高中数学 第一章立体几何初步 1.6.1 垂直关系课件 北师大版必修2.ppt

6垂直关系 6 1垂直关系的判定 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直 那么称这条直线和这个平面垂直 2 画法 当直线与平面垂直时 通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直 如图所示 3 直线与平面垂直的判定定理 文字叙述 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直线与此平面垂直 符号表示 若直线a 直线b 直线l a l b a b a 则l 图形表示 作用 线线垂直 线面垂直 做一做1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是 a 垂直b 斜交c 平行d 不能确定解析 梯形的两腰所在的直线相交 根据线面垂直的判定定理可知选项a正确 答案 a 2 二面角及其平面角 1 半平面的定义 一个平面内的一条直线 把这个平面分成两部分 其中的每一部分都叫作半平面 2 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 这条直线叫作二面角的棱 这两个半平面叫作二面角的面 3 二面角的记法 以直线ab为棱 半平面 为面的二面角 记作二面角 ab 4 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 5 直二面角 平面角是直角的二面角叫作直二面角 做一做2给出下列命题 两个相交平面组成的图形叫作二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成的角 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是 a b c d 解析 由二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 可知 不对 画出图形 可知 正确 中所作的射线不一定垂直于二面角的棱 故 不对 由定义知 正确 故选b 答案 b 3 平面与平面垂直 1 两个平面互相垂直的定义 两个平面相交 如果所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 2 画法 在画两个垂直的平面时 通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直 如图 所示 3 平面与平面垂直的判定定理 文字叙述 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 符号表示 图形表示 作用 线面垂直 面面垂直 做一做3已知直线m n与平面 下列可能使 成立的条件是 a b m m n n c m m d m m 解析 选择适合条件的几何图形观察可得 a中 或 与 相交 b中 相交 但不一定垂直 c中 或 与 相交 答案 d 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 若直线l垂直于平面 内无数条直线 则有l 2 若直线l垂直于平面 内任意直线 则有l 3 若直线l垂直于 内的一个凸五边形的两条边 则有l 4 一个二面角的平面角有且只有一个 5 若直线l与平面 交于点o 且l与 不垂直 l 则 与 一定不垂直 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 易错辨析 探究一线面垂直及其判定 例1 如图所示 在三棱锥a bcd中 bc ac ad bd 作be cd e为垂足 作ah be于点h 求证 ah 平面bcd 探究一 探究二 易错辨析 证明 取ab的中点f 连接cf df 因为ac bc 所以cf ab 同理可得 df ab 又cf df f 所以ab 平面cdf 因为cd 平面cdf 所以ab cd 又be cd 且be ab b 所以cd 平面abe 因为ah 平面abe 所以cd ah 又ah be be cd e 所以ah 平面bcd 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 变式训练1如图所示 ab是圆o的直径 pa垂直于圆o所在的平面 c是圆o上的点 求证 bc 平面pac 分析 由ab是圆o的直径可知ac bc 再结合pa 平面abc 即可证明bc 平面pac 探究一 探究二 易错辨析 证明 由ab是圆o的直径 得ac bc 由pa 平面abc bc 平面abc 得pa bc 又pa ac a pa 平面pac ac 平面pac 所以bc 平面pac 探究一 探究二 易错辨析 探究二面面垂直的判定 例2 如图所示 pa垂直于矩形abcd所在的平面 ad pa 2 cd 2 e f分别是ab pd的中点 求证 1 af 平面pce 2 平面pce 平面pcd 探究一 探究二 易错辨析 分析 1 要证af 平面pce 只需证明af平行于平面pce内的一条直线即可 取pc的中点g 则该直线为ge 2 要证明平面pce 平面pcd 只需证明ge 平面pcd 而由 1 知ge af 故只需证明af 平面pcd即可 探究一 探究二 易错辨析 证明 1 取pc的中点g 连接fg eg f为pd的中点 e为ab的中点 fg cd 且fg cd ae cd 且ae cd fg ae 且fg ae 四边形aegf为平行四边形 af ge ge 平面pec af 平面pce af 平面pce 2 pa ad 2 af pd pa 平面abcd cd 平面abcd pa cd 又 ad cd pa ad a cd 平面pad af 平面pad af cd pd cd d af 平面pcd ge 平面pcd ge 平面pec 平面pce 平面pcd 探究一 探究二 易错辨析 探究一 探究二 易错辨析 变式训练2已知正方形abcd的边长为1 分别取边bc cd的中点e f 连接ae ef af 以ae ef fa为折痕 折叠使点b c d重合于一点p 求证 1 ap ef 2 平面ape 平面apf 探究一 探究二 易错辨析 证明 1 ape apf 90 ap pe ap pf 又pe pf p pa 平面pef ef 平面pef pa ef 2 ape epf 90 pe ap pe pf 又ap pf p pe 平面apf 又pe 平面ape 平面ape 平面apf 探究一 探究二 易错辨析 对空间中线面关系理解不透彻而致误 典例如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 底面abcd为正方形 则截面acb1与对角面bb1d1d垂直吗 探究一 探究二 易错辨析 错解 如图所示 设ac与bd的交点为o 连接b1o 则b1o是截面acb1与对角面bb1d1d的交线 b1o不与底面垂直 截面acb1不可能与对角面bb1d1d垂直 正解 四边形abcd是正方形 ac bd bb1 底面abcd ac b1b b1b bd b ac 对角面bb1d1d 又 ac 截面acb1 截面acb1 对角面bb1d1d 探究一 探究二 易错辨析 12345 1 下列各种情况中 一条直线垂直于一个平面内的 三角形的两条边 梯形的两条边 圆的两条直径 正六边形的两条边 不能保证该直线与平面垂直的是 a b c d 解析 三角形的任何两边都相交 圆的任何两条直径都相交 但梯形中任意两边不一定相交 也可能平行 正六边形中也存在平行的两条边 因此不能保证该直线与平面垂直的是 故选c 答案 c 12345 2 在空间四边形abcd中 若ad bc bd ad 那么有 a 平面abc 平面adcb 平面abc 平面adbc 平面abc 平面dbcd 平面adc 平面dbc 解析 如图所示 ad bc ad bd bc bd b ad 平面bdc 又ad 平面adc 平面adc 平面dbc 答案 d 12345 3 如图所示 bca 90 pc 平面abc 则在 abc pac的边所在的直线中 1 与pc垂直的直线有 2 与ap垂直的直线有 解析 1 因为pc 平面abc ab ac bc 平面abc 所以与pc垂直的直线有直线ab ac bc 2 bca 90 即bc ac 又bc pc ac pc c 所以bc 平面pac pa 平面pac 所以bc ap 答案 1 直线ab ac bc 2 直线bc 12345 12345 4 如图所示 a b 点p在a b所确定的平面外 pa a于点a ab b于点b 求证 pb b 证明 pa a a b pa b 又ab b 且pa ab a b 平面pab 又pb