高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理课件 理.ppt

第四章三角函数 解三角形 4 7正弦定理 余弦定理 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 审题路线图系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 正弦定理 余弦定理在 abc中 若角a b c所对的边分别是a b c r为 abc外接圆半径 则 b2 c2 2bccosa c2 a2 2accosb a2 b2 2abcosc 知识梳理 1 答案 2rsinb 2rsinc sina sinb sinc 答案 r是三角形内切圆的半径 并可由此计算r r 3 在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 2 在 abc中 若sina sinb 则a b 3 在 abc的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 4 当b2 c2 a2 0时 三角形abc为锐角三角形 当b2 c2 a2 0时 三角形为直角三角形 当b2 c2 a2 0时 三角形为钝角三角形 5 在三角形中 已知两边和一角就能求三角形的面积 思考辨析 答案 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 所以bc2 ab2 ac2 2ab accos60 3 解析答案 1 2 3 4 5 1 解析答案 1 2 3 4 5 直角 4 在 abc中 若bcosc ccosb asina 则 abc的形状为 三角形 解析由已知得sinbcosc cosbsinc sin2a sin b c sin2a sina sin2a abc为直角三角形 解析答案 1 2 3 4 5 sina sin b c sinbcosc cosbsinc 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 bsina a b 满足条件的三角形有2个 2 题型一利用正弦定理 余弦定理解三角形 解析答案 又a b b 30 c 105 45 30 105 解析答案 解得b 1 1 解析答案 思维升华 思维升华 1 判断三角形解的个数的两种方法 代数法 根据大边对大角的性质 三角形内角和公式 正弦函数的值域等判断 几何图形法 根据条件画出图形 通过图形直观判断解的个数 2 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 可用正弦定理 也可用余弦定理 用正弦定理时 需判断其解的个数 用余弦定理时 可根据一元二次方程根的情况判断解的个数 1 已知在 abc中 a x b 2 b 45 若三角形有两解 则x的取值范围是 解析若三角形有两解 则必有a b x 2 跟踪训练1 解析答案 设ab x 由余弦定理 得bc2 ac2 ab2 2ac abcosa 化简得x2 2x 1 0 x 1 即ab 1 1 解析答案 1 求tanc的值 所以 cos2b sin2c 题型二和三角形面积有关的问题 sin2c 2sinccosc 由 解得tanc 2 解析答案 2 若 abc的面积为3 求b的值 解析答案 思维升华 思维升华 四边形abcd的内角a与c互补 ab 1 bc 3 cd da 2 1 求c和bd 解由题设a与c互补及余弦定理得bd2 bc2 cd2 2bc cdcosc 13 12cosc bd2 ab2 da2 2ab dacosa 5 4cosc 因为c是三角形内角 故c 60 跟踪训练2 解析答案 2 求四边形abcd的面积 解析答案 题型三正弦 余弦定理的简单应用 解析答案 即sinc0 于是有cosb 0 b为钝角 所以 abc是钝角三角形 答案钝角 1 cosb c a c 2a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 abc为直角三角形 直角 解析答案 命题点2求解几何计算问题 例4 2015 课标全国 如图 在 abc中 d是bc上的点 ad平分 bac abd面积是 adc面积的2倍 因为s abd 2s adc bad cad 所以ab 2ac 解析答案 解因为s abd s adc bd dc 在 abd和 adc中 由余弦定理 知ab2 ad2 bd2 2ad bdcos adb ac2 ad2 dc2 2ad dccos adc 故ab2 2ac2 3ad2 bd2 2dc2 6 由 1 知ab 2ac 所以ac 1 解析答案 思维升华 思维升华 1 判断三角形形状的方法 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 化角 通过三角恒等变形 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 2 求解几何计算问题要注意 根据已知的边角画出图形并在图中标示 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 1 在 abc中 内角a b c所对的边长分别是a b c 若c acosb 2a b cosa 则 abc的形状为 三角形 解析 c acosb 2a b cosa c a b 由正弦定理得sinc sinacosb 2sinacosa sinbcosa sinacosb cosasinb sinacosb 2sinacosa sinbcosa cosa sinb sina 0 cosa 0或sinb sina 跟踪训练3 abc为等腰或直角三角形 等腰或直角 解析答案 bd2 ab2 ad2 2ab adcos bad 解析答案 返回 审题路线图系列 审题路线图系列 二审结论会转换 温馨提醒 解析答案 审题路线图 返回 温馨提醒 解析答案 审题路线图 规范解答 温馨提醒 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 1 本题将正弦定理 余弦定理和和差公式综合进行考查 具有一定的综合性 要求考生对公式要熟练记忆 通过审题理清解题方向 2 本题还考查考生的基本运算求解能力 要求计算准确无误 尽量简化计算过程 减少错误 返回 思想方法感悟提高 2 解题中要灵活使用正弦定理 余弦定理进行边 角的互化 一般要只含角或只含边 方法与技巧 1 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角 进而求出其他的边和角时 有时可能出现一解 两解 所以要进行分类讨论 2 在解三角形或判断三角形形状时 要注意三角函数值的符号和角的范围 防止出现增解 漏解 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由s a2 b c 2得s b2 c2 a2 2bc 解析答案 解析因为3sina 5sinb 所以由正弦定理可得3a 5b 令a 5 b 3 c 7 则由余弦定理c2 a2 b2 2abcosc 得49 25 9 2 3 5cosc 2 设 abc的内角a b c所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sina 5sinb 则角c等于 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 若 abc的三个内角满足sina sinb sinc 5 11 13 则 abc为 三角形 及已知条件sina sinb sinc 5 11 13 可设a 5x b 11x c 13x x 0 c为钝角 abc为钝角三角形 钝角 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 得 ab 6 0 即ab 6 解析 c2 a b 2 6 c2 a2 b2 2ab 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 代入数据解得b2 c2 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又b c 2 b2 2bc c2 4 b2 c2 52 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosa a 8 答案8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 a 2 且 2 b sina sinb c b sinc 则 abc面积的最大值为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由b2 c2 bc 4 得b2 c2 4 bc b2 c2 2bc 即4 bc 2bc bc 4 解析由正弦定理 可得 2 b a b c b c a 2 a2 b2 c2 bc 即b2 c2 a2 bc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求角c的大小 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由a b 得a b 又a b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故sinb sin a c sinacosc cosasinc 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 sin adccosb cos adcsinb 1 求sin bad 所以sin bad sin adc b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求bd ac的长 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在 abd中 由正弦定理得 解 adb adc 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在 abc中 由余弦定理得ac2 ab2 bc2 2ab bc cosb 所以ac 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设ab c 则由ac2 ab2 bc2 2ab bc cosb知7 c2 4 2c 即c2 2c 3 0 c 3 负值舍去 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由tana 2得sina 2cosa 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以c 180 120 30 30 所以 adb 45 从而 bad 15 dac 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ab 2sinc bc 2sina 又a c 120 ab 2bc 2sinc 4sin 120 c 2 sinc 2sin120 cosc 2cos120 sinc 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由于0 c 120 且 是第一象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10