高中数学 2.2等差数列的概念及通项公式课件设计 新人教B版必修5.ppt

等差数列的概念及通项公式 高斯 1777 1855 德国著名数学家 得到数列1 2 3 4 100 引例一 得到数列 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 引例二 一个梯子共8级 自下而上每一级的宽度 单位 cm 为 89 83 77 71 65 59 53 47 得到数列 89 83 77 71 65 59 53 47 引例三 姚明罚球个数的数列 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 梯子宽度的数列 89 83 77 71 65 59 53 47 发现 观察 以上数列有什么共同特点 从第2项起 每一项与前一项的差都等于同一常数 高斯计算的数列 1 2 3 4 100 观察归纳 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母d表示 递推公式 an an 1 d d是常数 n 2 n n 等差数列定义 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 公差d 1 公差d 500 1 2 3 100 89 83 77 71 65 59 53 47 公差d 6 2 常数列a a a 是否为等差数列 若是 则公差是多少 若不是 说明理由 想一想 公差是0 3 数列0 1 0 1 0 1是否为等差数列 若是 则公差是多少 若不是 说明理由 不是 公差d是每一项 第2项起 与它的前一项的差 防止把被减数与减数弄颠倒 而且公差可以是正数 负数 也可以为0 1 数列6 4 2 0 2 4 是否为等差数列 若是 则公差是多少 若不是 说明理由 公差是 2 a2 a1 d a3 a2 d an an 1 d a4 a3 d a2 a1 d a3 a2 d a1 2d a4 a3 d a1 3d an a1 n 1 d an a1 n 1 d 等差数列的通项公式 当n 1时 等式也成立 由递推公式 an an 1 d d是常数 n 2 n n 可得 通项公式 已知等差数列 an 的首项是a1 公差是d 已知等差数列 an 的首项是a1 公差是d a2 a1 d an an 1 d 1 式 2 式 n 1 式得 a3 a2 d a4 a3 d an a1 n 1 d 1 2 3 n 1 通项公式 an a1 n 1 d 即 由递推公式 an an 1 d d是常数 n 2 n n 在等差数列a a b中 a与a b有什么关系 a a b a 解 依题得 所以 a a b 2 a为a b的等差中项 新概念 例1 1 求等差数列8 5 2 的第20项 2 401是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 解 1 由a1 8 d 5 8 3 n 20 得 a20 2 由a1 8 d 9 5 4 得到这个数列的通项公式为 an 5 4 n 1 由题意知 问是否存在正整数n 使得 401 5 4 n 1 成立 解关于n的方程 得n 100 即 401是这个数列的第100项 8 20 1 3 49 例题讲解 例2 在等差数列 an 中 已知a5 10 a12 31 求首项a1与公差d 解 由题意知 a5 10 a1 4d a12 31 a1 11d 解得 a1 2 d 3 即等差数列的首项为 2 公差为3 点评 利用通项公式转化成首项和公差联立方程求解 例 梯子共有5级 从上往下数第1级宽34cm 第5级宽110cm 且各级的宽度依次组成等差数列 an 求第2 3 4级的宽度 求基本量a1和d 根据已知条件列方程 由此解出a1和d 再代入通项公式 像这样根据已知量和未知量之间的关系 列出方程求解的思想方法 称方程思想 这是数学中的常用思想方法之一 题后点评 巧妙借助等差中项 求解等差数列中间项问题 注重对方法技巧性的掌握 1 已知a4 10 a7 19 求a1与d 在等差数列 an 中 2 已知a3 9 a9 3 求d与a12 解 1 由题意知 a4 10 a1 3d a7 19 a1 6d 解得 a1 11 d 3 即等差数列的首项为1 公差为3 2 由题意知 a3 9 a1 2d a9 3 a1 8d 解得 a1 1 d 1 所以 a12 a1 11d 11 11 1 0 练一练 我国古代算书 孙子算经 卷中第25题记有 今有五等诸侯 共分橘子六十颗 人分加三颗 问 五人各得几何 古题今解 分析 此题已知a1 a2 a3 a4 a5 60 d 3 a1 a1 d a1 2d a1 3d a1 4d 60 a1 6 a2 9 a3 12 a4 15 a5 18即为五等诸侯分到橘子的颗数 点评 解等差数列有关问题时转化为a1和d是常用的基本方法 一个定义 an an 1