自控原理-2.ppt

控制原理 控制原理 第二章系统的数学模型 2 1物理系统建模2 2非线性系统模型的线性化2 3拉氏变换及其反变换2 4系统传递函数2 5传递函数方框图及其简化 本章主要内容 2 1系统的数学模型 2 1 12 1 22 1 3 系统数学模型的定义建立数学模型的基础提取数学模型的步骤 本节主要内容 Back 系统示意图 系统框图 Remember恒温箱自动控制系统 2 1 1系统数学模型的定义 Back 系统框图 1 系统构成的要点 Back t u2 u ua n v u t 系统是否能正常地工作 取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系 物理量的变换 物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递 放大 转化 储存 由动态到最后的平衡状态 稳定运动 由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统 Back 2 数学模型定义 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式 建立模型 实验法人为地对系统施加某种测试信号 记录其输出响应 并用适当的数学模型进行逼近 这种方法也称为系统辨识 3 建立数学模型的方法 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 也称为动力学方程或系统微分方程 Back 4 数学模型的形式 时间域 微分方程差分方程状态方程复数域 传递函数结构图 方框图 频率域 频率特性 Back 2 1 2建立数学模型的基础 微分方程 连续系统 机械运动 牛顿定理 能量守恒定理电学 欧姆定理 基尔霍夫定律热学 传热定理 热平衡定律 数学模型的准确性和简化 差分方程 离散系统 线性与非线性分布性与集中性参数时变性 Back 机械运动的实质 牛顿定理 能量守恒定理 阻尼B 质量M 弹簧K 2 1 2 1机械运动系统的三要素 Back 1 机械平移系统 1 微分方程的系数取决于系统的结构参数2 阶次等于独立储能元件的数量 Back 2 机械旋转系统 Back 2 1 2 2电气系统三元件 电学 欧姆定理 基尔霍夫定律 Back RLC串联网络电路 Back 2 1 2 3相似物理系统 Back 2 1 3提取数学模型的步骤 划分环节写出每或一环节 元件 运动方程式消去中间变量写成标准形式 Back 2 1 3 1划分环节 2 由运动方程式 一个或几个元件的独立运动方程 1 按功能 测量 放大 执行 Back 2 1 3 2写出每一环节 元件 运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系 并确定反映这种内在联系的物理规律 数学上的简化处理 如非线性函数的线性化 考虑忽略一些次要因素 Back 2 1 3 3写成标准形式 例如微分方程中 将与输入量有关的各项写在方程的右边 与输出量有关的各项写在方程的左边 方程两边各导数项均按降幂排列 Back 例1 2级减速齿轮传动系统 折算转动惯量折算力矩折算阻尼系数 Back 例2 2级RC无源网络 Back 2 2非线性系统模型的线性化 2 2 12 2 22 2 3 常见非线性模型线性化问题的提出线性化方法 Example 液面系统 单摆 Back 2 2 1常见非线性模型 数学物理方程中的线性方程 未知函数项或未知函数的 偏 导数项系数依赖于自变量 针对时间变量的常微分方程 线性方程指满足叠加原理 叠加原理 可加性齐次性 不满足以上条件的方程 就成为非线性方程 Back 1常见非线性情况 Back 2单摆 非线性 是未知函数的非线性函数 所以是非线性模型 Back 2液面系统 非线性 是未知函数h的非线性函数 所以是非线性模型 Back 2 2 2线性化问题的提出 有条件存在 只在一定的工作范围内具有线性特性 非线性系统的分析和综合是非常复杂的 可以应用叠加原理 以及应用线性理论对系统进行分析和设计 线性系统缺点 线性系统优点 Back 2 2 3线性化方法 以微小偏差法为基础 运动方程中各变量就不是它们的绝对值 而是它们对额定工作点的偏差 增量 微小偏差法 假设 在控制系统整个调节过程中 所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差 非线性方程 局部线性增量方程 1微小偏差法 增量法 Back 2增量方程 增量方程的数学含义将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点 这时 系统所有的初始条件均为零 注 导数根据其定义是一线性映射 满足叠加原理 Back 3多变量函数泰勒级数法 Back 4单变量函数泰勒级数法 函数y f x 在其平衡点 x0 y0 附近的泰勒级数展开式为 略去含有高于一次的增量 x x x0的项 则 注 非线性系统的线性化模型 称为增量方程 注 y f x0 称为系统的静态方程 Back 例1 单摆模型 线性化 Back 例2 液面系统线性化 常数 Back 2 3拉氏变换及其反变换 2 3 12 3 22 3 3 拉氏变换的定义拉氏变换的计算拉氏变换求解方程 本节主要内容 Back 2 3 1拉氏变换的定义 设函数f t 满足 1 f t 实函数 2 当t 0时 f t 0 3 当t 0时 f t 的积分在s的某一域内收敛 Back 拉氏反变换的定义 其中L 1为拉氏反变换的符号 Back 高等函数 初等函数 指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数 2 3 2拉氏变换的计算 2 3 2 1计算举例 Back 1指数函数的拉氏变换 Back 2三角函数的拉氏变换 Back 3幂函数的拉氏变换 Back 4单位阶跃函数的拉氏变换 Back 5单位速度函数的拉氏变换 Back 6单位脉冲函数的拉氏变换 Back 7单位加速度函数的拉氏变换 Back 2 3 2 2拉氏变换的主要运算定理 线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理 Back 1线性定理 比例定理 叠加定理 Back 2微分定理 Back 多重微分 原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式 Back 3积分定理 Back 多重积分 Back 4位移定理 Back 5延时定理 Back 6终值定理 Back 7初值定理 Back 8卷积定理 Back 9其它方法 变量置换法 变量置换 Back 2 3 2 3拉氏反变换方法 条件 分母多项式能分解成因式 1部分分式法的求取拉氏反变换 Back 2 3 3拉氏变换求解线性微分方程 将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程 解代数方程 得到有关变量的拉氏变换表达式 应用拉氏反变换 得到微分方程的时域解 Back 应用拉氏变换法求解微分方程时 由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中 因此 不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解 如果所有的初始条件为零 微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn dtn得到 微分方程式的解 正弦函数Bsin t 指数函数Aeat 微分方程式的各系数 起始条件 外部条件 a A B Back Back 2 4典型环节及其传递函数 2 4 12 4 2 传递函数的定义典型环节的传递函数 Back 2 4 1传递函数的定义 在零初始条件 下 线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比 输入量施加于系统之前 系统处于稳定的工作状态 即t 0时 输出量及其各阶导数也均为0 Back 1举例 复杂机械系统 Back 初始条件为零时微分方程拉氏变换 系统的传递函数 2系统传递函数的一般形式 Back 3特征方程 N s 0 系统的特征方程 特征根特征方程决定着系统的动态特性 N s 中s的最高阶次等于系统的阶次 从微分方程的角度看 此时相当于所有的导数项都为零 K 系统处于静态时 输出与输入的比值 Back 4零点和极点 M s b0 s z1 s z2 s zm 0的根s zi i 1 2 m 称为传递函数的零点 N s a0 s p1 s p2 s pn 0的根s pj j 1 2 n 称为传递函数的极点 系统传递函数的极点就是系统的特征根 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数 Back 5零点 极点分布图 传递函数的零 极点分布图 将传递函数的零 极点表示在复平面上的图形 零点用 O 表示极点用 表示 Back 6单位脉冲响应 g t 称为系统的脉冲响应函数 权函数 Back 7结论 传递函数是复数s域中的系统数学模型 其参数仅取决于系统本身的结构及参数 与系统的输入形式无关 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性 即以系统外部的输入 输出特性来描述系统的内部特性 若输入给定 则系统输出特性完全由传递函数G s 决定 Back 注意 传递函数适用于线性定常系统 传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等 完全取决于系统结构参数 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律 无法描述系统内部中间变量的变化情况 只适合于单输入单输出系统的描述 Back 2 4 2典型环节的传递函数 设系统有b个实零点 d个实极点 c对复零点 e对复极点 v个零极点 1典型环节的产生 Back Back 环节是根据微分方程划分的 不是具体的物理装置或元件 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成 同一元件在不同系统中作用不同 输入输出的物理量不同 可起到不同环节的作用 说明 Back 例1 齿轮传动 例2 晶体管放大器 2放大环节 比例环节 Back 例1齿轮传动 Back 例2共发射极晶体管放大器 Back 3惯性环节 储能元件 输出落后于输入量 不立即复现突变的输入例1 弹性弹簧例2 RC惯性环节 Back 例1弹性弹簧 Back 例2RC惯性环节 Back 4积分环节 Back 积分环节具有明显的滞后作用 如当输入量为常值A时 输出量须经过时间T才能达到输入量在t 0时的值A 改善系统的稳态性能 Back 例1电容充电 Back 例2积分运算放大器 Back 5微分环节 例1 测速发电机 例2 RC微分网络 例3 理想微分运放 Back 例1测速发电机 无负载时 Back 例2RC微分网络 Back 例3理想微分运算放大器 Back 6二阶振荡环节 例1 机械平移系统 例2 RLC串联网络 Back 例1机械平移系统 Back 例2RLC串联网络电路 Back 7延时环节 运动方程式 传递函数 环节的时间常数 超越函数近似处理 例1 水箱进水管的延滞 Back 延迟环节与惯性环节的区别 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出 仅由于惯性 输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值 延迟环节从输入开始之初 在0 时间内没有输出 但t 之后 输出完全等于输入 Back 例1水箱进水管的延时 Back 2 5传递函数方框图及其简化 2 5 12 5 22 5 32 5 4 传递函数方框图传递函数方框图的等效变换方框图的绘制控制系统传递函数 本节主要内容 Back 2 5 1传递函数方框图 1结构方框图 按功能划分 Back 2函数方框图 脱离了物理系统的模型 系统数学模型的图解形式 依据信号的流向 将各元件的方框连接起来组成整个系统的方框图 形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递 变换过程 Back 任何系统都可以由信号线 函数方块 信号引出点及求和点组成的方块图来表示 求和点 函数方块 引出线 函数方块 信号线 Back 1 信号线带有箭头的直线 箭头表示信号的传递方向 直线旁标记信号的时间函数或象函数 3方框图构成要素 Back 3 函数方块 环节 函数方块具有运算功能 Back 5 求和点 b 求和点可以有多个输入 但输出是唯一的 Back 2 5 2传递函数方框图的等效变换 方框图的等效变换法则 公式直接法 化简法 代数法 方块图的化简 方块图的运算规则 串联 并联 反馈 基于方块图的运算规则 基于比较点的简化 基于引出点的简化 Back 1化简法串联运算规则几个环节串联 总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积 Back 并联运算规则 同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和 Back 反馈运算规则 Back 反馈运算规则 Back 基于方框图的运算规则 Back 基于比较点的简化 Back 基于引出点的简化 Back 方框图的化简 把几个回路共用的线路及环节分开 使每一个局部回路 及主反馈都有自己专用线路和环节 确定系统中的输入输出量 把输入量到输出量的一条线路列成方块图中的前向通道 通过比较点和引出点的移动消除交错回路 先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数 然后求出整个系统的传递函数 Back 方块图化简举例1 方块图化简举例2 2公式直接法 梅逊公式 只有一条前向通道的多回路系统的闭环传递函数 闭环系统输入量到输出量间的串联环节的总传递函数即前向通路传递函数的乘积 n闭环系统所具有的反馈回路的总数 i各反馈回路的序号 闭环系统中各交错反馈或多环局部反馈的开环传递函数即每个反馈回路的传递函数的乘积 正反馈 负反馈 Back 用梅逊公式直接求取方框图传递函数 Back Back 3代数法 Back 2 5 3方框图的绘制 建立系统各元部件的微分方程 明确信号的因果关系 输入 输出 对上述微分方程进行拉氏变换 绘制各部件的方框图 按照信号在系统中的传递 变换过程 依次将各部件的方框图连接起来 得到系统的方框图 Back 二阶机械平动系统 Back Back 2 5 4 1系统传递函数仅控制量作用下仅扰动量作用下控制量和扰动共同作用下2 5 4 2系统误差传递函数仅扰动量作用下控制量和扰动共同作用下 2 5 4控制系统传递函数 Back 2 5 4