第七章 梁弯曲时的变形.doc

第七章 梁弯曲时的变形71 概 述图71所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移，称为挠度，用y表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用表示，如图中C截面转过的角度即为C截面的转角。CCBA图71yxyy 梁变形后的轴线可用下式表示： （71）称为挠曲线方程。 （72）称为转角方程。72 梁的挠曲线近似微分方程及其积分在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为 （73）式中的正负号取决于与的正负号的规定。在如图112所示的坐标系中，y轴以向下为正，当M(x)0时，梁的挠曲xxyyOOM0线向下凸，此时；当M(x)0时，梁的挠曲线向上凸，此时。与的符号关系如图112所示。这样，在图示坐标系中，与的符号总是相反，所以式（73）中应取负号，即： （74）对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI为常数，对式（74）积分一次，得 （75） 再积分一次，可得 （76）以上两式中，C、D为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图73a）中，A、B支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图73b）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C、D确定后，代入式（75）、（76），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。xxyA=0A图73yB=0yA=0(a)yByA=0(b)例题71 图示等截面悬臂梁AB，在自由端作用一集中力F，梁的弯曲刚度为EI，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度ymax和最大转角max。M(x)ABxFEIylx例题71图（a）lx（b）FS(x)F解：（1）列出梁的弯矩方程建立坐标系如图a所示，取x处横截面右边一段梁作为脱离体（图b），弯矩方程为： （a）（2）建立梁的挠曲线近似微分方程由式（74）得： （b）（3）对微分方程二次积分积分一次，得： （c）再积分一次，得： （d）（4）利用梁的边界条件确定积分常数在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即：时，代入式（c）、（d），求得C=0，D=0。（5）给出转角方程和挠曲线方程 （e） （f）（6）求最大挠度和最大转角根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x=l处。将x=l代入（e）、（f）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为： 挠度为正，说明梁变形时B点向下移动，转角为正，说明横截面B沿顺时针方向转动。用积分法计算梁的位移时，应先写出梁的弯矩方程，建立梁的挠曲线近似微分方程，然后通过积分得到转角和挠曲线方程式，积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时，应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似微分方程，并分段积分。积分常数的确定除了利用梁的边界条件外，还需利用梁的变形连续条件。73叠加法当梁上同时作用几种荷载时，所引起的梁的位移可采用叠加法计算，即先分别求出每一项荷载单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各荷载同时作用时所引起的位移。例题74图BxyCMeqBAll/2（a）l/2AB（b）xCqll/2l/2AyB（c）xyCMell/2l/2A例题74 图示简支梁AB，受均布荷载和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为EI，试用叠加法求梁跨中点C的挠度值和A、B截面的转角。解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图（b）、(c)所示。均布荷载单独作用时，从表格111可以查得：，集中力偶单独作用时，从表格71可以查得：，将以上两个结果叠加，得：74 梁的刚度校核对于梁的刚度，通常是以挠度的容许值与跨长的比值作为校核的标准，即梁在荷载作用下产生的最大挠度与跨长的比值不能超过，所以梁的刚度条件可以写成： （77）式中：根据不同的工程用途，在有关规范中，均有具体的规定值。qBAlyxymax例题77图例题77 图示悬臂梁AB，承受均布荷载q的作用。已知：l=3m，q=3kN/m，梁采用20a号工字钢，其弹性模量E=200GPa，试校核梁的刚度。解：查得工字钢的惯性矩为:梁的最大挠度为：满足刚度要求。对于工程中的梁，必须要同时满足强度条件和刚度条件。一般情况下，强度条件往往起控制作用，如果满足强度条件，刚度条件一般也能满足。因此，在设计梁时，一般先由强度条件选择梁的截面，然后再校核刚度。75 简单超静定梁的求解FRCFRBFRBMA(b)图74ABCF(b)图75BAqAqBABF(a)(a)FAyFAxFAyFAx如果梁的支座反力和内力仅靠静力平衡条件不能全部确定，这种梁称为超静定梁。例如在简支梁的中间增加一个支座（图74b），此时梁的支座反力有四个，而对该梁只能列出三个独立的静力平衡方程，所以只用静力平衡条件不能求出全部的支座反力，即该梁是超静定梁。又如在悬臂梁的自由端加一支座（图75b），该梁也是超静定梁。F图76图74b和图75b所示的梁均为一次超静定梁，而图76所示的梁为二次超静定梁。超静定梁的内力求解方法很多，这里介绍最基本的一种变形比较法。下面结合图117所示的超静定梁来具体说明该方法。qABl(c)yBqBFRBAl(d)yBF图77qqFRBABl(b)ABl(a)图77a所示为一次超静定梁，故需建立一个补充方程。将支座B视为多余约束，将该支座解除，并在B点施加与所解除的约束相对应的支座反力FRB，假设其方向向上。这样就得到了一个在均布荷载q和FRB共同作用下的静定悬臂梁（图77b）。该静定梁的变形情况应与原超静定梁的变形相同。根据原超静定梁的约束条件可知，此梁在B点的挠度应等于零，即。则图77b所示的静定梁在均布荷载q和FRB共同作用下，B点的挠度也应等于零，按叠加法，B点的挠度可写成：FAy图78M图FS图qABlFRBFAxMA （a）式中：yBq为悬臂梁在均布荷载单独作用下引起的B点的挠度（图117c)，由表格111可查得： （b）yBF为悬臂梁在FRB作用下B点的