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有理数整章复习【本讲教育信息】一、教学内容有理数整章复习二、知识要点1.知识点概要理解有理数的意义，会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量.认识数轴，会用数轴上的点表示有理数，能借助数轴，了解相反数的概念，比较有理数的大小，初步理解绝对值的概念.理解有理数的加减乘除及乘方的法则和运算律，会求有理数的倒数，能熟练地进行有理数运算，并能用运算律简化运算.掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算（以三步为主）.会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算.掌握科学记数法，以及精确数及有效数字的概念及应用2.重点难点相关概念、法则、运算律的理解与掌握；有理数混合运算的法则的应用及有理数的混合运算技巧；应用有理数的运算解决实际问题.三、考点分析1.有理数的有关概念数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向和单位长度称作数轴的三要素.相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数. 0的相反数是0；的相反数是.如果互为相反数，则有，；反之亦成立.绝对值：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点离开原点的距离. 数的绝对值记作 其性质是：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.根据绝对值的性质，我们可以得到：；若，则；若，则.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，我们称其中一个数为另一个数的倒数.这个概念我们可以这样来理解：的倒数是；0没有倒数；若互为倒数，则；反之亦成立.有效数字和科学记数法一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确到的数位止，所有的数字叫做这个数的有效数字.一般地，把一个绝对值大于10的数记成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.2.有理数的大小比较用法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.用数轴比较：在同一数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.3.有理数的混合运算有理数的运算法则：加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0. 特别地，几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数.有理数的乘方：求几个相同因数积的运算叫做乘方；乘方的结果叫幂，乘方是乘法的特例，由乘法法则知：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0.运算律： 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里边的；对于同一级运算，则按从左到右的顺序进行.注意：有理数的运算与小学学过的运算有一个重要的区别就是多了一个符号问题，解决问题的关键就是遵循法则，先确定符号，再算绝对值；五条运算律是进行简便运算的依据，在混合运算中，要灵活应用运算律，有时还需将它们逆向使用.运用计算器计算：在计算时要熟悉功能键盘，掌握按键顺序.在输入一个多位数时，按键顺序应是从高位到低位依次输入；做四则运算时，其按键顺序应是从左到右，可与式子书写的顺序一样.【典型例题】例1. 填空：在知识竞赛中，如果10分表示加10分，那么扣20分可表示成 ；某人转动转盘，如果沿逆时针转5圈记作5圈，那么沿顺时针转12圈可表示成 ；某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准0.02克记作0.02克，那么0.03可表示成 ；析解：本题主要是考查同学们运用正负数表示相反意义的量的能力.答案分别是：20；12；低于标准0.03克.点评：怎样利用生活中的常见量表示正负数，理解正负数，练习本题时还需要再作一次认真的总结.例2.填空：若m，n互为相反数，则m n .2006的倒数是 ._.的倒数是（ ）.析解：由相反数的性质知，故填0；由倒数的概念知，2006的倒数是；由相反数的性质知，3；由于2，因而它的倒数是.点评：初学代数，首先必须确保性质符号的准确.例3.如图，数轴上两点所表示的两数的（ ）.和为正数.和为负数.积为正数.积为负数析解：本题重在考查能否应用数形结合思想及数轴上的点所提供的信息进行判别. 由图知，A点表示，B点表示，所以，又因为0既不是正数，也不是负数，故选D.点评：本题考查的是数轴的知识及运算符号的确定.例4.北京奥运会于2008年8月8日20时在北京开幕，如图是5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间2008年8月8日20时应是（ ）.A.伦敦时间2008年8月8日15时 B.纽约时间2008年8月8日7时 C.多伦多时间2008年8月9日8时 D.汉城时间2008年8月8日19时分析：中学地理中，我们学习了时区与时差的知识：北京是东八区，汉城是东九区，纽约在西五区，多伦多在西四区，而伦敦恰好在东西两区之间.我们可将这些城市的国际标准时间（单位：小时）在数轴上表示出来（如上图），从图可以看出，数轴上两点之间的单位长度实际上就是两地之间的时差.由此可轻松得到：北京与纽约的时差为13小时，北京与多伦多的时差为12小时，北京与伦敦的时差为8小时，北京与汉城的时差为1小时.答案选B.点评：本题巧妙地把时差与数轴相结合，将实际问题转化成了求解数轴上两点之间的距离（单位长度）这样的数学问题.例5.下列四个运算中，结果最小的是（ ）. A.1（2） B.1（2） C.l（2） D.1（2）析解：这四个数是：，. 由于，所以最小，故选C.点评：本题考查的是四边形的加减乘除运算法则以及有理数大小的比较.例6.福娃出题：请按气球上所示的有理数将五个气球由大到小重新排序.分析：先将各数在数轴上表示出来，再根据“数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”，这些数的大小关系就一目了然啦.解：如图所示：（4）2.502.所以，这五个气球按大小排序的结果是绿、蓝、红、棕、黄.点评：用这种方法解题时，原数轴上的表示单位长度的数要标在数轴的下方，而要比较大小的数应标在数轴的上方，这样，我们比较大小时，就更清楚明白了.例7.如果，那么下列关系式中正确的是（ ）.A. B.C. D.析解：本题可利用特殊值法，根据条件可令，则，所以，即，故选D.点评：本题也可以运用画数轴的方法，利用数形结合的思想来解决问题.例8.计算下列各题：；.分析：对于有理数的混合运算，要注意运算顺序和运算法则.解：原式；原式.点评：在进行混合运算时，能用运算律简便运算的一定要用运算律来进行运算.例9.用“”定义新运算： 对于任意实数a、b， 都有abb21. 例如7442117，那么53 .析解：本题用“”定义了一种新运算，对“”的理解是解题的关键，理解透了，与常规的运算区别不大. 由题意可知，.点评：新概念运算题是近几年中考试题中的新宠，要注意总结此类题的解题方法.例10.计算下列各题： ； .分析：本题主要考查有理数乘法的交换律、结合律、分配律的运用.应用运算律可以简化运算，同时也可提高做题的速度，减少计算量.解： ；00.点评：对于乘法分配律a（bc）abac有两种运用方法，一种是顺用公式，如上题中的，另一种是逆用公式，如上题中的，在做题时，应具体问题具体分析.例11.神舟六号飞船，在平安飞行115小时32分后重返神州. 用科学记数法表示神舟六号飞船飞行的时间是_ 秒 （保留三个有效数字）.析解：中的取值范围是，底数10的指数等于所表示的整数位数减去1. 因为115小时32分（秒），所以秒保留三个有效数字为秒，故填点评：本题考查的是科学记数法及其运算，由于数字较大，计算时很容易出错，因此一定要特别当心，没有特别说明的话，建议此题用计算器来解决.例12.小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入12345输出那么，当输入数据为8时，输出的数据为.析解：只要细读表格便可发现，输出的分数的分子分别对应着输入数，分母分别是对应输入数的平方加1.因此当输入的数据为8时，输出的分数的分子为，分母为，所以输出的数据为故填点评：本题是一道规律探究题，主要考查同学们的数学思维、观察及推理能力.例13.能被下列数整除的是（ ）.A.3 B.5 C.7 D.9析解：本题重在考查转化思想，因为直接计算显然不大可能，因此可把原式转化为，由乘方的意义及乘法分配律得，故选C.点评：从到的运算，只要掌握了乘方的概念，我们就会发现这是一道看似超纲的，其实却没超纲的好题.例14.按下图的程序计算，若开始输入的值为x3， 则最后输出的结果为（ ）.A.6 B.21 C.156 D.231析解：这是一道循环结构的程序运算题， 输入x，计算的值后，若大于1，则输出结果；若不大于100，则把计算出的结果当作x代入再计算，直至计算出的值大于100，才输出.输入3时，有100，再把6代入，有100，输出，故选D.点评：根据新课程标准的要求，学生要能够熟练地掌握和使用计算器.此种题型以计算器程序的形式呈现在学生面前，有利于考查学生对计算器程序的认识和理解；从而培养学生良好的思维品质，符合时代潮流.例15.阅读下列材料，解答问题.饮水问题是关系到学生身心健康的重要生活环节，我校共有教学班24个，平均每班有学生50人，经估算，学生一年在校时间约为240天（除去各种节假日），春、夏、秋、冬季各60天.原来，学生饮水一般都是购零售价为1.5元/瓶的纯净水，每个学生春、秋、冬季平均每天买1瓶纯净水，夏季平均每天要买2瓶纯净水.学校为了减轻学生消费负担，要求每个班自行购买1台冷热饮水机，经调查，购买一台功率为500W的冷热饮水机约为150元，纯净水每桶6元，每班春、秋两季，平均每1.5天购买4桶，夏季平均每天购买5桶，冬季平均每天购买1桶，饮水机每天开10小时，当地民用电价为0.50元 / 度.问题： 在未购买饮水机之前，全年平均每个学生要花费 元钱来购买纯净水饮用. 请计算：在购买饮水机解决学生饮水问题后，每班全年共要花费多少元？ 这项便利学生的措施实施后，东坡中学一年要为全体学生共节约 元钱？析解：每个学生春、秋、冬季每天1瓶矿泉水，夏季每天2瓶.一个学生在春、秋、冬季共购买180瓶矿泉水；夏天要购买120瓶矿泉水.一年中一个学生共要购买300瓶矿泉水.即一个学生全年共花费1.5300450元钱.购买饮水机后，一年每个班所需纯净水的桶数为：春秋两季，每1.5天4桶，则120天共需（4120）320桶，夏季每天5桶，共要605300桶.冬季每天1桶，共60 桶，全年共要纯净水（32030060）680桶.故购买矿泉水费用为68064080元.使用电费为240100.5600（元）.故每班学生全年共花费：40806001504830（元）.一个学生节省的钱为450353.4元.全体学生共节省的钱数为353.42450424080元.点评：所谓阅读理解题，就是题目中提供一定的材料，介绍一个概念，给出一种解法，让你在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法，从而加以运用，解决实际问题.其目的是考查学生的阅读理解能力、收集处理信息的能力和运用知识解决实际问题的能力.五、本节数学思想方法的学习本章中的数学思想方法主要有：字母代数、数形结合、转化、分类等，要结合具体问题加以体会和运用.1.分类思想：若某个问题有多种情况，则需分别对每种情况进行讨论. 分类时要遵循两条原则，一是每次分类都要按照同一标准进行，二是分类时做到不重复、不遗漏. 如有理数的分类；有理数加法法则的分类等.2.数形结合思想：著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”. 利用数形结合思想研究问题，可以使问题化难为易，化繁为简. 如有理数的大小比较、绝对值、加法法则等可以一目了然地在数轴上表示出来，既形象又直观.3.转化思想（化归思想）：转化思想通常是指把陌生问题转化成熟悉问题，把新知识转化成旧知识，把抽象问题转化成具体问题. 如有理数的减（除）法是转化成加（乘）法来计算的，使加减（乘除）法运算统一成加（乘）法运算.【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、细心选一选（每题3分，共30分）1. 在，丨6丨，（5），33，（11）220%，0中，正数的个数有（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2. 下列说法中不正确的是（ ）A. 5表示的点到原点的距离是5； B. 一个有理数的绝对值一定是正数；C. 一个有理数的绝对值一定不是负数；D. 互为相反数的两个数的绝对值一定相等.3. 下列各对数中，互为相反数的是（ ）A. |7|和（7） B. （10）和（10） C. （4）3和43 D. （5）4和544. 比较2.4，0.5，（2），3的大小，下列正确的是（ ）A. 32.4（2）0.5 B.（2）32.40.5C.（2）0.52.43 D. 3（2）2.40.55. 下列算式正确的是（ ） A. 39 ； B.； C.； D.6. 已知m是有理数，下列四个式子中一定是正数的是（ ）A.|m|2 B.|m| C.m3 D.|m|7. 如果有理数a，b满足ab0，ab0，b|b| B.当a0时，|a|b|C.a0，b0 D.a0，b08. 是应用了（ ）A. 加法交换律 B. 加法结合律 C. 分配律 D. 加法的交换律与结合律*9. 下列说法不正确的是（ ）A. 近似数1.8与1.80表示的意义不一样； B. 5.0万精确到万位C. 0.200有三个有效数字； D. 用科学记数法表示为*10. 某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费。已知甲用户某月份用煤气80立方米，那么这个月甲用户应交煤气费（ ）A. 64元 B. 66元 C. 72元 D. 96元二、仔细填一填（每题4分，共40分）11. 把下列各数填在相应的大括号中8，0.275，0，正整数集合 整数集合 负整数集合 正分数集合 12. 如果收入10.5元表示为10.5元，那么支出6元可表示为_元13. 既不是正数也不是负数的数是_；最大的负整数是 _ ，最小的正整数是_；平方等于它本身的数是_14. 如果，且，则 .15. 大于4而小于3的整数是_.绝对值不小于2.1且不大于5.3的整数是 .16. 43中幂的指数是 ，底数是 ，结果是 17. 将一张0.12毫米厚的白纸对折10次后，其厚度为 _毫米（只要求列算式）.*18. 观察下列算式： ，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：.*19. a为最小的正整数，b为a的相反数的倒数，c为相反数等于本身的数，则_。*20. 已知_。三、认真算一算（每小题6分，共36分）21. （2）388（）38； 32（）20.8（5）；*；*四、努力解一解（共44分）22.（6分） 若a3的绝对值与b2的平方互为相反数，求a的b次幂的值23.（6分）小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家（1）小彬家距中心广场多远？（2）小明一共跑了多少千米？*24. （8分）阅读例题后再解题：例：设a*b3a4b，求2*（4）。解：2*（4）324（4）22。设a*b2a3b1，求2*（3）和a*（3）*（4）的值。*25. （8分）小红爸爸上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期一二三四五每股涨跌44.512.56（1）通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？（2）本周内每股最高是多少元？最低是多少元？（3）已知小红爸爸买进股票时付了1.5的手续费，卖出时还需付成交额，1.5的手续费和1的交易税，如果小红爸爸在星期五收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？*26.（8分） 某商店同时售出两件风衣，每件售价135元，按成本核算，其中一件盈利25，另一件亏本25，此次经营该店是赔还是