高考数学综合测试 专题2 理.doc

专题二综合测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，设a是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是()a有10个顶点b体对角线ac1垂直于截面c截面平行于平面cb1d1d此多面体的表面积为a2解析：此多面体的表面积s6a23aaaaa2a2a2.故选d.答案：d2(2011福建宁德二模)下图是一个多面体的三视图，则其全面积为()a.b.6c.6d.4解析：由几何体的三视图可得，此几何体是正三棱柱，其全面积为s3()22()2sin606.故选c.答案：c3.(2011江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()a22b12c424 d432解析：由几何体的三视图可得，此几何体是上面一个球、下面一个长方体组成的几何体，此几何体的表面积s41222283432.故选d.答案：d4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为()a7，3 b8，3c7， d8，解析：由几何体的三视图可得，此几何体是四棱柱，底面是梯形，其全面积为s2(12)112121217，体积为v(12)11.故选c.答案：c5(2011江苏启东中学模拟)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为()a. b.c. d8解析：由题意，球的半径为r，故其体积v()3，选a.答案：a6(2011福建福鼎一中模拟)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e是ad的中点，则异面直线c1e与bc所成的角的余弦值是()a. b.c. d.解析：因为bcb1c1，故ec1b1即为异面直线c1e与bc所成的角，在eb1c1中，由余弦定理可得结果，选c.答案：c7(2011泰安市高三质检)已知正四棱锥sabcd的侧棱长与底面边长都相等，e是sb的中点，则ae、sd所成角的余弦值为()a. b.c. d.解析：连接bd，取bd中点o，连接ao则oesd.oea即为ae与sd所成的角令侧棱长为2，则oe1，ao，ae因为ae2ao2oe2，所以aoe是直角三角形，故cosaeo.答案：c8(2011安徽皖南八校联考)设m，n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：；m；m.其中正确的命题是()a bc d解析：由定理可知正确，中m与的位置关系不确定，中可能m.故选c.答案：c9(2011宁夏模拟)如图，正abc的中线af与中位线de相交于g，已知aed是aed绕de旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()a动点a在平面abc上的射影在线段af上b恒有平面agf平面bcedc三棱锥afed的体积有最大值d异面直线ae与bd不可能垂直解析：由题意，de平面aga，a、b、c正确故选d.答案：d10(2011南昌一模)在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m为ab的中点，则点c到平面a1dm的距离为()a.a b.ac.a d.a解析：设点c到平面a1dm的距离为h，则由已知得dma1m a，a1da，sa1dma a2，连接cm，scdma2，由vca1dmva1cdm，得sa1dmhscdma，a2ha2a，所以ha，即点c到平面a1dm的距离为a，选a.答案：a11(2011山东平邑一中模拟)设a，b，c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()a当c时，若c，则b当b时，若b，则c当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abd当b，且c时，若c，则bc解析：写出逆命题，可知b中b与不一定垂直选b.答案：b12(2011山东潍坊模拟)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为()a2 b2c4 d2解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的长，宽，高分别为m，n，k，由题意得，n1，a，b，所以(a21)(b21)6a2b28，所以(ab)2a22abb282ab8a2b216ab4，当且仅当ab2时取等号选c.答案：c二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13(2011广东珠海二模)一个五面体的三视图如图，正视图与侧视图都是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_解析：由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为v(12)222.答案：214(2011上海春招)有一多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图)，ab与cd所成的角的大小是_解析：连接ad，则ad綊2bc，故延长ab，dc必相交，设交点为e，ade是等边三角形，故ab与cd所成的角的大小为60.答案：6015.(2011江西赣州联考)三棱锥sabc中，sbasca90，abc是斜边aba的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线sb与ac所成的角为90；直线sb平面abc；平面sbc平面sac；点c到平面sab的距离是a.其中正确结论的序号是_解析：由题意知ac平面sbc，故acsb，sb平面abc，平面sbc平面sac，、正确；取ab的中点e，连接ce，可证得ce平面sab，故ce的长度即为c到平面sab的距离a，正确答案：16.(2011南京一模)如图，在正三棱柱abca1b1c1中，d为棱aa1的中点，若截面bc1d是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_解析：设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则bdc1d，bc1，由bc1d是面积为6的直角三角形，得，解得，故此三棱柱的体积为v8sin6048.答案：8三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)如图，pa平面abcd，abcd是矩形，paab1，ad，点f是pb的中点，点e在边bc上移动(1)求三棱锥epad的体积；(2)当点e为bc的中点时，试判断ef与平面pac的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点e在边bc的何处，都有peaf.解：(1)三棱锥epad的体积vpasadepa.(2)当点e为bc的中点时，ef与平面pac平行在pbc中，e、f分别为bc、pb的中点，efpc，又ef平面pac，pc平面pac，ef平面pac.(3)证明：pa平面abcd，be平面abcd，bepa，又beab，abpaa，ab，pa平面pab，be平面pab.又af平面pab，afbe.又paab1，点f是pb的中点，pbaf，又pbbeb，pb，be平面pbe，af平面pbe.pe平面pbe，afpe.18(本小题满分12分)已知四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，平面pcd平面abcd，e为pb上任意一点，o为菱形对角线的交点，如图(1)证明：平面eac平面pbd；(2)试确定点e的位置，使得四棱锥的体积被平面eac分成31两部分解：(1)证明：过点b作bgad于点g，由于平面pad平面abcd，由面面垂直的性质定理可知bg平面pad，又pd平面pad，故pdbg；同理，过点b作bhcd于点h，则pdbh.又bg平面abcd，bh平面abcd，bgbhb，pd平面abcd，pdac，又bdac，故ac平面pbd，又ac平面eac，平面eac平面pbd.(2)若四棱锥的体积被平面eac分成31两部分，则三棱锥eabc的体积是整个四棱锥体积的，设三棱锥eabc的高为h，底面abcd的面积为s，则shspd，由此得hpd，故此时e为pb的中点19(本小题满分12分)如图，在四面体abcd中，ae平面bcd，bccd，bccd，acbd，e是bd的中点(1)求证：acbd；(2)求直线ac与平面bcd所成的角解：如图，连接ce.(1)证明：在bcd中，bccd，e是bd的中点，cebd.ae平面bcd，bd平面bcd，aebd，ceaee，bd平面ace，ac平面ace，acbd.(2)ae平面bcd，ce平面bcd，aece，ace就是直线ac与平面bcd所成的角bccd，e是bd的中点，cebd，acbd，ceac，在rtace中，易知ace60.即直线ac与平面bcd所成的角是60.20(本小题满分12分)(2011浙江)如图，在三棱锥pabc中，abac，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc8，po4，ao3，od2.(1)证明：apbc；(2)在线段ap上是否存在点m，使得二面角amcb为直二面角？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由解：方法一：(1)证明：如图，以o为原点，以射线op为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.则o(0,0,0)，a(0，3,0)，b(4,2,0)，c(4,2,0)，p(0,0,4)，(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，即apbc.(2)设，1，则(0，3，4)(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)(4,5,0)，(8,0,0)设平面bmc的法向量n1(x1，y1，z1)，平面apc的法向量n2(x2，y2，z2)由得即可得n1由即得可取n2(5,4，3)由n1n20，得430，解得，故am3综上所述，存在点m符合题意，am3.方法二：(1)证明：由abac，d是bc的中点，得adbc.又po平面abc，得pobc.因为poado，所以bc平面pad.故bcpa.(2)如图，在平面pab内作bmpa于m，连接cm.由(1)中知apbc，得ap平面bmc.又ap平面apc，所以平面bmc平面apc.在rtadb中，ab2ad2bd241，得ab.在rtpod中，pd2po2od2，在rtpdb中， pb2pd2bd2，所以pb2po2od2db236，得pb6.在rtpoa中，pa2ao2op225，得pa5.又cosbpa，从而pmpbcosbpa2，所以ampapm3.综上所述，存在点m符合题意，am3.21(本小题满分12分)(2011辽宁)如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd. (1)证明：平面pqc平面dcq；(2)求二面角qbpc的余弦值解：如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.(1)证明：依题意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0.即pqdq，pqdc.故dq平面dcq.又pq平面pqc，所以平面pqc平面dcq.(2)依题意有b(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)设n(x，y，z)是平面pbc的法向量，则即因此可取n(0，1，2)设m是平面pbq的法向量，则可取m(1,1,1)，所以cosm，n.故二面角qbpc的余弦值为.22.(本小题满分14分)(2011福建)如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，四边形abcd中，abad，abad4，cd，cda45.(1)求证：平面pab平面pad；(2)设abap.()若直线pb与平面pcd所成的角为30，求线段ab的长；()在线段ad上是否存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等？说明理由解：解法一：(1)证明：因为pa平面abcd，ab平面abcd，所以paab，又abad，paada，所以ab平面pad又ab平面pab，所以平面pab平面pad，(2)以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz(如图)在平面abcd内，作ceab交ad于点e，则cead.在rtcde中，decdcos451，cecdsin451.设abapt, 则b(t,0,0)，p(0,0，t)由abad4得ad4t，所以e(0,3t,0)，c(1,3t,0)d(0,4t,0)，(1，1,0)，(0,4t，t)()设平面pcd的法向量为n(x，y，z)由n，n，得取xt，得平面pcd的一个法向量n(t，t,4t)又(t,0，t)，故由直线pb与平面pcd所成的角为30得cos60，即.解得t或t4(舍去，因为ad4t0)，所以ab.()假设在线段ad上存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等设g(0，m,0)(其中0m4t)则(1,3tm,0)，(0,4tm,0)，(0，m，t)由|，得12(3tm)2(4tm)2，即t3m； 由|，得(4tm)2m2t2. 由、消去t，化简得m23m40. 由于方程没有实数根，所以在线段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，c，d的距离都相等从而，在线段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等解法二：(1)同解法一：(2)()以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz(如图)在平面abcd内，作ceab交ad于点e，则cead，在rtcde中，decdcos451，cecdsin451.设abapt，则b(t,0,0)，p(0,0，t)由abad4得ad4t.所以e(0,3t,0)，c(t,3t,0)，d(0,4t,0)(1,1,0)，(0,4t，t)设平面pcd的法向