高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 理.ppt

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法 知识梳理 1 数列的有关概念 一定顺序 每一个数 an f n a1 a2 an 2 数列的表示方法 n an 公式 3 an与sn的关系若数列 an 的前n项和为sn 则 s1 sn sn 1 4 数列的分类 有限 无限 特别提醒 1 数列的项与项数 数列的项与项数是两个不同的概念 数列的项是指数列中某一确定的数 而项数是指数列的项对应的位置序号 2 常见数列的通项公式 自然数列 1 2 3 4 an n 奇数列 1 3 5 7 an 2n 1 偶数列 2 4 6 8 an 2n 平方数列 1 4 9 16 an n2 2的乘方数列 2 4 8 16 an 2n 正整数的倒数列 重复数串列 9 99 999 9999 an 10n 1 符号数列 1 1 1 1 或1 1 1 1 an 1 n或an 1 n 1 小题快练 链接教材练一练1 必修5p31例3改编 在数列 an 中 a1 1 an 1 n 2 则a4 解析 选b 由题意知 a1 1 a2 2 2 必修5p31练习t4 1 改编 数列的一个通项公式an是 解析 由已知得 数列可写成故通项为答案 感悟考题试一试3 2016 石家庄模拟 把1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形 如图 则第7个三角形数是 a 27b 28c 29d 30 解析 选b 由图可知 第7个三角形数是1 2 3 4 5 6 7 28 4 2016 成都模拟 已知数列 an 满足a1 0 an 1 n n 则a2015等于 解析 选b 根据题意 由于数列 an 满足a1 0 an 1 那么可知a1 0 故可知数列的周期为3 那么可知a2015 a2 5 2016 九江模拟 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 a2 2 且对于任意n 1 n n 满足sn 1 sn 1 2 sn 1 则s10的值为 a 91b 90c 55d 54 解析 选a 当n 2时 s3 s1 2 s2 1 即3 a3 1 2 4 解得a3 4 当n 1 n n 时 sn 1 sn 1 2 sn 1 sn 2 sn 2 sn 1 1 两式相减得an 2 an 2an 1 故数列 an 从第二项起是首项为2 公差为2的等差数列 所以s10 1 2 9 2 91 考向一已知数列的前几项求通项 典例1 1 2016 太原模拟 已知数列根据前三项给出的规律 则实数对 a b 可能是 2 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 3 5 9 17 33 解题导引 1 根据前几项规律写出其通项公式后再列方程组求解 2 观察项与项数之间的关系 项与前后项之间的关系 分子与分母的关系以及符号规律 规范解答 1 选c 由前三项可知 该数列的通项公式可能为an 所以即 2 观察各项的特点 每一项都比2的n次幂多1 所以an 2n 1 数列的符号规律为 1 n 由第二 三 四项特点 可将第一项看成这样 先不考虑符号 则分母为3 5 7 9 可归纳为2n 1 分子为3 8 15 24 将其每一项 加1后变成4 9 16 25 可归纳为 n 1 2 综上 数列的通项公式an 把数列改写成分母依次为1 2 3 而分子1 0 1 0 周期性出现 因此数列的通项可表示为 将数列统一为对于分子3 5 7 9 是序号的2倍加1 可得分子的通项公式为bn 2n 1 对于分母2 5 10 17 联想到数列1 4 9 16 即数列 n2 可得分母的通项公式为cn n2 1 所以可得它的一个通项公式为an 规律方法 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 1 常用方法 观察 观察规律 比较 比较已知数列 归纳 转化 转化为特殊数列 联想 联想常见的数列 等 2 具体策略 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项的符号特征和绝对值特征 化异为同 对于分式还可以考虑对分子 分母各个击破 或寻找分子 分母之间的关系 对于符号交替出现的情况 可用 1 k或 1 k 1 k n 处理 变式训练 1 如图所示 这是一个正六边形的序列 则第n个图形的边数为 a 5n 1b 6nc 5n 1d 4n 2 解析 选c 第一个图形是六边形 即a1 6 以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边 所以a2 6 5 11 a3 11 5 16 观察可得选项c满足此条件 2 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 他们研究过如图所示的三角形数 将三角形数1 3 6 10 记为数列 an 将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn 可以推测 1 b2012是数列 an 中的第 项 2 b2k 1 用k表示 解析 由以上规律可知三角形数1 3 6 10 的一个通项公式为an 写出其若干项有 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 发现其中能被5整除的为10 15 45 55 105 120 故b1 a4 b2 a5 b3 a9 b4 a10 b5 a14 b6 a15 从而由上述规律可猜想 b2k a5k k为正整数 b2k 1 a5k 1 故b2012 b2 1006 a5 1006 a5030 即b2012是数列 an 中的第5030项 答案 1 5030 2 加固训练 1 数列则是该数列的 a 第6项b 第7项c 第10项d 第11项 解析 选b 原数列可写成因为所以20 2 n 1 3 所以n 7 2 根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律 猜测第n个图中有 个点 解析 观察图中5个图形点的个数分别为1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 故第n个图中点的个数为 n 1 n 1 n2 n 1 答案 n2 n 1 3 写出下列数列的一个通项公式 1 0 6 0 66 0 666 解析 1 数列变为 2 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母小3 因此把第1项变为原数列化为故an 3 分子是连续的偶数 且第1个数是2 所以用2n表示 分母是22 1 42 1 62 1 82 1 102 1 所以用 2n 2 1表示 所以an 4 正负交替出现 且奇数项为负 偶数项为正 所以用 1 n表示 分母是连续奇数相乘的形式 观察和项数n的关系 用 2n 1 2n 1 表示 分子是21 1 22 1 23 1 24 1 用2n 1表示 所以an 考向二已知递推关系求通项 典例2 1 2016 长沙模拟 已知数列 an 满足 a1 2 n 1 an n 1 an 1 n 2 n n 则 数列 an 的通项公式为 2 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 2 则an 解题导引 1 把已知转化为利用累乘法求解 2 化为an 1 m p an m 构造 an m 为等比数列 规范解答 1 a1 2 当n 2时 当n 3时 所以利用累乘法得 所以an 答案 2 因为an 1 3an 2 所以an 1 1 3 an 1 所以所以数列 an 1 为等比数列 公比q 3 又a1 1 2 所以an 1 2 3n 1 所以an 2 3n 1 1 答案 2 3n 1 1 母题变式 1 若本例题 2 条件an 1 3an 2变为an 1 3an 3n 1 求an 解析 因为an 1 3an 3n 1 所以所以数列是以为首项 1为公差的等差数列 所以所以an n 3n 2 3n 1 2 若本例题 2 条件an 1 3an 2变为an 1 9an 2 3n 1 求an 解析 因为an 1 9an 2 3n 1 所以所以 所以数列是以为首项 3为公比的等比数列 所以所以an 4 32n 2 3n 规律方法 典型的递推数列及处理方法 变式训练 在数列 an 中 an 1 3an2 a1 3 则an 解析 由已知 an 0 在递推关系式两边取对数 有lgan 1 2lgan lg3 令bn lgan 则bn 1 2bn lg3 所以bn 1 lg3 2 bn lg3 所以 bn lg3 是等比数列 所以bn lg3 2n 1 2lg3 2nlg3 所以bn 2nlg3 lg3 2n 1 lg3 lgan 所以an 32n 1 答案 32n 1 加固训练 1 在数列1 1 2 3 5 8 13 x 34 55 中 x应取 a 19b 20c 21d 22 解析 选c a1 1 a2 1 an 2 an 1 an 所以x 8 13 21 2 在数列 an 中 a1 2 an 1 an 则an等于 a 2 lnnb 2 n 1 lnnc 2 nlnnd 1 n lnn 解析 选a 由已知 an 1 an a1 2 所以an an 1 n 2 an 1 an 2 a2 a1 将以上n 1个式子叠加 得 lnn n 2 所以an 2 lnn n 2 经检验n 1时也适合 3 设数列 an 满足求an 解析 因为an 1 所以所以 又所以是以为首项 为公比的等比数列 所以所以an 考向三an与sn关系式的应用 考情快递 考题例析 命题方向1 已知sn求an问题 典例3 2016 德阳模拟 已知数列 an 的前n项和sn 3n2 2n 1 则其通项公式为 解题导引 分n 1与n 2两种情况求解 规范解答 当n 1时 a1 s1 3 12 2 1 1 2 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 显然当n 1时 不满足上式 故数列的通项公式为an 答案 an 易错警示 解答典例3会出现以下错误 直接由an sn sn 1求出通项公式 忽略了n 1时的情况而致误 母题变式 1 若本例中条件 前n项和sn 3n2 2n 1 改为 前n项积为tn 3n2 2n 1 求an 解析 当n 1时 a1 t1 3 12 2 1 1 2 当n 2时 an 显然当n 1时 满足上式 故数列的通项公式为an 2 若本例中条件 前n项和sn 3n2 2n 1 改为 a1 2a2 3a3 4a4 nan 3n2 2n 1 求an 解析 设a1 2a2 3a3 4a4 nan tn 当n 1时 a1 t1 3 12 2 1 1 2 当n 2时 nan tn tn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 因此an 显然当n 1时 不满足上式 故数列的通项公式为an 命题方向2 sn与an的关系问题 典例4 2015 全国卷 设sn是数列 an 的前n项和 且a1 1 an 1 snsn 1 则sn 解题导引 将an 1转化为sn与sn 1 再求解 规范解答 由已知得an 1 sn 1 sn sn 1 sn 两边同时除以 sn 1 sn 得故数列是以 1为首项 1为公差的等差数列 则 1 n 1 n 所以sn 答案 技法感悟 1 已知sn求an的三个步骤 1 先利用a1 s1求出a1 2 用n 1替换sn中的n得到一个新的关系 利用an sn sn 1 n 2 便可求出当n 2时an的表达式 3 对n 1时的结果进行检验 看是否符合n 2时an的表达式 如果符合 则可以把数列的通项公式合写 如果不符合 则应该分n 1与n 2两段来写 2 sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求 将问题向不同的两个方向转化 1 利用an sn sn 1 n 2 转化为只含sn sn 1的关系式 2 利用sn sn 1 an n 2 转化为只含an an 1的关系式 再求解 题组通关 1 2016 衡水模拟 设数列 an 的前n项和sn n2 则a8的值为 a 15b 16c 49d 64 解析 选a a8 s8 s7 82 72 15 2 2016 唐山模拟 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 sn 2an 1 则sn 解析 选b 因为sn 2an 1 所以当n 2时 sn 1 2an 所以an sn sn 1 2an 1 2an n 2 即 n 2 又a2 所以an 当n 1时 a1 1 所以an 所以sn 2an 1 3 2016 衡阳模拟 若数列 an 的前n项和sn 则 an 的通项公式是an 解析 当n 1时 由已知sn 得a1 即a1 1 当n 2时 由已知得到sn 1 所以an sn sn 1 所以an 2an 1 所以数列 an 为以1为首项 以 2为公比的等比数列 所以an 2 n 1 答案 2