高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 2平面与平面垂直的判定 自主预习 课堂探究 自主预习 1 了解二面角及其平面角的定义 并会求简单二面角的大小 2 理解两个平面互相垂直的定义 3 理解两个平面垂直的判定定理 并能用定理判定面面垂直 课标要求 知识梳理 面 棱 垂直于棱l 直角 2 平面与平面垂直 1 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面 与 垂直 记作 直二面角 另一个平面的垂线 自我检测 1 空间角 以下角 异面直线所成角 直线和平面所成角 二面角的平面角 可能为钝角的有 a 0个 b 1个 c 2个 d 3个2 判定定理 直线l 平面 l 平面 则 与 的位置关系是 a 平行 b 可能重合 c 相交且垂直 d 相交不垂直 b c 3 面面垂直的判定 如图 在三棱锥a bcd中 ab 平面bcd bc cd 则三棱锥的四个面中 互相垂直的有 a 1对 b 2对 c 3对 d 4对 c 答案 60 答案 30 课堂探究 二面角 题型一 例1 下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b所成的角与这个二面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成的角 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是 a b c d 解析 对 显然混淆了平面与半平面的概念 是错误的 对 由于a b分别垂直于两个面 所以也垂直于二面角的棱 但由于异面直线所成的角为锐角 或直角 所以应是相等或互补 是正确的 对 因为不一定垂直于棱 所以是错误的 是正确的 故选b 题后反思 1 二面角的平面角满足 顶点在二面角的棱上 两边分别在二面角的面内 两边分别与二面角的棱垂直 2 二面角的平面角 是两条射线所成的角 因此二面角不一定是锐角 其范围为0 180 平面与平面垂直的判定 题型二 例2 如图 四边形abcd是正方形 o是正方形的中心 po 底面abcd e是pc的中点 求证 1 pa 平面bde 2 平面pac 平面bde 证明 1 连接oe ac 则o是ac的中点 又e是pc的中点 所以oe ap 又因为oe 平面bde pa 平面bde 所以pa 平面bde 2 因为po 底面abcd po bd 又因为ac bd 且ac po o 所以bd 平面pac 而bd 平面bde 所以平面pac 平面bde 题后反思判定两平面垂直的常用方法 1 定义法 即说明两个平面所成的二面角是直二面角 2 判定定理法 其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直 即把问题转化为 线面垂直 3 性质法 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面 则另一个也垂直于此平面 证明 1 因为e p分别为ac a c的中点 所以ep a a 又a a 平面aa b 而ep 平面aa b 所以ep 平面aa b 即ep 平面a fb 2 因为e f分别为直角三角形abc的直角边ac和斜边ab的中点 所以ef bc 因为bc ac ef ae 故ef a e 所以bc a e 而a e与ac相交 所以bc 平面a ec 又bc 平面a bc 所以平面a bc 平面a ec 证明 取ab的中点为o 连接od op 因为pa pb 所以ab op 又ab pd op pd p 所以ab 平面pod 因为od 平面pod 所以ab od 由已知 bc pb 又od bc 所以od pb 因为ab pb b 所以od 平面pab 又od 平面abc 所以平面pab 平面abc 线面垂直 面面垂直的综合问题 题型三 教师备用 如何作二面角的平面角 2 证明 由 1 知pd 平面abcd 所以pd ac 而四边形abcd是正方形 所以ac bd 又bd pd d 所以ac 平面pbd 因为ac 平面pac 所以平面pac 平面pbd 3 解 由 1 知pd bc 又bc dc pd dc d 所以bc 平面pdc 所以bc pc 所以 pcd为二面角pbcd的平面角 而 pcd为等腰直角三角形 所以 pcd 45 即二面角pbcd的大小为45 题后反思 1 证明垂直关系时要注意利用线面垂直 线线垂直 面面垂直之间的转化 2 求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角 这就需要紧扣它的三个条件 即这个角的顶点是否在棱上 角的两边是否分别在两个平面内 这两边是否都与棱垂直 在具体作图时 还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧 如 线面的垂直 图形的对称性 与棱垂直的面等 1 证明 因为d e分别是ab pb的中点 所以de pa 又因为pa 平面pac de 平面pac 所以de 平面pac 2 证明 因为pc 底面abc ab 底面abc 所以pc ab 又因为ab bc pc bc c 所以ab 平面pbc 又因为pb 平面pbc 所以ab pb 3 解 由 2 知 ab pb ab bc 所以 pbc即为二面角p ab c的平面角 因为pc bc pcb 90 所以 pbc 45 所以二面角p ab c的大小为45 1 证明 因为pa 底面abcd cd 平面abcd 所以pa cd 又ac cd ac pa a 所以cd 平面pac 又ae 平面pac 所以cd ae 2 证明 因为pa 底面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 又ad ab ad pa a 所以ab 平面pad 又pd 平面pad 所以ab pd 由pa a