2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-四川延考卷.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)数 学（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）集合，的子集中，含有元素的子集共有（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个解：的子集共个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个选B（2）已知复数，则（A） （B） （C） （D）解：（3）的展开式中含的项的系数为 （A）4 （B）6 （C）10 （D）12解：展开式中含项的系数为（4）已知，则不等式的解集为（A）199， （B）200，（C）201， （D）202，解：（5）已知，则 （A） （B） （C） （D）解：，选C（6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（A） （B） （C） （D）解： 设球的半径为；正三棱锥的底面面积，。所以 ，选A（7）若点到双曲线的一条淅近线的距离为，则双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）解：设过一象限的渐近线倾斜角为所以，因此，选A。（8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（A） （B） （C） （D）解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。问题等价于选3本书有文艺书的概率： （9）过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（A） （B） （C） （D）解： 弦心距最大为，的最小值为（10）已知两个单位向量与的夹角为，则的充要条件是（A） （B）（C） （D）解： ，选C（11）设函数的图象关于直线及直线对称，且时，则 （A） （B） （C） （D）解：（12）一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中，与所成角的余弦值为 （A） （B） （C） （D）解：还原正方体如右图所示设,则,与所成角等于与所成角,所以余弦值为,选 D二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中模式横线上。（13）函数 的反函数为 。解：，所以反函数，（14）设等差数列的前项和为，且。若，则 。解：，取特殊值令，所以（15）已知函数 在单调增加，在单调减少，则 。解：由题意又，令得。（如，则，与已知矛盾）（16）已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为 。解：由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值三解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在中，内角对边的边长分别是，已知。（）若，且为钝角，求内角与的大小；（）若，求面积的最大值。解：（）由题设及正弦定理，有。故。因为钝角，所以。由，可得，得，。（）由余弦定理及条件，有，故。由于面积，又，当时，两个不等式中等号同时成立，所以面积的最大值为。（18）（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：类、类、类。检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有类产品或2件都是类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为类品，类品和类品的概率分别为，和，且各件产品的质量情况互不影响。（）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（）若检验员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望。解：（）设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”，表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”，表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”。则。由已知， 所以，所求的概率为 。（）由（）知一次抽检后，设备需要调整的概率为，依题意知，的分布列为01230729024300270001。（19）（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片中，。沿它的对角线把折起，使点到达平面外点的位置。（）证明：平面平面；（）如果为等腰三角形，求二面角的大小。解：（）证明：因为，所以，。因为折叠过程中，所以，又，故平面。又平面，所以平面平面。（）解法一：如图，延长到，使，连结，。因为，所以为正方形，。由于，都与平面垂直，所以，可知。因此只有时，为等腰三角形。在中，又，所以为等边三角形，。由（）可知，所以为二面角的平面角，即二面角的大小为。解法二：以为坐标原点，射线，分别为轴正半轴和轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系，则，。由（）可设点的坐标为，其中，则有。 因为为等腰三角形，所以或。若，则有。则此得，不合题意。若，则有。 联立和得，。故点的坐标为。由于，所以与夹角的大小等于二面角的大小。又，所以 即二面角的大小为。（20）（本小题满分12分）在数列中，。（）求的通项公式；（）令，求数列的前项和。（）求数列的前项和。解：（）由条件得，又时，故数列构成首项为1，公式为的等比数列从而，即（）由得，两式相减得 ： ， 所以 （）由得 所以（21）（本小题满分12分）已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点，和有公共焦点，点在轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点到右准线的距离成等比数列。（）当的准线与右准线间的距离为时，求及的方程；（）设过点且斜率为的直线交于，两点，交于，两点。当时，求的值。解：（）设：，其半焦距为则：由条件知，得的右准线方程为，即的准线方程为由条件知，所以，故，从而：， ：（）由题设知：，设，由（）知，即由， 知满足 ，从而由条件,得， 故：由 得，所以于是（22）（本小题满分14分）设函数。（）求