第十二章 电路方程的矩阵形式.doc

第十二章 电路方程的矩阵形式本章提要：割集和基本割集的概念；关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵及其相互关系；支路方程、KCL、KVL方程的矩阵形式；节点电压方程、割集电压方程及回路电流方程。随着电路规模的日益增大和电路结构的日趋复杂，用计算机进行网络分析和网络设计是科学技术发展的必然趋势。为了适应现代化计算的需要，对系统的分析首先必须将电网络画成拓扑图形，把电路方程写成矩阵形式，然后利用计算机进行数值计算，得到网络分析所需结果，最终实现网络的计算机辅助分析。本章主要介绍矩阵形式电路方程及其系统建立方法。12.1 割集和基本割集第三章已经介绍了节点、支路、图、连通图、平面图、有向图、网孔、回路等电路图论的基本概念，现在介绍割集、基本割集的概念。割集是连通图G的一个支路集合，它必须同时满足： 若移去这个集合中所有支路，剩下的图成为两个完全分离的部分； 若少移去这个集合中的任何一条支路，则剩下的图仍是连通的。所以割集的定义可以简单叙述为：把图分割为两个子图的最少支路的集合。用符号Q表示。如图12.1(a)所示的图G，支路集合(1,3)和支路集合(2,3,4)都是图G的割集。若移去割集(1,3)的全部支路，剩下的图不再是连通图，分成两个完全分离的部分，见图12.1(b)；若移去割集(2,3,4)的全部支路，剩下的图也不再是连通图，也分成两个完全分离的部分，见图12.1(c)。相反，若少移去割集(1,3)中的支路3，剩下的图仍是连通图，见图12.1(d)；若少移去割集(2,3,4)中的支路2，剩下的图也仍是连通图，见图12.1(e)。若移去支路集合(1,2,3,5)，图G分成三个分离部分，若少移去(1,2,3,5)中的2支路，图仍然不是连通的，则该支路集合(1,2,3,5)不是割集。一般可以用作闭合面的方法来选择割集，具体的做法是：对一个连通图G作一闭合面，使其将图分割为两个部分，只要少移去一条支路，图仍为连通的，则与闭合面相交支路的集合就是一个割集。如对图12.1(a)所示图G作闭合面，可作出六个闭合面，每个闭合面都把图G分成内外两个分离部分，由此可得与闭合面相交的六组支路集合，即六个割集分别为：Q1(1,3)，Q2(1,2,4)，Q3(2,5)，Q4(3,4,5)，Q5(1,4,5)，Q6(2,3,4)，如图12.1(f)所示。图12. 1 割集的定义245(b)15(c)12345(a)(d)234512345(f)Q1Q2Q3Q4Q5Q6125(e)割集是有方向的，其方向可任意选定，或选指向闭合面的方向为正方向，或选背离闭合面的方向为正方向。适用于节点的基尔霍夫电流定律同样适用于割集，即割集中所有支路电流的代数和为0。图12.1(f)中六个割集的KCL方程分别为：Q1： Q2：Q3：Q4：Q5：Q6：割集Q1(1,3)的KCL方程可由割集Q4(3,4,5)的KCL方程与割集Q5(1,4,5)的KCL方程相加并乘-1得到，割集Q3(2,5)的KCL方程可由割集Q2(1,2,4)的KCL方程减去割集Q5(1,4,5)的KCL方程得到，其中任何一个割集的的KCL方程都可由其它割集的KCL方程线性表出。由此可见，一个连通图G的所有割集，并非都是独立的。一般是利用图G的树来确定独立割集。因为连通图G一个树的树支，连接图G的全部节点，所以全部的连支不能构成割集，也就是说，割集中至少包含一条树支。选择图G的一个树T，找出仅包含树T的一条树支的所有割集。由于每个割集中含有其它割集所没有的树支，所以这些割集，就是图G的一组独立割集。我们把仅含一条树支的割集称为基本割集或单树支割集，把对应于某一个树的一组基本割集称为基本割集组或单树支割集组。如图12.2(a)所示的图，图12.2(b)、图12.2(c)、图12.2(d)、图12.2(e)的基本割集组分别是(1,2,3)，(1,4,8)，(2,5,7)，(6,7,8)(1,2,3)，(2,3,4,8)，(2,5,6,8)，(6,7,8) (1,4,6,7)，(2,3,4,6,7)，(3,4,5,6)，(6,7,8)图12. 2 基本割集与基本割集组888(a)1234567(c)1234567(b)1234567(d)12345678(e)12345678(f)12345678(1,2,3)，(1,3,5,7)，(1,4,6,7)，(1,4,8)不管12.2(a)中所示图G的树是怎样选择，每组独立割集数总是4个，所以n个节点的连通图G的独立割集数是n-1。如果把KCL应用到闭合面上，显然割集中各支路电流的代数和等于零。一般选基本割集中唯一的树支的方向该割集的方向。树支方向是流出闭合面的，割集方向就是背离闭合面的，树支方向是流入闭合面，割集方向就是指向闭合面的。对一个基本割集可以列出一个KCL方程，对一组独立割集可列出一组独立的KCL方程，对一个基本割集组所列的一组独立的KCL方程，称为基本割集方程。如对图12.2(e)的各个支路指定方向，可得图12.2(f)，对应于树T(2,5,6,8)的基本割集方程为支路2： 支路5： 支路6： 支路8： 12.2 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵从电网络着眼，比较受关注的是独立节点或独立割集与支路的关联关系，网孔或独立回路与支路的关联关系。可以用关联矩阵A、割集矩阵Q和回路矩阵B来描述电路的拓扑性质。本节介绍这三个矩阵、用三个矩阵表示的基尔霍夫定律及三个矩阵的相互关系。12.2.1 关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵的定义1. 关联矩阵有向图G中，支路与节点之间的相互关系为：如果支路k的电流从节点j流出或流入节点j，则称支路k与节点j相关联；否则，称支路k与节点j不相关联。用关联矩阵Aa表示节点与支路的关联关系。Aa的第j行第k列的元素用ajk表示，j为节点序号，k为支路序号，ajk描述有向图的第j个节点与第k条支路的关联关系。根据支路与节点的关联情况，对ajk定义如下：ajk=0，表示节点j与支路k不相关联。ajk=1，表示节点j与支路k相关联，且支路k的电流流出节点j。ajk= -1，表示节点j与支路k相关联，且支路k的电流流入节点j。123456图12. 3 关联矩阵例如：图12.3所示有向图，它的关联矩阵是123456 一个n个节点b条支路的电路，其关联矩阵是(nb)阶矩阵。因为一条支路必然仅与两个节点相关联，支路的方向必是背离其中一个节点指向另外一个节点的，所以关联矩阵Aa的每一列元素只有两个非0元素，其中一个是1，另一个是-1。若把Aa的各行相加，就得到一行全为0的元素，因此Aa的各行不是彼此独立的，Aa的任一行必能从其它(n-1)行导出。常用降阶关联矩阵A表示独立节点与支路的关联关系。一个n个节点b条支路的有向图的关联矩阵是(n-1)b阶矩阵。从关联矩阵Aa中取对应于独立节点的(n-1)行组成的矩阵为降阶关联矩阵A(以后常用此矩阵，本节之后省略“降阶”二字)。图12.3所示有向图，若选节点为参考节点，降阶关联矩阵为123456 降阶关联矩阵A只考虑独立节点与支路的关联关系，因此连在参考节点上的支路只与一个独立节点相关联，矩阵A中对应于这样的支路的列只有一个非零元素。123456一个有向图的参考节点不同，降阶关联矩阵A也不同。图12.3所示有向图，若分别选节点、为参考节点，降阶关联矩阵分别为123456123456显然，关联矩阵Aa不是满秩矩阵，而关联矩阵A是满秩矩阵。前者的各行不是相对独立的，而后者的各行是相对独立的，因此它们的秩是相等的。一个n个节点b条支路的有向图，独立节点数为n-1，有rank(Aa) rank(A) n-12. 割集矩阵有向图G中，割集j与支路k的相互关系为：如果支路k不是割集j的元素，则称支路k与割集j不相关联；如果支路k是割集j的元素(支路k的方向与割集j的方向可能相同也可能不同)，则称支路k与割集j相关联。常用独立割集矩阵Q(简称割集矩阵)来描述独立割集与支路的关联关系。割集矩阵Q的第j行第k列元素用qjk表示，j为割集序号，k为支路序号，qjk描述了割集j与支路k的关联关系。根据割集与支路的关联情况，对qjk定义如下： qjk=0，表示割集j与支路k不相关联。 qjk=1，表示割集j与支路k相关联，且方向相同。 qjk= -1，表示割集j与支路k相关联，且方向相反。例如：图12.4(a)中，(1,2,3)，(1,4,5)，(2,6,8)，(5,7,8)是该图的一组独立割集，若均选流出闭合面方向为割集方向，则割集矩阵Q为Q1Q2Q3Q414283576-=11010000101000100001100100000111Q 12345678(a)Q1 Q2Q3 Q412345678(b)Q1 Q2Q4Q3图12. 4 割集矩阵和基本割集矩阵如果选基本割集组作为一组独立割集，这时割集矩阵称为基本割集矩阵(简称为割集矩阵)，一般用Qf表示。例如：图12.4(b)，若选树(2,4,5,8)，则对应于该树的割集矩阵Qf为Q1Q2Q3Q414283576每一个基本割集只包含一条树支，每一树支只会出现在一个基本割集中。因此，基本割集与树支的关系是一一对应的，对应于每个树支的列上仅有一个非0元素，而且这个非0元素一定是1。为了明确表示基本割集与树支的关联关系，有时，可以按先树支后连支的顺序填写割集矩阵的各列元素，这样得到的割集矩阵中将出现一个单位方阵。一个n个节点b条支路的有向图，有式中， Et为n-1阶单位方阵，描述了割集与树支的关联关系；Ql为(n-1)(b-n+1)阶矩阵，描述了割集与连支的关联关系。如图12.4(b)，若选树(2,4,5,8)，按先树支后连支顺序写出的割集矩阵Qf为Q1Q2Q3Q428475163 一个有向图可以确定多个树，因此可写出多个基本割集矩阵Qf。显然，割集矩阵Q的各行是相对独立的，割集矩阵Qf的各行也是相对独立的，且它们的阶数相同，所以它们是等秩的满秩矩阵。一个n个节点b条支路的有向图，独立割集数为n-1，割集矩阵Q和Qf均为(n-1b)阶矩阵，且有rank(Q) = rank(Qf) = n-13. 回路矩阵有向图G中，回路j与支路k的相互关系是：如果回路j中不包含支路k，或者说支路k不在回路j中，则称回路j与支路k不相关联；否则，成回路j与支路k相关联，回路j与支路k相关联时二者的方向可能相同也可能相反。常用所谓的独立回路矩阵(简称回路矩阵)B来描述独立回路与支路的关联关系。回路矩阵B的第j行第k列的元素用bjk表示，j为回路序号，k为支路序号，bjk描述回路j和支路k的关联关系。根据回路与支路的关联情况，对bjk定义如下： bjk=0，表示第j回路与第k支路不相关联。 bjk=1，表示第j回路与第k支路相关联，且方向相同。 bjk= -1，表示第j回路与第k支路相关联，且方向相反。14283576如在图12.5(a)中，所有的内网孔组成该图的一组独立回路，若都取顺时绕行方向为网孔的正方向，则对应于该组独立回路的回路矩阵B为l1l2l3l412345678(b)图12. 5 回路矩阵和基本回路矩阵12345678(a)l2l3 l4l114283576若选基本回路组作为一组独立回路，回路矩阵就称为基本回路矩阵(以后简称为回路矩阵)，一般用Bf表示。例如：图12.5(b)中，对应于树(2,4,5,8)的回路矩阵Bf为b1b3b6b7每一个基本回路中只包含一条连支，而每一条连支也只会出现在一个基本回路中，因此基本回路与连支是一一对应的，基本回路矩阵Bf中对应于连支的列只有一个非零元素1。为了明确表示这种关系，有时可以按先连支后树支的顺序填写回路矩阵，这样得到的回路矩阵中会有一个单位方阵。一个n个节点b条支路的有向图，有式中，El为n-1+b阶单位方阵，描述回路与连支的关联关系；Bt 为(n-1+bn-1)阶矩阵，描述回路与树支的关联关系。例如：图12.5(b)，对应于树(2,4,5,8)按先连支后树支的顺序写出的回路矩阵Bf为17386254b1b3b6b7 显然，回路矩阵B的各行是相对独立的，基本回路矩阵Bf的各行也是相对独立的，且二者是同阶矩阵，所以它们是等秩的满秩矩阵。一个n个节点b条支路的有向图，独立回路数为l(lb-n+1)，回路矩阵B和基本回路矩阵Bf都是(lb)阶矩阵，有rank(B) = rank(Bf) = l = b-n+112.2.2 用矩阵A、Q、B表示的基尔霍夫定律的矩阵形式对于任何一个有向图，都可以用基尔霍夫定律来描述其电流约束关系和电压约束关系，所列电流约束方程称为KCL方程，电压约束方程称为KVL方程。一个KCL方程描述的是某个割集中各支路电流的关系，一个KVL方程描述的是某个回路中各支路电压的关系。而关联矩阵A、割集矩阵Q和回路矩阵B分别描述的是b条支路和各个独立节点、各个割集和各个回路的关联关系。那么，矩阵A、Q和B与KCL方程和KVL方程必然存在一定的内在联系。本节以图12.6所示有向图为例，介绍用关联矩阵A、割集矩阵Q和回路矩阵B表示的KCL方程和KVL方程的矩阵形式。1. 用矩阵A表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567图12. 6 KCL和KVL方程的矩阵形式图12.6有向图中，若选节点为参考节点，关联矩阵A为1234567 A 对独立节点列出的KCL方程为节点：i1 + i2 + i3 = 0节点：- i3 + i4 + i5 = 0节点：-i5 - i6 + i7 = 0写成矩阵形式为可见，对独立节点列出的KCL方程组中，支路电流列向量T的系数矩阵就是关联矩阵A。用i表示支路电流列向量，上式写成A i = 0 (12-1)式(12-1)是用关联矩阵A表示的KCL方程的矩阵形式，可推广到任意n个节点b条支路的电路。支路电压可以用独立节点电压表示，图12.6有向图的支路电压用独立节点电压、和表示为 ， ， ， ， ， ， 写成矩阵形式为上式中，独立节点电压列向量的系数矩阵是关联矩阵A的转置矩阵，也就是说支路电压可以用独立节点电压和关联矩阵A表示。若支路电压列向量和独立节点电压列向量分别用u和表示，图12.6中有T和T则上式写成 AT (12-2)式(12-2)是用关联矩阵A表示的KVL方程的矩阵形式，可推广到任意n个节点b条支路的电路。2. 用矩阵Qf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567图12.6所示有向图，若选树(2,3,6)，则割集矩阵Qf为 2 6 3Qf 对基本割集列出的KCL方程为支路2：i1 + i2 + i4 + i5=0支路3：i3 i4 - i5 = 0支路6：i5 + i6- i7 = 0写成矩阵形式为上式中，支路电流列向量i的系数矩阵是割集矩阵Qf，可写成Qf i = 0 (12-3)式(12-3)为用割集矩阵Qf表示的KCL方程的矩阵形式，可推广到n个节点b条支路的电路。在有向图中，支路电压列向量u可用树支电压列向量ut表示。图12.6有向图的各个支路电压用树支电压()、()和()表示：， ， ， ， ， 写成矩阵形式为上式中，树支电压列向量T的系数矩阵是割集矩阵的转置矩阵QfT，可写成 (12-4)式(12-4)是用割集矩阵Qf表示的KVL方程的矩阵形式，可推广到n个节点b条支路的电路应用。3. 用矩阵Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567图12.6中，对应于树(2,3,6)的回路矩阵Bf为 1 5 4 7Bf 对应于连支(1,4,5,7)的基本回路的KVL方程为支路1：支路2：支路3：支路4：写成矩阵形式为上式中，支路电压列向量u的系数矩阵就是回路矩阵的转置矩阵BfT，可写成Bf (12-5)式(12-5)为用回路矩阵表示的KVL方程的矩阵形式，可推广到n个节点b条支路的电路。有向图中支路电流可以用各连支电流表示。连支电流列向量用为il表示，图12.6中，il = il1 il2 il3 il4T = i1 i4 i5 i7T，各个支路电流用连支电流表示为， ， ， ， ， 写成矩阵形式为上式中，回路电流列向量的系数矩阵是回路矩阵的转置矩阵BfT，可写成 Bf T (12-6）式(12-6)为用回路矩阵表示的KCL方程的矩阵形式，可推广到n个节点b条支路的电路。12.2.3 关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵之间的关系一个有向图的关联矩阵A、割集矩阵Q和回路矩阵B都是满秩矩阵，若该有向图有n个节点b条支路，A、Q和B的秩的关系是rank(A) rank(Q) n-1rank(B) bn1rank(Q)rank(B) b矩阵A、Q和B的各列都对应于该有向图的各支路，因此，A、Q和B的列数是相等的。当它们的列分别对应于相同的支路时，有如下关系ABT 0或BAT 0BQT 0或QBT 0证明 由式(12-1)(12-6)易得T ， T ， T ， T 进而得到T ， T ， T ， T 两边同取转置得到，其中，。因为、和都不是0向量，所以,和均为正数固有 T， T， T， T证毕。若对电路的有向图先选定了一个树，按先树支后连支的相同支路顺序写出该有向图的A、Qf和Bf，使得；则即子矩阵是非奇异矩阵，其逆矩阵存在，所以有12.3 支路方程的矩阵形式电路中，各支路的电压和电流的约束关系简称为VCR，用支路方程来描述。本节介绍标准复合支路、支路方程的矩阵形式、支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵。有向图中的支路代表的是电路中的某个元件或某些元件组合。画有向图时，一般把复合支路看作一条支路，可以把电压源和电阻或阻抗串联的复合支路看成一条支路，也可以把电流源和电导或导纳并联的复合支路看成一条支路。事实上，有向图中的支路所代表的那部分电路的结构和内容是非常灵活的，它可以简单到代表一个元件，也可以复杂到代表一个二端网络。为了便于列写支路方程的矩阵形式，本节首先介绍标准复合支路，图12.7所示的复合支路为标准复合支路。Yk(s)Idk(s)Isk(s)Usk(s)Ik(s)Uk(s) 图12. 7 标准复合支路图中各符号的含义如下：k第k条支路Yk(s)第k条支路的运算导纳Zk(s)第k条支路的运算阻抗Uk(s)第k支路的电压Ik(s)第k支路的电流Usk(s)第k支路中独立电压源的电压Isk(s)第k支路中独立电流源的电流Idk(s)第k支路中受控电流源的电流，d为控制量所在支路本章涉及的标准复合支路不考虑受控电压源，控制量为阻抗(电阻)或导纳(电导)的电压或电流，控制量对应的支路不含受控源。标准复合支路对独立源和受控源的方向作了严格的规定。标准复合支路的支路方程为： (12-7)或 (12-8)一个具有b条支路的电路的电压形式的支路方程为：把所有的受控源都用支路电流表示后，整个电路的b个电压形式的支路方程可写成矩阵形式假设：为支路电流列向量为支路电压列向量为支路独立电流源的电流列向量为支路独立电压源的电压列向量则可写出 (12-9)式中Z(s)称为支路阻抗矩阵，它是一个b阶方阵。式(12-9)是用支路阻抗矩阵表示的支路方程矩阵形式的复频域表达式。对于正弦稳态电路，用支路阻抗矩阵表示的支路方程矩阵形式的频域表达式为 (12-10)一个具有b条支路的电路的电流形式的支路方程为： 把所有的受控源都用支路电压表示后，整个电路的b个电流形式的支路方程可写成矩阵形式简写成 (12-11)式中Y(s)称为支路导纳矩阵，它是一个b阶方阵。式(12-11)是用支路导纳矩阵表示的支路方程矩阵形式的复频域表达式。对于正弦稳态电路，用支路阻抗矩阵表示的支路方程矩阵形式的频域表达式为 (12-12)当电路中无受控源且电感间无耦合时，支路阻抗矩阵Z和支路导纳矩阵Y都是对角阵，。当电路中有受控源时，矩阵Z和Y不再是对角阵。当电路中无受控源但电感间有耦合时，矩阵Z和Y是关于主对角线对称的矩阵。当电路中有无伴电压源支路时，式(12-11)和式(12-12)所示支路方程无法写出，从而支路导纳矩阵不存在。但支路阻抗矩阵是存在的，无伴电压源支路的阻抗按0计算。当电路中有无伴电流源支路时，式(12-9)和式(12-10)所示支路支路方程无法写出，从而支路阻抗矩阵不存在。但支路导纳矩阵是存在的，无伴电流源支路的导纳按0计算。例12-1 列出图12.8所示电路的支路阻抗矩阵或支路导纳矩阵。图12.8(b)中为或。解 图12.8(a)中无受控源无耦合，支路导纳矩阵为对角阵图12. 8 例12-1题图R4Is6(s)R5sL2Is3(s)Z1(s)sL3+-I52(s)R4Is6(s)R5sL2Is3(s)Z1(s)sL3U5(s)(a)(b)I5(s)图12.8(b)中，第2支路的受控电流源受第5支路中电阻的电压或电流的控制，因此支路导纳矩阵的第2行第5列位置的元素为非0元素。对第2支路(按标准复合支路的规定选支路方向)有CCCSVCCS所以，第二支路的受控源为VCCS和CCCS时，图12.8(b)的支路导纳矩阵分别为和12.4 节点电压方程的矩阵形式第三章介绍的节点法是以独立节点电压作为未知的电路变量列写一组独立KCL方程的方法。这组用独立节点电压表示的独立的KCL方程组称为节点电压方程。本节介绍节点电压方程的矩阵形式。用关联矩阵A表示的矩阵形式的KCL方程、KVL方程的复频域表达式为A (12-13)AT (12-14)把式(12-11)代入式(12-13)中，有AY(s) (12-15)把式(12-14)代入式(12-15)，有AY(s) 整理得矩阵形式节点电压方程的复频域表达式 (12-16)简写成 (12-17)式中，称为节点导纳阵，是独立源引起的注入节点的电流列向量。矩阵形式节点电压方程的频域表达式为 (12-18)简写成 (12-19)列写节点电压方程的矩阵形式可分三步进行： 画有向图，给支路和节点编号，选出参考结点。 列写支路导纳矩阵Y(s)和关联矩阵A。按标准复合支路的规定列写支路电压源列向量Us(s)和支路电流源列向量Is(s)。+-+-+-UZ4(s)I4(s) UZ4(s) I4(s)Y1(s)Y2(s)Y3(s)Y4(s)Y5(s) Us5(s) Is6(s)图12. 9 例12-2题图Is2(s) 计算AY(s)、AY(s)AT和，写出矩阵形式节点电压方程的表达式或。例12-2 列出图12.9所示电路的节点电压方程的矩阵形式。解 画有向图，给节点和支路编号，并选节点为参考节点。2 64311 图12. 10 例12-2电路的有向图5 写出关联矩阵A、支路导纳矩阵Y(s)、支路电压源列向量Us(s)和支路电流源列向量Is(s) 计算、和节点电压方程的矩阵形式为节点电压方程本质上是KCL方程，而对无伴电压源支路不能写出KCL方程。因此，对有无伴电压源支路的电路要作特殊处理。第三章介绍的改进节点法是对无伴电压源支路引入电流变量的分析方法。改进节点法的未知电路变量既有独立节点的电压又有对无伴电压源引入的电流变量，所列方程既有对独立节点列出的KCL方程又有对无伴电压源支路列出的KVL约束方程。用改进节点法分析电路时列出的方程称为改进节点方程，改进节点方程具有以下形式 (12-20)式中，()和与式(12-17)中含义相同；为对独立节点列出的KCL方程中，对无伴电压源引入的电流列向量的系数矩阵；为对无伴电压源支路列出的KVL约束方程中，独立节点电压列向量的系数矩阵；为对无伴电压源支路列出的KVL方程中，与独立源有关的列向量。列写改进节点方程的矩阵形式可分六步进行： 找出所有无拌电压源，并引入电流变量列向量。 画有向图，给支路和节点编号。 列写关联矩阵A；按标准复合支路的规定列写支路电压源列向量Us(s)和支路电流源列向量Is(s)；把无拌电压源看成无穷大阻抗，列写支路导纳矩阵Y(s)。 计算AY(s)、AY(s)AT和，写出或。 确定对独立节点列出的KCL方程中，的系数矩阵；列出所有无拌电压源的KVL约束方程，写出矩阵和向量 写出式(12-20)所示的改进节点方程。例12-3 写出图12.11所示电路的改进节点方程的矩阵形式。解 和是无拌电压源，引入电流变量列向量。 画有向图，给节点和支路编号，选参考节点，见图12.12。I1+-U2Y1Y2Y6 I1+-Y4Y5 Us7图12. 11 例12-3题图Y3 Is1 Is2+- U2 写出、和A，7、8支路导纳按0计，写出支路导纳矩阵Y。 012345678图12. 12 例12-3电路的有向图 计算和。，写出、和。7支路指向节点，的第一行第一列元素为-1。8支路背离节点，的第三行第二列元素为1。的其它元素均为0。依次写出无伴电压源支路的KVL约束方程，即整理成矩阵形式为所以 按式(12-20)写出改进节点方程的矩阵形式。12.5 割集电压方程的矩阵形式分析电路时，若对其有向图选定了一个树，则每一个单连支回路中只有一条连支，其余都是树支。每一个单连支回路的唯一连支电压可用树支电压表示，可以说，所有支路的电压都能用树支电压表示。以树支电压作为未知的电路变量，对基本割集组列写一组独立的KCL方程，并进一步求出树支电压，这种分析方法称为割集法。用割集法分析电路过程中，所列的以树支电压为电路变量的独立KCL方程组称为割集电压方程，割集电压方程也能写成矩阵形式。复频域内，用割集矩阵表示的矩阵形式的KCL方程和KVL方程为Q (12-21)QT (12-22)把式(12-11)代入式(12-21)中，有 (12-23)把式(12-22)代入式(12-23)中，并整理得到矩阵形式割集电压方程的复频域表达式 (12-24)简写为 (12-25)式中，称为割集导纳矩阵，为独立源引起的与割集方向相反的电流列向量。矩阵形式割集电压方程的频域表达式为 (12-26)简写为 (12-27)列写结点电压方程的矩阵形式可分三步进行： 画有向图，给支路编号，选树。 列写支路导纳矩阵和割集矩阵Qf。按标准复合支路的规定列写支路电压源列向量Us(s)和支路电流源列向量Is(s)。 计算QfY(s)、QfY(s)QfT和，写出矩阵形式结点电压方程的复频域表达式或频域表达式。例12-4 按给出的有向图和树(实线)，列写图12.13所示电路的割集电压方程。图12. 13 例12-4题图R1R4C2L3R5L6gmu2is1+-u2123456解 写出、和Q。电路中没有独立电压源，为0向量。独立电流源。 计算和。 按式(12-25)所示的形式写出割集电压方程的矩阵形式。割集电压方程本质上是KCL方程，由于含无伴电压源支路的电路的支路导纳阵无法列出，因此对含无伴电压源支路的电路列写割集电压方程有困难。为此，我们对含无伴电压源的支路引入电流变量。以树支电压和对无伴电压源支路引入的电流变量为未知变量，对基本割集列写KCL方程，对无伴电压源支路列写KVL约束方程，这种分析电路的方法称为改进割集法，所列方程称为改进割集方程。改进割集方程具有以下形式： (12-28)式中，()和与式12-26中的含义相同；为对基本割集列出的KCL方程中，对无伴电压源支路引入的电流列向量的系数矩阵；为对无伴电压源支路列出的KVL约束方程中，树支电压列向量的系数矩阵；为对无伴电压源列出的KVL约束方程中，与独立源有关的列向量。用改进割集法分析电路时，尽可能把无伴电压源支路选作树支，列方程时可不