二次函数.doc

人教版义务教育教材数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质教学目标1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式，通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质3. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ya(xh)2k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题4. 了解二次函数yax2，ya(xh)2，ya(xh)2k的图象之间的关系会确定函数ya(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标能够从图象的平移变换的角度认识二次函数ya(xh)2k的图象特征5. 让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力教学重点1. 了解二次函数yax2，ya(xh)2，ya(xh)2k的图象之间的关系会确定函数ya(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标2. 从图象的平移变换的角度认识二次函数ya(xh)2k的图象特征教学难点1. 了解二次函数yax2，ya(xh)2，ya(xh)2k的图象之间的关系2. 理解图象的平移和变换的理解和确定课时安排6课时教案A第1课时教学内容22.1.1二次函数教学目标1理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式2会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围3让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力4通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点教学重点理解二次函数yax2bxc（a、b、c）是常数，且a0的概念教学难点教材中涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力教学过程一、导入新课正方体的六个面是全等的正方形（下图），设正方体的棱长为x，表面积为y如果改变正方体的棱长x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间有什么关系？教师引导学生思考问题，列出方程导入新课的教学二、新课教学显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y6x2问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛比赛的场次数m与球队数n有什么关系？每个队要与其他(n1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数mn (n1)，即mn2n这个函数解析式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1x) t，再经过一年后的产量是20(1x)(1x) t，即两年后的产量 y20(1x)2，即y20 x40x40这个函数解析式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数思考：函数y6x2、mn2n、y20 x40x40有什么共同特点？在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的一般地，形如 yax2bxc (a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项三、巩固练习教材第29页练习1、2四、课堂小结今天你学习了什么？二次函数的概念是什么？五、布置作业习题22.1 第1、2题第2课时教学内容22.1.2 二次函数yax2的图象和性质教学目标1会用描点法画出形如yax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念2通过观察图象能说出二次函数yax2的图象和性质3在探究二次函数yax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想教学重点二次函数yax2图象的描绘和图象特征的归纳 教学难点选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象，该过程较为复杂教学过程一、导入新课1同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质2我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象3一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?我们已经学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和性质二、新课教学1二次函数yx2的图象教师指导学生列表，然后描点、画图，得出二次函数yx2的图象，然后让学生归纳二次函数yx2的图象的性质和特点（1） 列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表x3210123yx29410149（2）描点在直角坐标系中，用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点（3）连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数yx2的图象，如图所示（4）归纳总结提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结如下：二次函数yx2的图象是一条曲线，这条曲线开口向上，它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线yx2的最低点一般地，二次函数yax2bxc的图象叫做抛物线yax2bxc每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点顶点是抛物线的最低点或最高点在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升也就是说，当x0时，y随x的增大而增大三、实例探究1在同一直角坐标系中，画出函数yx2 ，yx2 ，y2x2的图象2在同一直角坐标系中，画出函数yx2 ，yx2 ，y2x2的图象教师引导学生根据描点法的一般步骤，进行列表，然后描点、画图完成后让学生类比研究二次函数yx2的角度，尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等几个方面分别描述这两个函数的图象特征（见教材第31页表、图）思考：（1）当a0时，二次函数yax2的图象有什么特点？（2）当a0时，二次函数yax2有什么图象和特点？学生思考、讨论，最后师生归纳：一般地，当a0时，抛物线yax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小当a0时，抛物线yax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小四、巩固练习教材第32页练习五、课堂小结抛物线yax2的对称轴是y轴，顶点是原点当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点对于抛物线yax2，a越大，抛物线的开口越小如果a0，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大；如果a0，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小六、布置作业习题22.1 第3、4题第3课时教学内容22.1.3二次函数ya(xh)2k的图象和性质（1）教学目标1会用描点法画出二次函数yax2k的图象，理解二次函数yax2k的性质2理解函数yax2k与函数yax2的相互关系教学重点正确理解二次函数yax2k的性质教学难点理解抛物线yax2k与抛物线yax2的关系教学过程一、导入新课填空：二次函数y2x2的图象是_，它的开口向_，顶点坐标是_；对称轴是_，在对称轴的左侧，y随x的增大而_，在对称轴的右侧，y随x的增大而_，函数yax2与x_时，取最_值，其最_值是_过渡：二次函数y2x21、y2x21的图象与二次函数y2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同呢？我们今天就来探究这个问题二、新课教学1对于这个问题，你将采取什么方法加以研究？画出这三个函数的图象，并加以比较2你能在同一直角坐标系中，画出函数y2x2、y2x21、y2x21的图象吗?（1）先让学生回顾二次函数画图的步骤，按照画图步骤画出函数y2x2的图象（2）教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y2x21和y2x21的对应值表，并让学生画出函数y2x21、y2x21的图象（3）教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较列表：x21.510.500.511.52y2x284.520.500.524.58y2x2195.531.511.535.59y2x2173.510.510.513.57然后描点画图，得y2x2，y2x21，y2x21的图象（可见教材图22.1-6）3抛物线y2x21，y2x21的开口方向，对称轴和顶点各是什么？开口向上；对称轴是y轴；顶点坐标分别是（0，1）（0，1）4抛物线y2x21，y2x21与抛物线y2x2有什么关系？抛物线y2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y2x21；把抛物线y2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y2x21三、巩固练习在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象yx2、yx22、yx221观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点2你能说出抛物线yx2k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线yx2有什么关系？教师指导学生按照先前的步骤画出二次函数的图象，然后回答问题1这三条抛物线都是开口向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0），（0，2），（0，2）2抛物线yx2k的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）当k0时，把抛物线yx2向上平移k个单位长度，就得到抛物线yx2k；当k0时，把抛物线yx2向下平移k个单位长度，就得到抛物线yx2k四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？让学生复习本节内容，深化理解五、布置作业习题22.1 第5题第（1）小题第4课时教学内容22.1.3二次函数ya(xh)2k的图象和性质（2）教学目标1使学生能利用描点法画出二次函数ya(xh)2的图象2让学生经历二次函数ya(xh)2性质探究的过程，理解二次函数ya(xh)2的性质3理解二次函数ya(xh)2、yax2之间的关系教学重点理解二次函数ya(xh)2的性质，二次函数ya(xh)2、yax2之间的关系教学难点理解二次函数ya(xh)2、yax2之间的关系教学过程一、导入新课1在同一直角坐标系内，画出二次函数yx2，y x21，y x21的图象，并回答下列问题（1）两条抛物线的位置关系（2）分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标（3）说出它们所具有的公共性质 2二次函数y(x1)2，y(x1)2的图象与二次函数y2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这三个函数的图象之间有什么关系？二、新课教学问题1 在同一直角坐标系中，画出二次函数y(x1)2，y(x1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点教师引导学生根据画函数图象的步骤画出函数的图象首先分别列表：x4321012y(x1)24.520.500.524.5x2101234y(x1)24.520.500.524.5然后描点画图，得y(x1)2，y(x1)2的图象（教材图22.1-7）教师让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：抛物线y(x1)2的开口向下，对称轴是经过点(1，0)且与x轴垂直的直线，把它记作x1，顶点是(1，0)；抛物线y(x1)2的开口向下，对称轴是x1，顶点是(1，0)问题2 抛物线y(x1)2，y(x1)2与抛物线yx2有什么关系？教师引导学生仔细观察图象，回答问题：可以发现，把抛物线yx2向左平移1个单位长度，就得到抛物线y(x1)2；把抛物线yx2向右平移1个单位长度，就得到抛物线y(x1)2问题3抛物线ya(xh)2与抛物线yax2有什么关系？抛物线ya(xh)2与yax2形状相同，位置不同当h0时，把抛物线yax2向右平移h个单位，可以得到抛物线ya(xh)2，当h0时，把抛物线yax2向左平移h个单位，可以得到抛物线ya(xh)2三、巩固练习在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象yx2，y(x2)2，y(x2)2观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点（画图略）这三条抛物线都是开口向上，对称轴依次是y轴，x2，x2；顶点坐标依次是（0，0），（2，0），（2，0）四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.1 第5题第（2）小题第5课时教学内容22.1.3二次函数ya(xh)2k的图象和性质（3）教学目标1经历二次函数图象平移的过程，理解函数图象平移的意义2了解二次函数yax2，ya(xh)2，ya(xh)2k的图象之间的关系会从图象的平移变换的角度认识二次函数ya(xh)2k的图象特征3会确定函数ya(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标教学重点从图象的平移变换的角度认识二次函数ya(xh)2k的图象特征教学难点理解图象的平移和变换的理解和确定教学过程一、导入新课1函数y2x21的图象与函数y2x2的图象有什么关系? 函数y2x21的图象可以看成是将函数y2x2的图象向上平移一个单位得到的2函数y2(x1)2的图象与函数y2x2的图象有什么关系?函数y2(x1)2的图象可以看成是将函数y2x2的图象向右平移1个单位得到的二、新课教学1函数y2(x1)21图象与函数y2(x1)2图象有什么关系？函数y2(x1)21有哪些性质？填表：函数图象y2x2向右平移一个单位y2(x1)2向上平移一个单位y2(x1)21开口方向对称轴顶点教师引导学生填写上表，认识这三个函数之间的关系，然后组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识函数y2(x1)21的图象可以看成是将函数y2(x1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的当x1时，函数值y随x的增大而减小，当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数取得最小值，最小值y12归纳小结一般地，抛物线ya(xh)2k与yax2形状相同，位置不同把抛物线yax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线ya(xh)2k平移的方向、距离要根据h，k的值来决定抛物线ya(xh)2k有如下特点：（1）当a0时，开口向上；当a0时，开口向下（2）对称轴是xh（3）顶点是（h，k）从二次函数ya(xh)2k的图象可以看出：如果a0，当xh时，y随x的增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大；如果a0，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小三、巩固练习例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长?解：如下图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是ya(x1)23（0x3） 由这段抛物线经过点(3，0)，可得0a(31)23，解得a因此y(x1)23（0x3）当x0时，y2.25，也就是说，水管应2.25m长三、巩固练习教材第37页练习四、课堂小结1yax2，ya(xh)2，ya(xh)2k三类二次函数图象之间有什么关系2抛物线ya(xh)2k有哪些特点五、布置作业习题22.1 第5题第6课时教学内容22.1.4 二次函数yax2bxc的图象和性质教学目标1理解二次函数yax2bxc与ya(xh)2k之间的联系，体会转化的思想2掌握一般二次函数yax2bxc的图象与yax2的图象之间的关系3会确定图象的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴4能通过图象，求二次函数的解析式教学重点二次函数yax2bxc的图象和性质教学难点理解二次函数yax2bxc的图象和性质，知道二次函数yax2bxc的对称轴和顶点坐标教学过程一、导入新课1你能说出函数y4(x2)21图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？函数y4(x2)21图象的开口向下，对称轴为直线x2，顶点坐标是(2，1) 2函数y4(x2)21图象与函数y4x2的图象有什么关系? 函数y4(x2)21的图象可以看成是将函数y4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的 3函数y4(x2)21具有哪些性质?当x2时，函数值y随x的增大而增大，当x2时，函数值y随x的增大而减小；当x2时，函数取得最大值，最大值y1二、新课教学1研究二次函数yx26 x21的图象和性质（1）根据二次函数ya(xh)2k的图象和性质，讨论二次函数yx26 x21的图象和性质？如何将yx26 x21转化为ya(xh)2k的形式呢？教师引导学生观察两个等式右边的多项式的特点，然后根据配方法进行变形yx26 x21(x212 x42)(x212 x363642)(x6)26(x6)23化为y(x6)23后，根据前面的知识，教师让学生先画出二次函数yx2的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数yx26 x21的图象（2）直接画二次函数yx26 x21的图象先列表：x3456789y(x6)237.553.533.557.5然后描点画图，得到y(x6)23的图象从上图中二次函数的图象可以看出：抛物线yx26 x21的顶点是(6，3)，对称轴是x6在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升也就是说，当x6时，y随x的增大而减小；当x6时，y随x的增大而增大2用上面的方法讨论二次函数y2x24 x1的图象和性质教师引导学生独立完成，教师在学生配方时可给予适当指导y2x24 x12(x22 x)2(x22 x11)2(x1)22(x1)23 3探究二次函数yax2bxc的图象和性质首先，将二次函数yax2bxc通过配方化成ya(xh)2k的形式，即ya然后求出抛物线yax2bxc的对称轴是x，顶点是（，）最后，教师引导学生观察教材第39页图22.1-11，总结二次函数yax2bxc的变化规律从二次函数yax2bxc的图象可以看出：如果a0，当x时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增大而增大；如果a0，当x时，y随x的增大而增大，当x时，y随x的增大而减小4探究我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式对于二次函数，探究下面的问题：（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（2）如果一个二次函数的图象经过(1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式分析求解（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式ykxb，需求出k，b的值用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式yax2bxc，需求出a，b，c的值由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值.（2）设所求二次函数为yax2bxc由已知，函数图象经过(1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组解这个方程组，得a2，b3，c5所求二次函数是y2x23x5归纳总结：求二次函数的解析式yax2bxc，需求出a，b，c的值由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式三、巩固练习教材第39、40页练习四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题22.1 第5、10、11题教案B第1课时教学内容22.1.1二次函数教学目标1理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式2会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围3会用待定系数法求二次函数的解析式4让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力5通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点教学重点理解二次函数yax2bxc（a、b、c）是常数，且a0的概念教学难点教材中涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力教学过程一、导入新课试一试：1设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2试将计算结果填写在下表的空格中，AB长x(m)123456789BC长(m)12面积y(m2)48 2x的值是否可以任意取？有限定范围吗? 3我们发现，当AB的长x确定后，矩形的面积y也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式对于1，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：（1）从所填表格中，你能发现什么？（2）对前面提出的问题的解答能作出什么猜想？让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0x10对于3，教师可提出问题：（1）当ABxm时，BC长等于多少m?（2）面积y等于多少？最后指出yx(202x)(0x10)就是所求的函数关系式二、新课教学1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛比赛的场次数m与球队数n有什么关系？每个队要与其他(n1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数mn (n1)，即 mn2n 这个函数解析式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： （1）商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？ 利润(售价进价)销售量 （2）如果不降低售价，该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？ 1082(元)，(108)100200(元) （3）若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品?108x；100100x （4）x的值是否可以任意取？如果不能任意取，请求出它的范围 x的值不能任意取，其范围是0x2（5）若设该商品每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为y(108x) (100100x)(0x2)，即 y100x2100x200 (0x2) 3观察、概括教师引导学生观察函数关系式式，提出以下问题让学生思考回答；（1）函数关系式和的自变量各有几个?（各有1个）（2）函数关系式和有什么共同特点?（ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的一般地，形如 yax2bxc (a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项三、巩固练习教材第29页“练习”1、2四、课堂小结请叙述二次函数的定义五、布置作业习题22.1 第1、2题第2课时教学内容22.1.2 二次函数yax2的图象和性质教学目标1会用描点法画出形如yax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念2通过观察图象能说出二次函数yax2的图象和性质3在探究二次函数yax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想教学重点yax2型二次函数图象的描绘和图象特征的归纳 教学难点选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象，该过程较为复杂教学过程一、导入新课我们已经学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和性质二、新课教学结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法，我们将从最简单的二次函数yx2开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质1探究二次函数yx2的图象（1）列表在yx2中，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x3210123yx29410149（2）描点、画图教师引导学生类比一次函数的研究内容和研究方法，根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y），再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到yx2的图象（3）归纳教师引导学生从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等几个方面描述二次函数yx2的图象特征，在此过程中，教师要让学生明确抛物线的概念二次函数yx2的图象是一条曲线，这条曲线开口向上，叫做抛物线yx2y轴是抛物线yx2的对称轴，抛物线yx2与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线yx2的顶点，它是抛物线yx2的最低点二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下一般地，二次函数yax2bxc的图象叫做抛物线yax2bxc实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点顶点是抛物线的最低点或最高点在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升也就是说，当x0时，y随x的增大而增大2实例探究例 在同一直角坐标系中，画出函数yx2 ，y2x2的图象教师引导学生根据描点法的一般步骤，进行列表，然后描点、画图完成后让学生类比研究二次函数yx2的角度，尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等几个方面分别描述这两个函数的图象特征解：分别列表，再画出它们的图象x432101234yx284.520.500.524.58x21.510.500.511.52y2x284.520.500.524.58图象见教材图22.1-4思考：（1）函数yx2 ，y2x2的图象与函数yx2（图中的虚线图形）的图象相比，有什么共同点和不同点？（2）当a0时，二次函数yax2的图象有什么特点？归纳：一般地，当a0时，抛物线yax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小3拓展延伸教师在学生完成归纳后，让学生思考：当a0时，二次函数yax2有什么图象和性质呢？比如函数yx2 ，yx2 ，y2x2教师指导学生画出这3个函数的图象，然后归纳总结当a0时，二次函数yax2的图象和性质画出的图象见教材图22.1-5一般地，当a0时，抛物线yax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小4归纳总结教师引导学生根据上面两种情况，对二次函数yax2的图象特征和性质进行归纳和梳理明确：一般地，抛物线yax2的对称轴是y轴，顶点是原点当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点对于抛物线yax2，a越大，抛物线的开口越小从二次函数yax2的图象可以看出：如果a0，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大；如果a0，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小三、巩固练习教材第32页练习四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.1 第3、4题第3课时教学内容22.1.3二次函数ya(xh)2k的图象和性质（1）教学目标1经历二次函数图象平移的过程，理解函数图象平移的意义.2.了解yax2，yax2k，ya(xh)2二次函数图象之间的关系，会从图象的平移变换的角度认识yax2，yax2k，ya(xh)2的图象特征3经历从特殊到一般的认识过程，发展学生的逻辑推理能力教学重点从图象的平移变换的角度认识二次函数yax2k，ya(xh)2的图象特征教学难点理解图象的平移和变换教学过程一、导入新课填空：一般地，抛物线yax2的对称轴是（ ）轴，顶点是（ ）当a0时，抛物线的开口（ ）；当a0时，抛物线的开口（ ）如果a0，当x0时，y随x的增大而（ ），当x0时，y随x的增大而（ ）；如果a0，当x0时，y随x的增大而（ ），当x0时，y随x的增大而（ ） 复习二次函数yax2的图象和特征，导入新课的教学二、新课教学1探究yax2k的图象与性质例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数y2x21，y2x21的图象问题1 怎样画二次函数的图象，有哪些步骤？问题2 列表时自变量x怎样取值？教师首先让学生思考画二次函数图象的步骤，然后讨论取值的问题解：先列表：x21.510.500.511.52y2x2195.531.511.535.59y2x2173.510.510.513.57然后描点画图，得y2x21，y2x21的图象（见教材图22.1-6）问题3 抛物线y2x21，y2x21的开口方向，对称轴和顶点各是什么？问题4 抛物线y2x21，y2x21与抛物线y2x2有什么关系？可以发现，抛物线y2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y2x21；把抛物线y2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y2x21问题5 抛物线yax2k与抛物线yax2有什么关系？教师引导学生进行归纳总结：当a0的不情况下，抛物线yax2k与抛物线yax2的开口方向向上，对称轴都是y轴当k0时，把抛物线yax2向上平移k个单位长度，就得到抛物线yax2k；当k0时，把抛物线yax2向下平移k个单位长度，就得到抛物线yax2k2探究ya(xh)2的图象与性质探究：在同一直角坐标系中，画出二次函数y(x1)2，y(x1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点先分别列表：x4321012y(x1)24.520.500.524.5x2101234y(x1)24.520.500.524.5然后描点画图，得y(x1)2，y(x1)2的图象（见教材图22.1-7）可以看出，抛物线y(x1)2的开口向下，对称轴是经过点(1，0)且与x轴垂直的直线，把它记作x1，顶点是(1，0)；抛物线y(x1)2的开口向下，对称轴是x1，顶点是(1，0)思考：抛物线y(x1)2，y(x1)2与抛物线yx2有什么关系？可以发现，把抛物线yx2向左平移1个单位长度，就得到抛物线y(x1)2；把抛物线yx2向右平移1个单位长度，就得到抛物线y(x1)2三、巩固练习教材第33、35页练习四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业1抛物线ya(xh)2与抛物线yax2有什么关系？2习题22.1 第5题第（1）（2）小题第4课时教学内容22.1.3二次函数ya(xh)2k的图象和性质（2）教学目标1经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义.2了解yax2，ya(xh)2，ya(xh)2k三类二次函数图象之间的关系会从图象的平移变换的角度认识ya(xh)2k型二次函数的图象特征3经历从特殊到一般的认识过程，发展学生的逻辑推理能力教学重点从图象的平移变换的角度认识二次函数ya(xh)2k的图象特征教学难点理解图象的平移和变换的理解和确定教学过程一、导入新课让学生回答上节课布置的作业：抛物线ya(xh)2与抛物线yax2有什么关系？导入新课的教学二、新课教学1探究抛物线y(x1)21的图象与性质例3 画出函数y(x1)21的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点怎样移动抛物线yx2，就可以得到抛物线y(x1)21？教师引导学生根据二次函数yax2，yax2k，ya(xh)2图象之间的关系进行移动和平移，从而得出抛物线y(x1)21的图象解：函数y(x1)21的图象如右图所示抛物线y(x1)21的开口向下，对称轴是x1，顶点是(1，1)把抛物线yx2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线y(x1)212归纳小结教师引导学生归纳抛物线ya(xh)2k的图象的性质和特点，必要时教师适当指导归纳：一般地，抛物线ya(xh)2k与yax2形状相同，位置不同把抛物线yax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线ya(xh)2k平移的方向、距离要根据h，k的值来决定抛物线ya(xh)2k有如下特点：（1）当a0时，开口向上；当a0时，开口向下（2）对称轴是xh（3）顶点是（h，k）从二次函数ya(xh)2k的图象可以看出：如果a0，当xh时，y随x的增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大；如果a0，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小三、巩固练习例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长?解：如右图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是ya(x1)23（0x3）由这段抛物线经过点(3，0)，可得0a(31)23，解得a因此y(x1)23（0x3）当x0时，y2.25，也就是说，水管应2.25m长三、巩固练习教材第37页练习四、课堂小结1yax2，ya(xh)2，ya(xh)2k三类二次函数图象之间有什么关系2抛物线ya(xh)2k有哪些特点五、布置作业习题22.1第5题第（3）小题第5课时教学内容22.1.4 二次函数yax2bxc的图象和性质（1）教学目标1理解二次函数yax2bxc与ya(xh)2k之间的联系，体会转化的思想2掌握一般二次函数yax2bxc的图象与yax2的图象之间的关系3会确定图象的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴教学重点二次函数yax2bxc的图