第五章54知能演练轻松闯关.doc

1. 已知数列an中, a11, 当n2时, 其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式; (2)设bn, 求bn的前n项和Tn.解：(1)San, anSnSn1(n2), S(SnSn1), 即2Sn1SnSn1Sn, 由题意Sn1Sn0, 式两边同除以Sn1Sn, 得2, 数列是首项为1, 公差为2的等差数列. 12(n1)2n1, Sn.(2)又bn.Tnb1b2bn.2. (2010高考四川卷)已知等差数列an的前3项和为6, 前8项和为4.(1)求数列an的通项公式; (2)设bn(4an)qn1(q0, nN), 求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设数列an的公差为d, 由已知, 得解得故an3(n1)4n.(2)由(1)可得bnnqn1, 于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1, 将上式两边同乘q, 得qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减, 得(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是, Sn.若q1, 则Sn123n.所以, Sn一、选择题1. 若数列an的前n项和Sn(1)n(2n24n1)1(nN), 且anbn(1)n, 数列bn的前n项和为Tn, 则T10等于()A.B.C. D.解析：选B.由Sn(1)n(2n24n1)1可求得an(1)n4n(n1), 所以bn, 于是T101.故选B.2. (2012昆明调研)数列an的通项公式是an, 若前n项和为10, 则项数n为()A. 11 B. 99C. 120 D. 121解析：选C.an, Sna1a2an(1)()()1.令110, 得n120.3. (2011高考安徽卷)若数列an的通项公式是an(1)n(3n2), 则a1a2a10()A. 15 B. 12C. 12 D. 15解析：选A.记bn3n2, 则数列bn是以1为首项, 3为公差的等差数列, 所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.故选A.4. (2012江门质检)已知数列an的各项均为正数, 其前n项和为Sn, 若log2an是公差为1的等差数列, 且S6, 那么a1的值为()A. B.C. D.解析：选A.由题知, log2anlog2an11, log21, 即, an是以a1为首项, 为公比的等比数列, S6, a1.5. 二次函数f(x)x2x, 当xn, n1(nN)时, f(x)的函数值中所有整数值的个数为g(n), an(nN), 则Sna1a2a3a4(1)n1an()A. (1)n1 B. (1)nC. D. 解析：选A.当xn, n1(nN)时, 函数f(x)x2x的值随x的增大而增大, 则f(x)的值域为n2n, n23n2(nN), g(n)2n3(nN), 于是ann2.当n为偶数时, Sna1a2a3a4an1an(1222)(3242)(n1)2n237(2n1); 当n为奇数时, Sn(a1a2)(a3a4)(an2an1)anSn1ann2, Sn(1)n1, 故选A.二、填空题6. 正项等比数列an中, a2a41, S313, 若bnlog3an, 则数列bn的前10项的和为_. 解析：由题意可得a10, q0, 解得an33n.bn3n.bn的前10项和为25.答案：257. 数列1, , , 的前n项和Sn_.解析：由于an2(), Sn2(1)2(1).答案：8. (2012淮北联考)对于数列an, 定义数列an1an为数列an的“差数列”, 若a12, an的“差数列”的通项为2n, 则数列an的前n项和Sn_.解析：an1an2n, an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.答案：2n12三、解答题9. 求和：Sn222.解：当x1时, Sn4n.当x1时, Sn222(x2x4x2n)2n2n2n.Sn10. 已知数列an满足a11, a22, an2, nN.(1)令bnan1an, 证明：bn是等比数列; (2)求an的通项公式. 解：(1)证明：b1a2a11, 当n2时, bnan1anan(anan1)bn1, bn是以1为首项, 为公比的等比数列. (2)由(1)知bnan1an()n1, 当n2时, ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11()()n2111()n1()n1, 当n1时, ()111a1, an()n1(nN). 11. 已知数列an是正项数列, a11, 其前n项和为Sn, 且满足2Sn2papanp(pR). (1)求p的值; (2)求数列an的通项公式; (3)若bn2n, 求数列bn的前n项和为Tn.解：(1)在2Sn2papanp(pR)中, 令n1, 得2a12papa1p, 又a11, 所以有22ppp, 解得p1.(2)由(1)得2Sn2aan1, 因此当n2时, 有2Sn12aan11, 两式相减得2an2aan2aan1, 即2aan2aan10, 所以2(anan1)(anan1)(anan1)0, 即(anan1)2(anan1)10, 又因为an是正项数列, 所以2(anan1)10, 即anan1, 故数列an是等差数列, d, 于是