高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《三角函数的图象与性质》理 新人教A版.doc

第三节三角函数的图象与性质 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性如2012年新课标全国t9等2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题如2012年湖南t6等3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中如2012年北京t15等.归纳知识整合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域rr kz值域1,11,1r单调性递增区间：(kz)递减区间：(kz)递增区间：2k，2k (kz)递减区间：2k，2k (kz)递增区间：(kz)最值x2k(kz)时，ymax1 x2k(kz)时，ymin1x2k(kz)时，ymax1 x2k(kz) 时，ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kz对称中心，kz对称中心(kz)对称轴l xk，kz对称轴l xk，kz无对称轴周期22探究1.正切函数ytan x在定义域内是增函数吗？提示：不是正切函数ytan x在每一个区间(kz)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数2当函数yasin(x)分别为奇函数和偶函数时，的取值是什么？对于函数yacos(x)呢？提示：函数yasin(x)，当k(kz)时是奇函数，当k(kz)时是偶函数；函数yacos(x)，当k(kz)时是偶函数，当k(kz)时是奇函数自测牛刀小试1(教材习题改编)设函数f(x)sin，xr，则f(x)是()a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的偶函数c最小正周期为的奇函数d最小正周期为的偶函数解析：选bf(x)sin(2x)cos 2x，f(x)是最小正周期为的偶函数2(教材习题改编)函数y4sin x，x，的单调性是()a在，0上是增函数，在0，上是减函数b在上是增函数，在和上都是减函数c在0，上是增函数，在，0上是减函数d在上是增函数，在上是减函数解析：选b由函数y4sin x，x，的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数3函数y 的定义域为()a.b.，kzc.，kzdr解析：选ccosx0，得cos x，2kx2k，kz.4(教材习题改编)函数f(x)sin，xr的最小正周期为_解析：函数f(x)sin的最小正周期为t4.答案：45函数y32cos的最大值为_，此时x_.解析：函数y32cos的最大值为325，此时x2k，即x2k(kz)答案：52k(kz)三角函数的定义域和值域例1(1)求函数ylg(2sin x1)的定义域；(2)求函数y2cos2x5sin x4的值域自主解答(1)要使函数有意义，必须有即解得(kz)，即2kx2k(kz)故所求函数的定义域为(kz)(2)y2cos2x5sin x42(1sin2x)5sin x42sin2x5sin x22(sin x)2.故当sin x1时，ymax1，当sin x1时，ymin9，故y2cos2x5sin x4的值域为9,11三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域的求法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yasin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)1(1)求函数y的定义域；(2)设ar，f(x)cos x(asin xcos x)cos2满足ff(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值解：(1)要使函数有意义则即利用数轴可得：所以函数的定义域是.(2)f(x)cos x(asin xcos x)cos2asin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x.由于ff(0)，所以sincos1，即a1，得a2.于是f(x)sin 2xcos 2x2sin.由于x，所以2x，因此当2x即x时f(x)取得最大值f2，当2x即x时f(x)取得最小值f.三角函数的单调性例2求下列函数的单调递减区间：(1)y2sin；(2)ytan.自主解答(1)由2kx2k，kz，得2kx2k，kz.故函数y2sin的单调减区间为(kz)(2)把函数ytan变为ytan.由k2xk，kz，得k2xk，kz，即x0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则 ()a. b.c. d.(3)(2012大纲全国卷)若函数f(x)sin (0,2)是偶函数，则()a.b.c.d.自主解答(1)法一：(图象特征)正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kz，xk，kz.取k1，则x.法二：(验证法)x时，ysin0，不合题意，排除a；x时，ysin，不合题意，排除b；x时，ysin1，符合题意，c项正确；而x时，ysin，不合题意，故d项也不正确(2)由于直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期t2，所以1，所以k(kz)又00，0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，f2，求的值解：(1)函数f(x)的最大值为3，a13，即a2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期t，2，故函数f(x)的解析式为y2sin1.(2)f2sin12，sin.0，0，若yf(x)在区间上是增函数，求的取值范围；解：(1)f(x)sin24sin x(cos xsin x)(cos xsin x)4sin xcos 2x2sin x(1sin x)12sin2x2sin x1，故函数解析式为f(x)2sin x1.(2)f(x)2sin x1，0.由2kx2k，得f(x)的增区间是，kz.f(x)在上是增函数，.且，.12(2012湖北高考)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，设函数f(x)ab(xr)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围解：(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，所以2k(kz)，即(kz)又(，1)，kz，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin，由0x，有x，所以sin1，得12sin2，故函数f(x)在上的取值范围为1，2 1求下列函数的定义域：(1)ylg sin(cos x)；(2)y.解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)0.1cos x1，0cos x1.利用单位圆中的余弦线om，依题意知0om1，om只能在x轴的正半轴上，其定义域为.(2)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.2写出下列函数的单调区间及周期：(1)ysin；(2)y|tan x|.解：(1)ysin，它的增区间是ysin的减区间，它的减区间是ysin的增区间由2k2x2k，kz，得kxk，kz.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.故所给函数的减区间为，kz；增区间为，kz.最小正周期t.(2)观察图象可知，y|tan x|的增区间是，kz，减区间是，kz.最小正周期：t.3求下列函数的值域：(1)y；(2)ysin2x4sin x5.解：(1)由y，得cos x.因为1cos x1，所以11，解得y6.因此，原函数的值域为.(2)ysin2x4s