(x)2e2x，v(x)，因为u(x)2e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递减，在同一坐标系中作出u(x)，v(x)的简图如下可知u(x)与v(x)的图象在(0，)上仅有一个交点故当a0时，f(x)存在唯一零点综上得f(x)的零点的个数为1.(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以e2x0，aln x02ax0aln ，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a0时，f(x)2aaln.【跟踪训练1】 已知f(x)xln x，证明：当x1时，2xef(x)证明令g(x)f(x)2xe，则g(x)f(x)2ln x1.令g(x)0，得xe.当x(1，e)时，g(x)0.g(x)在(1，e)内单调递减，在(e，)内单调递增g(x)极小值g(e)f(e)2ee0.又g(1)f(1)2ee20，g(x)在1，)内的最小值为0，g(x)g(x)min0，f(x)2xe0，即2xef(x)课时达标第16讲解密考纲本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大1已知函数f(x)x3x，m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，f(x)在R上为增函数又f(x)f(x)，故f(x)为奇函数，由f(mx2)f(x)0，得f(mx2)f(x)f(x)，mx2x即xmx20对m2,2恒成立记g(m)xmx2，m2,2，则解得2x0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，g(x)ming(1)30，当x0时，g(x)g(1)0，于是f(x)4x.3(2016全国卷改编)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，1x.解析(1)由题设，知f(x)定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即10)当a0时，由ax210，得x；由ax210，得0x0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两个不等解由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)()，所以(x)min(e)，如图，可知(x)a有两个不等解时需a时，令f(x)0，得xea.若x1，ea)，则f(x)0，所以函数f(x)在1，ea)上单调递减，所以当x1，ea)时，f(x)f(1)0，不符合题意综上，a的取值范围是.6某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a元(a为常数，2a5)的税收，设每件产品的日售价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大，说明理由解析(1)设日销售量为件，则10，k10e40.则日销售量为件，每件利润为(x30a)元，则日利润L(x)10e40(35x41)(2)L(x)10e40(35x41)当2a4