定积分的基本概念与可积函数类.doc

定积分的基本概念与可积函数类黎曼积分一，摘要：本文先是从微积分的发展史开始讨论，从开普特第二定律到牛顿的变化量累积量再到莱布尼茨的特征三角，研究微积分思想的形成过程包括牛顿和莱布尼茨的积分思想与方法进而引出完整的以柯西，威尔斯特拉斯的极限-语言定义的定积分基本概念。再着重分析了在黎曼积分定义前提下的可积函数类。在讨论可积函数类的过程中主要分析了原函数（不定积分）与可积的关系，两类间断点与可积函数的关系以及间断点的个数与可积的关系。在讨论的过程中我主要是通过举例说明,比如前者是通过证明连续函数有原函数，再证明教材中的牛顿莱布尼茨公式，引出了原函数存在是个比连续还强的条件。即原函数存在一定可积，但可积不一定有原函数，比如黎曼函数。再通过单调函数的（第一类间断点）可积性与黎曼函数（第一类间断点）的可积性与的函数f(x)=sin(1/x)（第二类间断点）的比较得出可积性对间断点的类别提出的要求。即第一类间断点和第二类有穷间断点可能可积，对于无限间断点，无界肯定不可积。再通过狄利克函数说明间断点的个数与可积性的关系，有限个间断点可积无限个间断点不可积。当然上面说的所有的前提是在有界这个必要条件下的最后再补述了勒贝克积分与黎曼积分的关系，扩充可积条件。在此处键入公式。二，关于牛顿和莱姆尼茨的积分思想讲到定积分的基本概念就不得不说到微积分的发展历程，淡到微积分大家一定会想到两位数学界的伟人-他们是英国的牛顿和德国的莱姆尼茨。他们两分别独立从不同的角度思考终于发明了微积分，牛顿是从力学的运动的角度（物理学方面的求变化过程中的积累量。例如，变速运动在一段时间【,b】内行进的路程,变力使物体运动一段路程【,b】所作的功等等。），而莱姆尼茨则是从几何图形的角度着入研究的（主要是利用“特征三角形”从作曲线上任一点的切线进而求面积）。虽然他们的积分思想有所差别，但他们的最终问题的根源却殊途同归回到了同一个问题上来了即蕴含在定积分概念中的基本思想-有限逼近无限，以致促进了以后的极限方法的发展。所以极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。下面我们来分别介绍他们的积分思想1牛顿与他的微积分（艾萨克牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。）说到牛顿人们可能会想到他的三大发明：微积分，万有引力，和光的分析。他不仅是个伟大的数学家而且还是物理学家，这就是为什么他的微积分思想的起源于力学的原因，牛顿对物理学的深刻思考而导致了他在数学方面的成就，他都嫌思考的是开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。由于万有引力的作用，在离太阳不同距离的地方受力不一样，所以加速度也在在变化，也就是说速度V（t）是个变化的，求这个变化过程的积累量即面积。牛顿让速度这个变化过程量为一个连续的函数，行驶的路程就是该函数下面的面积。他是怎么求的面积的呢？把区段a,b划分成无穷个小区段，然后分别求每个小区段的面积累加起来求其极限值就是所求面积，.其中是上的任意一速度，把天体在该时间段看成是匀速运动即上面的极限值就是所求面积。或者写成的形式。2莱布尼茨的积分思想戈特弗里德威廉莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。）上面已经说到莱布尼茨是从几何的角度着手，创立微积分的。首先他在一个坐标轴上（第一象限）画一条连续的曲线，用函数f(x)表示，问题是怎么求该曲线与x=a;x=b和y=0所围成的曲面梯形的面积。他接收了珀斯卡等先驱者的“特征三角形”，认为当dx,dy极小时，曲线上相邻两点之间的曲线同时也是切线即直线的一部分，而dx,dy分别是相邻亮点的横坐标之差和纵坐标之差，他把这种用dx,dy求切线的方法称为“纵坐标差分法”。从而把区间【,b】分划为n个子区间,在每个子区间【xi-1,xi】上任取一点i并作为新的小矩形的高，求这些小矩形面积的和式即得到了面积记： 3牛顿与莱布尼茨积分思想的比较我们今天即不去讨论他们积分思想的优先权问题也不去解说他们的不同之处，我主要说的是他们的共同之处，他们那不约而同的从积分思想的启蒙最终有都回到分析学的基本问题-极限连续上来。从而为后继者发展完整的积分理念打下了坚实的思想基础，下面作一下简要的概述。（一）经过二人的工作，微积分已不再像古希腊时那样，所有数学都是几何学的一部分；也不像他们的先驱那样，使微积分束缚在几何的框架之中，而使微积分成为一门崭新的，独立的数学学科。（分析数学）（二）两人的工作，都不想他们的先驱那样，仅仅局限于解决某些实际的具体的方法，而把微积分建立在一般问题 和符号运算的基础上，使微积分成为解决某些实际问题的普遍方法。（三）他们二人都不像先驱们那样，把微分问题和积分问题看成互不相干的问题，而是看到了这两个问题之间的互逆关系，从而建立起微积分基本定理，并得出所谓的“牛顿莱布尼茨”。（四）他们二人起初都把微积分学建立在对是无穷小运算的基础上。在具体运算时，无穷小忽而为非零之数，忽而又是零。从先划分至无穷再又求极限到有穷，进而求出变化量所行驶的路程和变化量所做的功以及变化曲线下的面积。三，从微积分的思想的创立到完整的定积分基本概念进入19世纪以后，分析学的不严密到了非解决不可的地步，那是还没有变量，极限的严格定义。不知道什么是连续，因为有解析式的函数天然地被认为是连续的。级数的收敛性，定积分的存在性都含糊不清。严密的分析是从波尔查诺。阿贝尔和柯西等人开始的。这和非欧几何的创立，群论的发现处于同一时期。1821年，法国理工科大学教授柯西写了分析教程一书，其中将极限定义为“若代表某变量的一串值无限地趋向于某一数值，其差可以任意小，则该固定值称为这一串数值的极限”。并由此出发建立起一个微积分体系。柯西的功绩是将分析学奠定在极限概念之上，把纷乱的概念里出了一个头绪。但是他的叙事仍然使用“无限趋向”，“要多小有多小”之类的语言，仍然是不严格的。德国数学家威尔斯特拉斯将分析做到“算术化”。他认为变量无非是一个字母，用来表示某区间内的数。这一想法导致了变量X在（Xo-，Xo+）取值时，f(x)zai (f(Xo)- ，f(Xo)-+)取值这样的方法。在他手里，终于取得到了现在广泛采用的-定义。有了这些完整的极限定义下面我们来讨论定积分的完整基本概念。（一）不定积分与定积分的区别与联系不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）而定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）是某些特殊和式的极限。不定积分是微分（求导）的逆运算而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减。定积分只是把不定积分的上下限中的正负无穷换成了固定的上下限，所以基本在不定积分的定义和解决方法都是可以应用到定积分中来。（二）定积分的完整定义定积分的定义设函数(x)定义在区间【,b】上,在这区间上顺序插入任意若干分点：从而把区间【,b】分划为n个子区间,在每个子区间【xi-1,xi】上任取一点i并作和式令表示分划的最大的子区间的长度。如果当0时,和式趋于某一个确定的极限I,则称这极限I为函数(x)在区间【,b】上的定积分或黎曼积分，记为这时又说函数(x)在区间【,b】上是黎曼可积的。当【,b】上的连续函数(x)0时，积分有着明显的几何意义,它表示由曲线y=(x)及直线x=,x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积（图1）。至于一般的函数,如果规定x轴下面的曲边形的面积是负的,则积分给出了如图2中几部分“有向”面积的代数和。（三）定积分的基本性质定积分作为有限和的极限，仍保持着一些有限和所具有的特点。它对于积分区间是可加的，即而对于被积函数是线性的，即式中，为常数；并且当g 时，成立此外，还有分别关于被积函数与积分区间的中值定理：第一中值定理对于区间，b上一个连续函数(x)与一个不变号的可积函数(x)，一定存在该区间上一点，使得第二中值定理对于区间，b上一个单调函数(x)与一个可积函数g(x),一定存在该区间上一点,使得小结：定积分的发展过程是一个严密的逻辑思考过程，和所有的科技发明一样。首先是遇到急需解决的问题，进而对问题的分析寻求解决的办法建立初步的思想启蒙，再完善，成熟，最后形成一道完整的理论。从求变化量累积量与及不规矩图形的面积，到微积分的创立，再到极限思想的完善都是这么一步一步走过来的。四，可积函数类大讨论建立了完整定积分概念之后，就会想到到底什么函数是可积的？可积有需要什么样的条件呢？我从分析教材和参数的总结是这样的： 1,区间a,b有界的函数，2，只有有限个间断点。符合这两个条件或者更加严密的条件都是黎曼可积的。下面我们分类讨论。（一）在区间a,b上连续的函数一定可积。首先证明它满足我上面说的两个条件，因为是连续函数，显然只有有限间断点。下面证明其有界性，这里我简要的文字述说一下：由于是在闭区间上，所以存在一一个有限开覆盖覆盖这个区间（有限覆盖定理），由于函数连续所以在每个覆盖区间局部有界，即在有限个数中选取那个最大的就是函数的一个上界，这里暂且不讨论它是否有上确界。证明其可积有很多办法这里我只讨论两种，（1）根据原函数存在定理。(2)一致连续性这里着重讨论第一种情况，下面先给出第一种证明：首先得证明连续函数必有原函数，剩下的就是证明牛顿莱布尼茨公式了。根据原函数存在定理方法设置一个积分上限函数，在求导就行了。下面给出详细的证明：在区间上连续，则函数在上可导，且其导数就是，即证： 取充分小，使由定积分的性质3和定积分中值定理，得其中或，于是当时由导数定义和的连续性，得下面证明函数可积：设：F(x)在区间(a,b)上可导，将区间n等分，分点依次是x1,x2,xix(n-1)，记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为x=(b-a)/n,则F(x)在区间x(i-1),xi上的变化为F(xi)-F(x(i-1)(i=1,2,3)当x很小时，F(x1)-F(x0)=F(x1)*xF(x2)-F(x1)=F(x2)*xF(xn)-F(x(n-1)=F(xn)*x所以，F(b)-F(a)=F(x1)*x+ F(x2)*x+ F(xn)*x当n+时，(a,b)F(x)dx=F(b)-F(a)以上就是简要的证明，我主要是想说明，原函数存在性与可积之间的关系。如果在一个闭区间上存在原函数，则该函数一定可积。因为原函数存在是一个比连续性更加严密的条件，如果原函数存在，则说明该函数一定可导，那么必然连续。（二）单调函数一定可积为什么一定要讨论单调函数呢？因为单调函数它不一定连续有且只有可数个间断点并且只有第一类间断点。证明（在间断点x，f(x)两边可以取到一个开集(y1,y2)，f(x)的取值空间不包括这个开集。而开集(y1,y2)包含有理数，这样间断点x就可以用一个有理数表示。而R空间的有理数集是可数的，所以间断点可数。）所以它也符合我说的第二个条件，单调函数显然是有界的，只要取最大那个端点的函数值就是最大值。（三），绝对疯狂的函数f(x)=sin(1/x)（第二类间断点）该函数在零这点附近是高度震荡的函数，左右极限都不存在，所以在0点属于第二类间断点。间断点只有一个，显然1是该函数的上确界。符合上面的二个必要条件。下面说明一下该函数的可积性，-存在一个0是的函数在【，1】上一致连续，剩下的证明可以参考下面的黎曼积分的证明，因为在不连续的区间（0，）的测度为0.所以有第二类间断点只要有限也可积。（三）黎曼函数的可积性黎曼函数为：R(x)=0，如果x为任意无理数； R(x)=1/q，如果x=p/q（pZ，qZ+，(p,q)=1），即x为任意有理数。 黎曼函数的性质：根据定义可知，黎曼函数的函数图象应该是一系列松散的点，而非连续曲线，这是因为它一方面处处极限为0，另一方面在任意的小区间中，都包含着无数个值不为0的点。通常来说，黎曼函数的图像是由它在函数值最大的有限个有理点的值组成的散点图来逼近的。 从黎曼函数的图像中可以看出，函数值比较大的点是很稀疏的，随着函数值的减小，点在横向和纵向上都变得越来越密集。 根据图像的特点，黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。 证明：对任意x0(0,1)，任给正数，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（qN+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为，则x0的半径为的去心邻域中所有点函数值均在0,)中，从而黎曼函数在x-x0时的极限为0。 推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。 推论：黎曼函数在区间0,1上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在0,1上的积分为0。） 证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。所以说黎曼函数和特殊情况下的单调函数一样有着同样的积分性质，都有有限个间断点。（四）（反例）狄利克雷函数（有界不可积）实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义为分段函数： F(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数) 基本性质1、定义域为整个实数域 R 2、值域为 0, 1 3、无法画出函数图像 4、以任意正有理数为其周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期） 分析性质1、处处不连续2、处处不可导3、在任何区间内黎曼不可积 4、函数是可测函数5、在单位区间 0,1 上勒贝格可积，且勒贝格积分值为 1（从而可得在任意有限区间 a,b（区间不论开闭）上的勒贝格积分值为 b-a ）狄利克雷函数与上面的函数差别在于它有无线个点断点，不符合我说的上面的第二个性质所以不可积。证明很简单，最后证明它的积分和有不同极限就可以了。小结：可积函数的充要条件是个相对连续，一直连续，可导，原函数存在是个较弱的条件。满足后面的它一定可积。关于间断点的问题与可积性：“疯狂”函数只有第二类间断点，而黎曼函数有第一类间断点，所以只有有限个有限间断点一定可积。五 ，可积条件的延续-勒贝格积分积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将