2015年北京高考数学理试题及解析.doc

2015年北京高考数学理试题及解析一、选择题1复数ABCD答案：A解析： 故选A2若，满足则的最大值为A0B1CD2答案：D解析：根据题意，作出可行域，如图所示：目标函数在点处取得最大值，故选D3执行如图所示的程序框图，输出的结果为ABCD答案：B解析：此程序计算过程如下表所示，故输出的值为 故选B4设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：B解析：显然 不足以推出 ；但必然推出，故选B5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A B C D5答案：C解析：如图，根据三视图作出直观图则其各面面积分别为故此几何体表面积为，选C6设是等差数列. 下列结论中正确的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则答案：C解析：对于A，设等差数列前三项分别为可知错误；对于B，设等差数列前三项分别为可知错误；对于D，设等差数列前三项分别为 可知错误；对于C，因为可知等差数列首项、公差均为正数，又因为 成立，故选C。7如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A BC D答案：C解析：如图所示满足不等式的解显然为 故选C8汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案：D解析：对于A，乙车的燃油效率在一定车速条件下超过5km/L，故A说法错误；对于B，从图上可知甲车燃油效率最高，即甲车消耗较少的燃油行驶于乙丙车相同距离，故B说法错误；对于C，甲车以80km/h时速行驶一小时，路程为80km，根据图可知，80km/h时速对应的燃油效率为10km/L，故消耗燃油为8L，故C错误。对于D，在车速低于80km/h情况下，丙车燃油效率高于乙车，故丙车更省油。二、填空题9在的展开式中，的系数为（用数字作答）答案：40解析： 10已知双曲线的一条渐近线为，则答案：解析：双曲线 的渐近线为 ，故， 11在极坐标系中，点到直线的距离为答案：1解析：极坐标系中的点对应直角坐标系中的点，直线对应直角坐标系中的直线，所求距离为 12在中，则答案：1解析：由余弦定理 解得，所以 13在中，点，满足，若，则；答案：，解析：如图则故 14设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是答案：-1，解析：当时，函数图象为易知函数最小值为-1；当时，方程 在时无解，方程在时有两个不同的解 满足要求；当时， 在时有唯一解，方程有两个不同的解，则当时，方程 有两个不同的解，分别是和满足要求，此时；当 时，方程无解，方程有两个不同的非正实数解，故方程无解，不满足要求。综上 的取值范围是 三、解答题15已知函数() 求的最小正周期；() 求在区间上的最小值答案：(I) (II) 解析：(I)2分 4分6分最小正周期为 7分(II)因为 所以 所以 10分 即 在上的最小值为 13分16，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙() 求甲的康复时间不少于14天的概率；() 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；() 当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）答案：() () () 或解析：()即甲的康复时间不少于14天为事件A，则 故的康复时间不少于14天的概率为()甲的康复时间比乙的康复时间长有以下情况：当甲的康复时间为13天时，乙康复时间为12天；甲的康复时间为14天时，乙的康复时间为12或13天；甲的康复时间为15天时，乙的康复时间为12，13或14天；甲的康复时间为16天时，乙的康复时间为12，13，14或15天。共十种情况，其余情况均不满足要求故甲的康复时间比乙的长的概率为 () 或 时，两组病人的康复时间的随机变量分别记为 则满足 易知此时两组随机变量的方差相同。17如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点() 求证：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值答案：(I) 略 (II) () 解析：(I) 因为为等边三角形，为的中点故 又因为平面平面 ，所以又因为 故 (II)取 中点，由题意四边形为等腰梯形，故两两垂直，在底面图形中，计算可知上下底之间距离为 则以为原点，分别为 轴，如图建立坐标系，则， ， 取面 法向量 设面 法向量 则 即 化简得 可取所以 因为所求二面角为钝角，所以所求的二面角的余弦值为 () ，因为平面，所以解得 18已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值答案：(I) (II) 略（）2解析：(I) 函数， ， 故在点处的切线方程是 (II)证明：设函数 ，则 故 在单调递增，所以对任意成立，即成立，原命题得证。（）设函数，且 则当时， 解得 ，则函数 在单调递减，在 单调递增故有 即 在 不恒成立，不满足题意；当时，由(II)知， 在 恒成立，满足要求；综上所述的最大值为 19已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由答案：(I) ， (II) 解析：(I)由题 且 解得 故所求椭圆的方程是 ；直线的斜率，其直线方程为，则坐标为 (II) 设存在这样的点 使得成立，则即 故原问题等价于 成立因为坐标为，由题设，同理可得 则，又因为点在椭圆上，故 代入上式，得 所以 满足题意20已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值答案：（） （）略 （）8解析：(I)， 故集合的所有元素为 (II)不妨设数列中的某一项 当时，；当时，可知亦为3的倍数，由数学归纳法可证当时，都是3的倍数；若首项 不是3的倍数，由前知 都不是3的倍数，与题目条件矛盾，所以首项是3的倍数，进而有的所有元素都是3的倍数，问题得证。（）集合M中的元素个数最多为8个。根据递推关系可知，数列每一项均不大于36，且其第二项为偶数，从第三项起，能被4整除。因为小于等于36且能被4整除的数字共9个，即4，8，1236。根据(II)的结论，若数列中含有3的倍数，则所有项均为3的倍数故若数列中含有12这一项（第一次出现），则其后面的项必为24，12，24，12其前面的