2013辽宁高考数学文科试题及解析.doc

绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 则（A） （B） （C） （D）2.复数的模为（A） （B） （C） （D）3.已知点则与向量同方向的单位向量为（A） （B） （C） （D）4.下面是关于公差的等差数列的四个命题： 数列是递增数列； 数列是递增数列； 数列是递增数列； 数列是递增数列；其中的真命题为（A） （B） （C） （D）5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A） （B） （C） （D）0.020.0150.010.005频率组距O 20 40 60 80 100 成绩/分6.在，内角所对的边长分别为且，则 A B C D 7.已知函数则A B C D 8.执行如图所示的程序框图，若输入则输出的A B C D 否是开始输入输出S结束9、已知点.若ABC为直角三角形，则必有A B C D10、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上. 若则球的半径为A B C D 11、已知椭圆的左焦点为F， 与过原点的直线相交于A,B两点， 连接AF,BF.若|AB|=10，|BF|=8，则的离心率为（A） （B） （C） （D）12、已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（A） （B） （C） （D）第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14、已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方程的两个根，则 .15、已知为双曲线的左焦点，P,Q为上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则PQF的周长为 .16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）设向量（I）若求的值； （II）设函数求的最大值.18（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.（I）求证：平面（II）设Q为PA的中点。G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.19（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：（I）所取的2道题都是甲类题的概率；（II）所取的2道题不是同一类题的概率.20（本小题满分12分）如图，抛物线点在抛物线上，过M作的切线，切点为A,B(M为原点时，A,B重合于).当时，切线MA的斜率为.（I）求P的值；（II）当M在上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A,B重合于时，中点为）.21（本小题满分12分）（I）证明：当 时，（II）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB为直径，直线CD与相切于E.AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明：（I）（II）22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）求与交点的极坐标； （II）设P为的圆心，Q为与交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(为参数)，求的值. 22（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数其中（I）当时，求不等式的解集； （II）已知关于的不等式的解集为，求的值.2013高考数学辽宁卷（文科）解析参考答案一选择题1. 答案B 解析 由已知，所以，选B。2. 答案B 解析由已知所以3 . 答案A解析，所以，这样同方向的单位向量是4 . 答案D解析设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确5 . 答案B 解析第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。6 . 答案A 解析边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以。7. 答案D解析所以，因为，为相反数，所以所求值为2.8 . 答案A 解析的意义在于是对求和。因为，同时注意，所以所求和为=9 . 答案C 解析若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C10 . 答案C 解析由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=11 . 答案B 解析由余弦定理，AF=6，所以，又，所以12 . 答案C 解析顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=方法技巧（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同一个自变量取得。二填空题13. 答案 解析直观图是圆柱中去除正四棱柱。14 . 答案63解析由递增，所以，代入等比求和公式得15 .答案44解析两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为16 .答案10 解析设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得，显然各个括号为整数。设分别为，则。设=，由已知，由判别式得，所以，所以.三解答题17解：（）由，.及，得，又，从而，所以.（）,当时，取最大值1，所以的最大值为.18. 解：（）由AB是圆的直径，得，由平面ABC，平面ABC,得PABC,又PAAC=A,PA平面PAC, AC平面PAC,所以证平面PAC. （）连接OG并延长交AC于点M,连接QM,QO,由G为AOC的重心，得M为AC中点.由Q为PA中点，得QMPC,又O为AB中点，得OMBC.因为QMMO=M,QM平面QMO,MO平面QMO,BCPC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO,所以QG平面PBC.19. 解：（）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道一类题依次编号为5.6，任取2道题，基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的. 用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，所以P（A）= （）基本事件向（I），用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共8个，所以P(B)=.20. 解：（）因为抛物线上任意一点（x,y）的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为 .因为点在切线MA 抛物线C上，于是 由得=2.（）设N(x,y), 由N为线段AB中点知 切线MA、MB的方程为 由得MA、MB的交点M（）的坐标为，因为点M（）在C上，即，所以 由得 当时，A、B重合于原点0，AB重点N为0，坐标满足因此AB中点N的轨迹方程为.21（）证明：记F（x）=当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数. 又，所以当时，即. 记，则当时，所以在上是减函数，则，即.综上，（）解法一:因为当时.所以，当时，不等式对恒成立.下面证明，当时，不等式对不恒成立.因为当时，所以存在（例如取和中的较小值）满足，即当时，不等式对不恒成立.综上，实数的取值范围是解法二:记，则.记，则.当时，因此.于是(x)在0,1上试减函数，因此，当x(0,1)时，(x)(0)=a+2,故当a-2时，(x)-2时，不等式对不恒成立.由于在上是减函数，且，当时，所以当时，因此在上是增函数，故当-26sin1-2cos1-时，0，故存在使，则当0，所以f(x)在0,上是增函数，所以当时，.所以，当a-2时，不等式.综上，实数的取值范围是22证明：（）由直线CD与O相切，得CEBEAB,由AB为O的直径，得AEAB,得EAB+EBF=；又EFAB,得FEB+EBF=,从而FEB=EAB，故FEB=CEB.（）由BCCE,EFAB, FEB=CEB，BE是公共边，得，所以.类似可证，得. 又在中，