数学物理方法论文.doc

物理与电子信息学院09级物理汉班数学物理方法第一篇总结1.1复数与复数运算（一）复数的概念一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy的和，z=x+iy，这是复数的代数式，x和y叫做该复数的实部和虚部，并分别记做Re z和Im z。如果将x和y当做平面上点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。xy0 a Z (x,y)复数的三角式，其中，。共轭复数的概念如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（二）无限远点复球面无限远点：复平面上为无限大的点复球面：与复平面相切于坐标原点o，其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面（三）复数的运算已知两个复数： 1.加减运算 2.乘法运算 3.除法运算4.复数的乘幂5.复数的方根（四）典型例题计算下列数值（其中为常数）1.2.1.2复变函数（一）复变函数的定义对于复平面的点集E，它的每个点z都有一个或多个点通过确定的关系与之对应。则称为z的复变函数，记作：= f(z), zE E叫做定义域。（二）区域的概念在解析函数论中，函数的定义域一般不是点集，而是满足一定条件的点集，称为区域，用B表示。邻域：以某点z0为圆心,以任意小的正实数d为半径的圆的内部，称为的邻域。内点：若及其邻域均属于点集E，则称为该点集的内点。外点：若及其邻域均不属于点集E，则称为该点集的外点。边界点：若在的每个邻域内，既有属于E得点，也有不属于E的点，则称为该点集的边界点，它既不是E的内点，也不是E的外点，边界点的全体称为边界线。区域是指满足下列两个条件的点集：1. 全由内点组成；2. 具有连通性，即点集的任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全部属于该点集。（三）典型例题求解方程1.3导数（一）导数的概念设函数是在区域B上定义的单值函数，即对于B上的每一个Z值，有且只有一个值与之相对应。若在B上的某点z，极限存在，并且与的方式无关，则称f(x)在z点可导。（二）柯西黎曼方程柯西-黎曼方程在直角坐标系下的C-R条件，是复变函数可导的必要条件柯西-黎曼方程在极坐标系下的C-R条件，是复变函数可导的必要条件函数f(z)可导的充分必要条件：f(z)的偏导数存在且连续，并满足C-R条件。（三）典型例题试从极坐标系中的柯西黎曼方程中消去u或者v。（四）人物传记1.柯西:法国数学家，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他首创性的工作是关于单复变函数论，阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。他还在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。2.黎曼：德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。1.4解析函数（一）解析函数的定义若函数f(z)在z0点及其邻域上处处可导，则f(z)在z0点解析。又若f(z)在区域B上每点都解析，则f(z)是区域B上的解析函数。（二）解析函数的性质1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u(x,y)=,v(x,y)=,是B上的两组正交曲线组。2.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u，v均为B上的调和函数。（三）典型例题已知解析函数的实部或者虚部，求该解析函数。1.；2.，；2.1复变函数的积分（一）复变函数积分的定义设在复数平面的某分段光滑曲线l上定义了连续函数f(z)，在l上取一系列分点z0（即起点A）, z1 , z2, zn（即终点B），把l分成n个小段，在每个小段zk-1,zk上任取一点k，作 和得当n且每小段都无限缩短时，如果这个和的极限存在，且其值与各个k的选取无关，则这个和为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记作= lZ0(A)Zn(B)Zk-1Zkk（二）复变函数积分的性质1.常数因子可以移到积分号外；2.和积分等于积分和；3.反转路径，积分反号；4.全路径上的积分等于各段积分之和一般来说，复变函数积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。2.2柯西定理（一）单连通区域的情况单通区域：在其中做任何简单的闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。也可以认为是一根闭合曲线围成的区域。 单连区域柯西定理：如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上的任一分段光滑闭合曲线l，有证明如下，由于f(z)在B上解析，因而有在B上连续，根据格林公式和C-R条件得：（二）复通区域情形为了将奇点排除在区域之外，需要做一些适当的闭合曲线把奇点分隔出去，即形成复通区域。一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复通区域。对于区域（单或复通区域）的境界线，通常这样规定（内外）正方向，区域在观察者的左边。复通区域柯西定理：如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则l为区域外境界线， li为内境界线，积分均沿正方向进。ll1BA证明如下：（三）柯西定理的总结：1.闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零；2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零；3.闭复通区域上的解析函数沿境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针积分之和。4.对于某个闭单通或闭复通于区上为解析的函数，只有起、终点固定不变，当积分路径连续变形（不跳过“孔”），路积分值不变。2.3不定积分（一）不定积分的概念根据柯西定理，若函数f(z)在单通区域B上解析，则沿B上任一路径L的积分 的值只跟起点和终点有关，而与路径无关。因此，当起点和终点固定时，这个不定积分就定义了一个单值函数，记作例如1. 若回路L不包围点，则被积函数在l所包围的区域上是解析的，按照柯西定理，积分值为零。2. 接着讨论L包围的情形，如果，被积函数在l所包围的区域是解析的，积分值也为零；如果，被积函数在l所包围区域有一个奇点，我们可以将L变形一点为圆心，R为半径的圆周C，R是相当任意的，在C上lle 讨论：1. 2. 2.4柯西公式单通域柯西公式：若f(z)在闭单通区域B上解析，L为B的境界线，为B内一点，则。复通域柯西公式：若f(z)在L上所围区域上存在奇点，则考虑挖去奇点后的复通区域。在复通区域上f(z)解析，则柯西公式仍成立，只要将L理解为所有的境界线，且均取正向。柯西导数公式：由于z为区域内点，积分变数在境界线上，-z0,积分号下的导数f()/(-z)在区域上处处可导。因此，可以在积分号下对z求导，得：反复在积分号下求导，得。（三）典型例题已知函数。将作为参数，为复变数，应用柯西公式将表示成回路积分。3.1复数项级数（一）设有复数项的无穷级数他的每一项都可以分为实部和虚部，那么他的前n+1项的和可以表示为： 这样，复数项无穷级数的收敛问题就归结为两个实数级数的收敛问题。级数收敛的判断依据（二）柯西收敛判据：对于任一给定的小正数，存在一个N，使得nN时 ，p为任意正整数。绝对收敛：如果复数项级数各项的模（正实数）组成的级数 收敛，则wk绝对收敛。（三）绝对收敛级数的性质绝对收敛的复数项级数必是收敛的，各项先后次序可变，其和不改变。应用柯西收敛判据，复变项级数在B（或l）上收敛的充要条件是：在B（或l）上各点z，对于任一给定小正数，存在N(z)，使得nN(z)时， ，p为任意正整数。如果N与z无关，则复变项级数在B （或l）上一致收敛。（四）典型例题3.2幂级数（一）各项都是幂函数的复变项级数其中z0,a0,a1,a2,都是复常数。这样的级数叫做以z0为中心的幂级数。绝对收敛：由幂级数各项模组成的正项级数|a0|+|a1|z-z0|+|a2|z-z0|2+|ak|z-z0|k+（二）正项级数的收敛性的判别：1.达朗贝尔判别法如果则正项级数收敛，幂级数绝对收敛。如果也就是说，幂级数后面的项的模越来越大，必然是发散级数。即如果|z-z0|R，则发散。那么以z0为圆心做一个半径为R的圆CR，圆内绝对收敛，圆外发散。CR称为幂级数的收敛圆，半径R为收敛半径。3. 根值判别法如果，则正项模级数收敛，幂级数绝对收敛；如果，则正项模级数发散，幂级数绝对发散；收敛半径为。幂级数在收敛圆内的性质：1和函数是解析函数；2可以逐项求导，且收敛半径不变；3可以逐项积分，且收敛半径不变；（三）典型例题（四）人物传记达朗贝尔：法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有八卷巨著数学手册、力学专著动力学、23卷的文集、百科全书的序言等等。他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研究中。 达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。3.3泰勒级数展开（一）已知，任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，既然解析函数的任意阶导数都存在，也希望能把解析函数展开为复变项的泰勒级数。定理：设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内任意z点，f(z)可以展开为幂级其中。为圆内包含z且与同心的圆。泰勒展开公式（具有唯一性）：(二)几个典型的泰勒展开公式1.（在的邻域）2. （在的邻域）3. （在的邻域）4. （在的邻域）5. （在的邻域）（三）典型例题（四）人物传记泰勒：18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒。泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（信中首先提出的著名定理泰勒定理：泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。3.4解析延拓3.5洛朗级数展开(一）当所研究的区域上存在函数的奇点时，就不能将函数展为泰勒级数，而需要考虑除去奇点的环域上的展开，这就是洛朗级数展开。定理：设f(z)在环形区域的内部单值解析，则对环域上的任意一点，f(z)可展为幂级数，其中，积分路径C位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线。(二)几个典型的洛朗展开公式1.2. （）3. （三）洛朗展开和泰勒展开的区别与联系联系：都是单值解析函数；展开形式均以为展开中心。区别：1.是泰勒函数f(z)的奇点，洛朗展开中的不一定是f(z)的奇点；2.泰勒展开的区域是，是绝对且一致收敛的函数。洛朗展开的区域是，也是绝对且一致收敛的函数；3.泰勒展开无负幂次项，洛朗展开可以有负幂次项，也可以没有负幂次项。（三）典型例题在挖去奇点的环域上或指定的环域上将下列函数展为洛朗级数（五）人物传记洛朗：法国数学家提出洛朗级数，复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。3.6孤立奇点的分类孤立奇点：若函数f(z)在某点z0不可导，而在z0的任意小邻域内除z0之外处处可导，则z0为f(z) 的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内总可以找到除z0外的不可导点，z0为f(z)的非孤立奇点。在挖去孤立奇点z0而形成的环域上的解析函数f(z)的洛朗级数分三种：（1）无负幂项，为f(z)的可去奇点；（2）有有限个负幂项，为f(z)的极点；（3）有无限个负幂项，为f(z)的本性奇点。 典型例题设函数和分别以点为m阶和n阶极点，问对下列函数而言，是何种性质的点：（1）；（2）；（3）4.1留数定理(一)留数的定义：单值函数 f(z) 在孤立奇点邻域内的洛朗展开其中的项的系数称为 f(z) 在处的留数，记作。这样(二)留数定理：函数 f(z)在回路l所围区域 B 是除有限个孤立奇点外解析，在闭区域上除点外连续，则（三）留数的计算1. 单极点的情况：2. m 阶极点的情况：（四）典型例题1.计算下列函数的奇点，求出函数在各奇点的留数（1）；（2）。2.计算函数的回路积分3.应用留数定理计算回路积分，函数在L所包围的区域上是解析的，是这区域的一个内点。4.2留数定理是复变函数的定理若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。类型一： 被积函数是三角函数的有理式，积分区间是,做变换，于是原积分化为类型二：积分区间；复变函数f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点是解析的；当z在上半平面及实轴上时，zf(z)一致的0.这个积分通常看作为极限类型三：偶函数 F(z) 和奇函数 G(z) 在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 z 在实轴和上半平面趋于无穷大， F(z) 和 G(z) 一致地趋于零。做变换得 典型例题计算下列实变函数的定积分1.；2.；3.。5.1傅里叶级数（一）周期函数的傅里叶展开若函数f(x)以2l为周期，即fx)= f(x+2l)，则可取三角函数族，将f(x)展开为级数其中，注意：对于非周期函数,如果函数f(x)只在区间上有定义,并且满足收敛定理条件,也可展开成傅立叶级数.（二）傅里叶级数收敛的定理狄里希利定理：若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且（三）奇函数和偶函数的傅里叶展开1. 奇函数的傅里叶展开：，其中。2. 偶函数的傅里叶展开：其中。(四)定义在有限区间上的函数傅里叶展开对于只在有限区间，可以采取延拓的方法，使其成为某种周期函数，而在上然后在对作傅里叶展开，其级数区间在上代表f(x)。两种特殊的展开：1.如果，这时应延拓成奇的周期函数；2.如果，这时应延拓成偶的周期函数；（五）复数形式的傅里叶级数周期函数f(x)展开为复数形式的傅里叶级数为：，其中.（六）典型例题1.交流电压经过全波整流，成为。将它展为傅里叶级数；2.将锯齿波展为傅里叶级数。在周期上，该锯齿波可以表示为。3.在区间定义了函数，试根据条件，将展为傅里叶级数；4.将函数展为傅里叶级数。(七)人物传记傅里叶：法国数学家及物理学家，主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数，傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。5.2傅里叶积分与傅里叶变换（一）实数形式的傅里叶变