探究自然数幂和通项公式的新方法及其应用.doc

探究自然数幂和通项公式的新方法及其应用* *收稿日期： 基金项目：国家自然科学基金 （10872085）；四川省教育厅青年基金（08zb046）通讯作者简介：张莉（1981）, 女, 四川眉山人, 讲师，硕士，内江师范学院数学与信息科学学院教师，主要从事最优化理论及其算法研究通讯作者邮箱：（这里我选择了新方法，目的是为了吸引审稿人的目光，但问题是你们的方法是否是首创，如果不是请删除“新”）车茂林, 黄 婷，彭 杰，张莉（内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641112）摘 要：针对自然数幂和问题，利用多项式和矩阵理论，得到了一种计算自然数幂和通项公式的方法，给出了该方法的具体推导过程，并通过实例验证了该方法的有效性，此方法的优点是（请补充）（疑问：什么叫直接计算方法，难道以前的方法都是间接的吗？撰写科技论文要求用语严谨，实事求是，不是随便挑个词。如不存在直接与否，请删除直接两字）关键词：自然数幂和；多项式；高斯约当法；矩阵论1引言自然数幂和的探究是一个历史悠久的古老的数学问题，自从古希腊数学家阿基米德研究以来，一直是许多中外数学家、学者研究的热点并得到了许多有益的结果（既然前面提到的是中外数学家，就也应该介绍国外的研究成果，请补充！比如：阿基米德/尼克麦丘等等数学家的重要研究成果，具体参看文献Stirling数表示自然数方幂和，筛选重要的）著名数学家陈景润等对自然数幂和进行了大量的研究，得到了前30个幂和公式马建荣等运用了定积分给出的求和多项式，研究了该多项式的性质，得到自然数幂和的定积分算法；杨志强通过逐差法，并利用函数的牛顿插值公式和组合恒等式得到了自然数幂和的部分和公式；汪晓勤等使用杨辉三角（帕斯卡三角），通过不完全归纳得：其中，将上述个式子相加，并结合矩阵的相关知识，进而得到自然数幂和公式（只需要把自然数幂和的结果求出，不需要在引言中把整个求解的过程给出，只需要点到用什么知识得到了什么结论即可，请修改！）；在文献中，笔者利用阿贝尔变换，建立一个降幂公式，达到了使高次幂求和转化为低次幂求和的目的，得到了如下的公式：记，则（同上一样修改）补充本文的研究思路，研究方法和研究结果，并评价结果怎么样？2主要引理及推论引理2.1 设，则序列的前项和为： （1）引理2.28 设，在复数域上有个根，那么与之间有如下的关系式： （2）推论2.18 若令，则由（2）可以得到与之间的关系式： （3）3主要结论（写论文的形式就像我们平时做证明题一样，应该先给出结论，再进行证明，仿照引理3.1把此部分内容重新整理）引理3.18 设，则有1）；2）（4）式成立 （4）证明：（如果该引理是引用的别人的文献，就必须添加参考文献，如果是自己给出的，就不需要标注参考文献，但要给出证明过程）注：根据式（4）计算的实质是从个数中任取个求积，然后将所得的个积再求和对于给定的，根据式（4）计算时计算量过大，从而借助于Matlab程序语言并利用数据结构中栈的相关知识，通过编程而实现 （这部分内容不应该出现在主要结论这块，这只能是你们求解的一种方法，应该放在实例那块，并且叙述的方式也不对，应该是把它抽象成算法，给出了算法的具体步骤，再给出一般性的结论即表格）取，并将所得的数据置于表格中，所得的表格如下：kak1ak2ak3ak4ak5ak6ak7ak81100000002110000003231000004611610000524503510100061202742258515100772017641624735175211085040130681313267691960322281（表一）令，求得的值： （5）将方程组（5）中的个方程求和： （6）在方程组（6）中分别令，可以得到如下方程： （7）在方程（7）中，记，则方程（7）可以简化为： （8）使用表一中的数据，可以得到：注：此方程可以理解为广义的线性方程组，由于对角线上的元素不为，且为下三角矩阵，故广义的行列式，从而广义的逆矩阵存在对于给定的，已知，而且有，由式（8）可以得到： （9）根据高斯约当方法，得到：由式（1）和（9）可以得到自然数幂和的求和公式:4应用在方程（6）中，取，从而如下：,从而有：.则由方程（9）可知则，由等式（1）可知5结束语参考文献1陈景润黎鉴愚在上的新结论J科学通报(英文版)，1986，31(6)：361-3622马建荣刘三阳刘红卫自然数幂和的定积分算法J高等数学研究，2009，12(6)：33-363杨志强用逐差法求解自然数方幂之和J数学实践与认识，2003，33(11)：136-1374汪晓勤周崇林自然数幂和的矩阵算法J高等数学研究，2004，7(2)：35-375李卫高阿贝尔变换在求幂和中的应用J高等数学研究，2009，12(1)：76-776华东师范大学数学系数学分析(第三版)M高等教育出版社，20017Richard CourantFritz Johnintroduction to calculus and analysisM 北京:世界图书出版社，20088张禾瑞郝镔新高等代数（第五版）M北京:高等代数教育出版社，2007Explore the Simple Operation Method and Its Application of the Sum of Natural PowerCHE Mao-lin, HUANG Ting, PENG Jie (The College of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University, Sichuan 641112, China) Abstract: with the polynomial theorem and the matric theorem, obtain a direct method of calculating the sum of power of natural number. Verify practicality of the method th