贵州省遵义市2018_2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）.docx

贵州省遵义市2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）1.已知集合，则( )A. (1,2)B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将选项化简，再求.【详解】因为，或，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合交集运算，以及一元二次不等式求解，属于基础题.2.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据幂函数以及指数函数的图像及性质，以及单调性、奇偶性的定义即可判断【详解】选项：为幂函数，定义域为，因为，所以在上为增函数，不符合.选项：为幂函数，定义域为，根据该图像即可判断，是奇函数，但在定义域内不是减函数，不符合；选项：为指数函数，由该图像即可判断，在上为减函数，但不是奇函数，不符合；选项：定义域为，因为是上的增函数，所以为上的减函数，因为定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，符合.故答案选.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性以及奇偶性，属于基础题3.已知单位向量, 向量夹角为，则是（ ）A. B. C. 1D. 0【答案】C【解析】【分析】利用公式，结合数量积运算，即可求出.【详解】因为单位向量，所以有，又向量夹角为，因为，所以，故选【点睛】本题主要考查了平面向量模的计算，涉及到数量积的运算，属于基础题对于平面向量模的计算，主要有三种方法：（1）利用公式，结合数量积运算进行求解；（2）如果已知，则；（3）利用的几何意义，结合平面几何知识进行求解.4.已知，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，故，据此逐一考查所给的选项是否正确即可.【详解】由可得，故，逐一考查所给的选项：A.；B.，的符号不能确定；C.；D.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.在中，内角的对边分别为，且，则的面积为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理化简a2b2c2ab得C60，即得ABC的面积.【详解】依题意得cos C，所以C60，因此ABC的面积等于absin C，故答案为：B【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.已知,则取最大值时的值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式的变形即可求出其最大值，并得到其取最大值时的值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时，即，等号成立.故答案选.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.利用基本不等式求最值，一定要注意是否符合适用条件，以及等号成立的条件.7.已知，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求得的值，然后求得的值，由此求得题目所求表达式的值.【详解】依题意，由及，解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题.8.若定义在R上的偶函数满足，且时, ，则函数的零点个数是( )A. 6个B. 8个C. 2个D. 4个【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性和周期性作出f(x)在R上的图象，再在同一个坐标系中作出 的图象，根据两图像交点个数即可得出h(x)的零点个数。【详解】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x），满足f（x+2）f（x），故函数的周期为2当x0，1时，f（x）x，故当x1，0时，f（x）-x函数h(x)f（x）的零点的个数等于函数yf（x）的图象与函数y的图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数yf（x）的图象与函数y的图象，如图所示：显然函数yf（x）的图象与函数y的图象有4个交点，故选：D【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想9.如图所示为函数（，）的部分图像，两点之间的距离为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用，两点之间距离以及纵向距离，求出横向距离，从而得到周期，进而求出的值，再利用求出的值，从而求出.【详解】过点作直线轴，过点作于点，因为，由勾股定理可得，所以，可得，所以，因为，结合图像可知，解得，因为，所以，所以则，故答案选A.【点睛】本题主要考查了已知图像求正弦型函数解析式，以及求值问题，属于中档题.这类型题，一般通过观察图像得到周期，从而求出；再根据图像的最值求出值；然后再利用特殊点代入，结合的范围确定的值.10.已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ）A. B. C. D. 15【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式，逆向构造得，从而求出其比值.【详解】因为,故答案选.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质应用，以及前项和公式的应用，属于中档题.11.若函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数分段函数是R上的单调递减函数，得到且，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数是R上的单调递减函数，则满足且，解得，即实数的取值范围为，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中根据分段函数的单调性，准确列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.已知正项等比数列（）满足，若存在两项， 使得，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】正项等比数列an满足：，又q0，解得，存在两项am，an使得，即，当且仅当=取等号，但此时m，nN*又，所以只有当，取得最小值是故选C点睛：本题解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质，利用等比数列的通项公式，解得，运用均值不等式求最值，一般运用均值定理需要要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为_ .【答案】2【解析】【分析】先由约束条件画出平面区域，再由目标函数的几何意义确定最优解，从而求出最值.【详解】由约束条件画出平面区域，如图阴影部分所示，由，可得，画出直线并平移，当直线经过点时，轴上的截距最大，则，求得，所以，故答案为2.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，属于基础题. 利用线性规划求最值的一般步骤：（1）根据线性规划约束条件画出可行域；（2）设，画出直线；（3）观察、分析、平移直线，从而找出最优解；（4）求出目标函数的最大值或最小值.14.若函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则使得的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得区间上，为减函数，且；据此可得，解可得x的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，则在区间上，为减函数，且，解可得：，即x的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及抽象函数的应用，属于基础题15.在中，角所对的边分别为，且满足，若的面积为，则_【答案】4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】，由正弦定理可得，即：，由余弦定理可得，可得，的面积为，可得，解得，故答案为4【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到16.某小区拟对如图一直角ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观。已知,则面积最小值为_【答案】【解析】【分析】设，然后分别表示，利用正弦定理建立等式用表示，从而利用三角函数的性质得到的最小值，从而得到面积的最小值.【详解】因为，所以，显然，设，则，且，则，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，则，因为，所以当时，取得最大值1，则的最小值为，所以面积最小值为，【点睛】本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值，涉及到正弦定理的应用，属于难题.对于这类型题，关键是能够选取恰当的参数表示需求的量，从而建立相关的函数，利用函数的性质求解最值.三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）求函数在区间上的最大值。【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换的相关公式将式子化简为，从而利用公式求出最小正周期，结合正弦函数的单调递增区间即可求出的增区间.（2）根据的增区间即可确定在上为增函数，从而确定在上取得最大值.【详解】（1）的最小周期；由题意得令，得：，函数的单调递增区间为；（2）由（1）知在区间上为增函数；在区间上为增函数；即在区间上为增函数；在区间上的最大值=【点睛】本题主要考查了正弦型函数的周期、单调性、最值，涉及到三角恒等变换，属于中档题.对于这类型题，首先将三角函数式化简成的形式，最小正周期为，然后求的单调区间，只需把看做一个整体代入的相应单调区间内即可，注意将化为正数.18.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.【答案】（1）见解析; （2）18.【解析】（1）由题意可列，其表示如图阴影部分区域：（2）设该企业每天可获得的利润为万元，则.当直线过点时，取得最大值，所以.即该企业每天可获得的最大利润18万元.19.已知数列前项和为。（1）求数列的通项公式；（2）设数列；求数列的前项和。【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系，即可将的通项公式求出来.（2）先求出，从而求出，再利用裂项相消求和法求出数列的前项和.【详解】解：（1）当时， 当时，此时也满足上式，（2） 即【点睛】本题主要考查了数列通项、前项和的求解，属于中档题.对于含有与恒等式的数列通项求解问题，常常运用到与的关系进行求解，主要有两个化简方向，要么化成的递推公式进行求解，要么先化成的递推公式求出，然后再求出.一定要注意检验时是否符合.20.已知向量,.且分别是的三边所对的角.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积运算，以及两角和的正弦公式，二倍角公式以及三角形内角和即可求出，从而得到.（2）利用余弦定理以及面积公式，结合题目条件即可求出三角形面积.【详解】解：（1）为内角，则，（2）由余弦定理，得：，即：【点睛】本题主要考查了平面向量与解三角形的综合问题，考查了三角恒等变换相关公式，以及余弦定理、三角形面积公式的应用，属于中档题.21.已知数列满足，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）将式子合理变形，即可化成，从而证明是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出的通项公式.（2）由数列的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n项和.【详解】（）证明：由题意可得： ，则，又故是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，故（2）由（1）知 【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可.22.已知函数，.（）若为偶函数，求的值并写出的增区间；（）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；（）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；增区间.(2) 的最小值为，取“”时.(3) .【解析】分析：（）由偶函数的定义得，求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定的增区间；（）根据已知条件结合