【全程复习方略】高中数学 2.1.2求曲线的方程课时作业 新人教A版选修21 (1).doc

求曲线的方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知动点p到点(1,-2)的距离为3,则动点p的轨迹方程是()a.(x+1)2+(y-2)2=9b.(x-1)2+(y+2)2=9c.(x+1)2+(y-2)2=3d.(x-1)2+(y+2)2=3【解析】选b.设p(x,y),由题设得(x-1)2+(y+2)2=3,所以(x-1)2+(y+2)2=9.2.已知等腰三角形abc底边两端点是a(-3,0),b(3,0),顶点c的轨迹是()a.一条直线b.一条直线去掉一点c.一个点d.两个点【解析】选b.到两定点距离相等的点的轨迹为两点连线的垂直平分线.注意当点c与a,b共线时,不符合题意,应去掉.3.(2014临沂高二检测)在abc中,若b,c的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线ad的长度是3,则a点轨迹方程是()a.x2+y2=3b.x2+y2=4c.x2+y2=9(y0)d.x2+y2=9(x0)【解析】选c.易知bc中点d即为原点o,所以|oa|=3,所以点a的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因abc中,a,b,c三点不共线,所以y0.所以选c.【变式训练】一动点到y轴的距离比到点(2,0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为.【解析】设动点为p(x,y),则由条件得:(x-2)2+y2=|x|+2,平方得y2=4x+4|x|,当x0时,y2=8x;当x0时,y=0.所以动点的轨迹方程为y2=8x(x0)或y=0(x0).答案:y2=8x(x0)或y=0(x0,y0)b.3x2-32y2=1(x0,y0)c.32x2-3y2=1(x0,y0)d.32x2+3y2=1(x0,y0)【解析】选d.设a(x0,0),b(0,y0),则bp=(x,y-y0),pa=(x0-x,-y),因为bp=2pa,所以(x,y-y0)=2(x0-x,-y),所以x=2x0-2x,y-y0=-2y,得x0=32x,y0=3y,因此a点坐标为32x,0,b点坐标为(0,3y),又因为点q与点p关于y轴对称,所以q(-x,y),由oqab=1,得(-x,y)-32x,3y=1,即32x2+3y2=1,又p点在第一象限,所以x0,y0.故选d.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014温州高二检测)已知点m到定点f(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离的比是常数12,设点m的轨迹为曲线c,则曲线c的轨迹方程是.【解析】设点m(x,y),则据题意有(x-1)2+y2|x-4|=12,则4(x-1)2+y2=(x-4)2,即3x2+4y2=12,所以x24+y23=1,故曲线c的方程为x24+y23=1.答案:x24+y23=18.(2014珠海高二检测)动点p与平面上两定点a(-2,0),b(2,0)连线的斜率的积为定值-12,则动点p的轨迹方程为.【解析】设p(x,y),由题意知,x2,kap=yx+2,kbp=yx-2,由条件知kapkbp=-12,所以yx+2yx-2=-12,整理得x2+2y2-2=0(x2).答案:x2+2y2-2=0(x2)【误区警示】解答本题时容易漏掉“x2”这个条件.这是因为忽略了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避免因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.9.由动点p向圆x2+y2=1引两条切线pa,pb,切点分别为a,b,apb=60,则动点p的轨迹方程为.【解析】如图.|pa|=|pb|,连接po.则opb=30.因为|ob|=1.所以|po|=2.所以p点的轨迹是以o为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4.答案:x2+y2=4三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014唐山高二检测)设点p是圆x2+y2=4上任意一点,由点p向x轴作垂线pp0,垂足为p0,且mp0=32pp0,求点m的轨迹c的方程.【解析】设点m(x,y),p(x0,y0),则由题意知p0(x0,0).由mp0=(x0-x,-y),pp0=(0,-y0),且mp0=32pp0,得(x0-x,-y)=32(0,-y0),所以x0-x=0,-y=-32y0,于是x0=x,y0=23y.又x02+y02=4,所以x2+43y2=4,所以,点m的轨迹c的方程为x24+y23=1.【变式训练】若长为3的线段ab的端点a,b分别在x轴、y轴上移动,动点c(x,y)满足ac=2cb,求动点c的轨迹方程.【解析】设a,b两点的坐标分别为(a,0),(0,b),则ac=(x-a,y),cb=(-x,b-y),因为ac=2cb,所以x-a=-2x,y=2b-2y,即a=3x,b=32y.又因为|ab|=3,所以a2+b2=9,即9x2+94y2=9,即x2+y24=1.故动点c的轨迹方程为x2+y24=1.11.(2013陕西高考改编)已知动圆过定点a(4,0),且在y轴上截得的弦mn的长为8.求动圆圆心的轨迹c的方程.【解题指南】由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹c的方程.【解析】a(4,0),设圆心c(x,y),线段mn的中点为e,由几何图象知me=mn2,ca2=cm2=me2+ec2(x-4)2+y2=42+x2y2=8x.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014长沙高二检测)已知两点m(-2,0),n(2,0),点p为坐标平面内的动点,满足|mn|mp|+mnnp=0,则动点p(x,y)的轨迹方程为()a.y2=8xb.y2=-8xc.y2=4xd.y2=-4x【解析】选b.依题意可得,4(x+2)2+y2+4(x-2)=0,整理可得y2=-8x.2.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为()a.f(x-3,y)=0b.f(y+3,x)=0c.f(y-3,x+3)=0d.f(y+3,x-3)=0【解题指南】求对称曲线上任意一点关于直线x-y-3=0的点的坐标(x,y),又(x,y)满足方程f(x,y)=0,由此可得对称曲线方程.【解析】选d.设p为对称曲线上任意一点,其坐标为(x,y),它关于直线x-y-3=0对称点的坐标为(x,y),依题意有y-yx-x=-1,x+x2-y+y2-3=0x=y+3,y=x-3.又(x,y)适合方程f(x,y)=0,故所求对称曲线方程为f(y+3,x-3)=0,故选d.3.已知点p是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点m(-1,2),q是线段pm延长线上的一点,且|pm|=|mq|,则q点的轨迹方程是()a.2x+y+1=0b.2x-y-5=0c.2x-y-1=0d.2x-y+5=0【解析】选d.设q(x,y),则p为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“q是pm的中点”,则结论如何?【解析】设q(x,y),p(x0,y0),则x=x0-12,y=y0+22,所以x0=2x+1,y0=2y-2.因为点p在直线2x-y+3=0上,所以2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即点q的轨迹方程为4x-2y+7=0.4.(2014哈尔滨高二检测)在平面直角坐标系xoy中,点b与点a(-1,1)关于原点o对称,p是动点,且直线ap与bp的斜率之积等于13,则动点p的轨迹方程为()a.x2-3y2=-2b.x2-3y2=-2(x1)c.x2-3y2=2d.x2-3y2=2(x1)【解析】选b.设p(x,y),由于点b与点a(-1,1)关于原点o对称,所以b(1,-1).kpa=y-1x+1(x-1),kpb=y+1x-1(x1),因为kpakpb=13,所以y-1x+1y+1x-1=13.整理得x2-3y2=-2(x1).【变式训练】定长为6的线段,其端点分别在x轴,y轴上移动,则ab中点m的轨迹方程是()a.x2+y2=9b.x+y=6c.2x2+y2=12d.x2+2y2=12【解析】选a.设m点坐标为(x,y),a(0,y0),b(x0,0),因为m为ab中点,所以x=0+x02,y=0+y02,得x0=2x,y0=2y,因为|ab|=6,所以(2x-0)2+(0-2y)2=6,整理得:x2+y2=9.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014成都高二检测)如图,动点m和两定点a(-1,0),b(2,0)构成mab,且mba=2mab,设动点m的轨迹为c,则轨迹c的方程为.【解析】设m的坐标为(x,y),显然有x0,且y0,当mba=90时,点m的坐标为(2,3),当mba90时,x2,由mba=2mab,有tanmba=2tanmab1-tan2mab,将tanmba=y2-x,tanmab=yx+1代入上式,化简可得3x2-y2-3=0,而点(2,3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹c的方程为3x2-y2-3=0(x1).答案:3x2-y2-3=0(x1)6.已知sin,cos是方程x2-ax+b=0的两根,则点p(a,b)的轨迹方程为.【解题指南】根据sin,cos是方程x2-ax+b=0的两根,建立a,b与sin,cos的关系,再通过消参,消去sin,cos得到a,b的关系式.【解析】由根与系数的关系知sin+cos=asincos=b由2-2得a2-2b=1.因为a=sin+cos=2sin+4,所以-2a2,b=12sin2,所以-12b12.所以点p的轨迹方程为:a2=2b+12(-2a2).答案:a2=2b+12(-2x2)【知识拓展】参数法的定义及消参的方法(1)参数法的定义求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以寻找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程.(2)消去参数的常用方法代入法:从所给的一个式子中解出所要消的参数,代入另外的式子,从而消去参数;加、减、乘、除法:通过对所给式子乘以某一常数后,再借助于加、减、乘、除,消去参数;平方法:通过平方,整体代入消去参数.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014南京高二检测)abc的顶点b,c的坐标分别为(0,0),(4,0),ab边上的中线的长为3,求顶点a的轨迹方程.【解析】设a的坐标为(x,y),ab的中点d的坐标为(x1,y1).由中点坐标公式可知x1=x2,y1=y2,因为ab边上的中线cd=3,所以(x1-4)2+y12=9,化简整理得(x-8)2+y2=36.所以点a的轨迹方程为(x-8)2+y2=36(