24.1.2垂直于弦的直径 .doc

燕矶中学九年级数学备课教案课 题24.1.2 垂直于弦的直径主备人曹伟教学内容垂径定理及其推论课 型新 授教学目标1 知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法连半径，作弦心距。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；3情感目标：通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验教学重点掌握垂径定理及其推论，并运用垂径定理解决一些有关的证明、计算和作图题。教学难点垂径定理及其推论的获得以及应用。教学方法点拨式，讲练结合教学准备PPT主备人教学过程设计点评与个案一、复习1、举例什么是轴对称图形。如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。2、圆是不是轴对称图形？圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴二、情境引入1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 要解决此问题，先探究垂直于弦的直径与弦之间有怎样的关系？引出课题。三、探究新知（学生活动）请同学们回答下面两个问题 1圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流： （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径 （2）利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的（老师点评：对称轴是直线，应该说圆的对称轴是直径所在直线） 因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由 （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD所在直线 （2）AM=BM，即直径CD平分弦AB，并且平分及 这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M 求证：AM=BM，. 分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM（HL） AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合， 进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧师：为何要强调“不是直径”？ （本题的证明作为课后练习）热身练习：1半径为4cm的O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是 。2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是 。3半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 。方法归纳解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。三、例题讲解例1、如图，已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。分析：连半径OA，过O作AB的垂线，利用勾股定理求解。再逛赵州石拱桥1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). AB=37.4, CD=7.2 AD=1/2AB=1/237.4=18.7 OD=OC-DC=R-7.2 在RtOAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即R2=18.72+（R-7.2）2解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.四、应用拓展有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由 分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R解：不需要采取紧急措施。 设OA=R，在RtAOC中，AC=30，CD=18 R2=302+（R-18）2 R2=900+R2-36R+324 解得R=34（m） 连接OM，设DE=x，在RtMOE中，ME=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合题意舍去） DE=4新 课 标 第 一 网 不需采取紧急措施五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 1圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 2垂径定理及其推论以及它们的应用六、布置作业 教材P83 练习1、2长江作业本P76771、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。