东南大学自动控制原理课件 第一章 控制系统的状态空间.ppt

第一章控制系统的状态空间描述 1 1状态向量与状态空间 一 状态的定义 1 定义所谓系统状态 是指在描述对象运动的所有变量中 必定可以找到数目最小的一组变量 它们足以描述对象的全部运动 状态变量 该变量组中的每个变量称为状态变量 2 有关定义的两点说明 1 足以描述系统全部运动的含义 只要确定了这组变量在某一初始时刻的值 并且确定了从这一初始时刻起 的输入量函数 则对象的全部变量在此刻和 的运动都唯一确定了 2 数目最小的含义 是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的 二 状态向量 若一个系统有n个状态变量 用这n个状态变量作为分量所构成的向量 就称为该系统的状态向量 用表示 三 状态空间 状态空间 所有n维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间 状态轨迹 在状态空间中 时间t是一个参变量 某一时间t的状态是状态空间中的一个点 而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状态轨迹 有时也称作相轨迹 四 输入向量和输出向量 输入向量 将系统的各个输入量看成一个列向量 输入量的个数 输出向量 将系统的各个输出量看成一个列向量 输出量的个数 1 系统状态变量的选取不是唯一的 但状态的数目是一定的 2 系统的状态和系统的输出是两个不同的概念 系统的输出通常有明确的物理含义 是可以测量的 系统的状态不一定有物理含义 不一定可以测量 在线性系统中 输出是系统状态变量中某一个或某几个的线性组合 1 2状态空间表达式 一 状态方程 1 状态方程的定义 所谓状态方程 就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组 2 状态方程的标准形式 向量矩阵形式为 状态向量 输入向量 维的函数向量 3 线性定常系统的状态方程 向量矩阵形式为 维的系数矩阵 维的系数矩阵 二 输出方程 1 输出方程的定义 所谓输出方程 就是描述系统输出量与状态和输入量之间相互关系的代数方程组 2 输出方程的标准形式 向量矩阵形式为 输出向量 维的函数向量 3 线性定常系统的输出方程 向量矩阵形式为 维的系数矩阵 维的系数矩阵 三 状态空间表达式 状态空间模型 线性定常系统的状态空间模型 将状态方程和输出方程合在一起 即 或 四 状态空间模型与传递函数的比较 传递函数只能描述系统外部的输入输出关系 并不能反映系统内部状态的变化 我们称之为外部描述 状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述 第一段是输入引起系统内部状态发生变化 用状态方程描述 第二段是系统内部的状态变化引起系统输出的变化 用输出方程描述 由此可见 状态空间表达式在一定程度上描述了系统内部变量的变化 所以我们称之为内部描述 较之传递函数 状态空间描述的优点有 3 状态空间分析是一种时域分析方法 可用计算机直接在时域中进行数值计算 2 由前面的分析可以看出 对于不同维数的系统 可以采用同一表达方式来进行描述 由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统 只是计算复杂一些而已 1 可以方便地描述多输入 多输出系统 五 状态空间模型的结构图 六 状态空间表达式的非唯一性 假设和是我们为某一系统选定的两组不同状态变量 和之间有一一对应的变换关系即可逆变换关系 对于线性系统而言 这种关系就是线性非奇异变换 既与之间必有关系 其中为非奇异常数矩阵 设以为状态向量时系统的状态空间表达式为 而以为状态向量时系统的状态空间表达式为 下面我们来推导两者之间的对应关系 设以为状态向量时系统的状态空间表达式为 表明 在同一系统中 不同的状态向量所对应的系数矩阵之间有相似变换关系 例试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程 解 1 描述系统的微分方程为 选择系统的状态变量为 输入 写成向量矩阵形式为 输出 写成向量矩阵形式为 2 描述系统的微分方程为 选择系统的状态变量为 输入 写成向量矩阵形式为 输出 写成向量矩阵形式为 例试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程 1 3传递函数矩阵 例 系统如下图所示 输入为和 输出为 解 列写回路的电压方程和节点的电流方程 选取为状态变量 输出 得系统的状态空间表达式为 设初始条件为零 对上式两端进行拉普拉斯变换 得 消去并整理得 写成向量矩阵形式为 其中 输入变量的Laplace变换象函数 输出变量的Laplace变换象函数 传递函数矩阵 一 传递函数矩阵 维输入向量 维输出向量 则对应的系统的传递函数矩阵为 多输入量多输出量的对象常用复线框来表示 二 传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系 三 传递函数矩阵的不变性 对于一个系统而言 其状态空间表达式不是唯一的 但其传递函数矩阵是不变的 例 求下列系统的传递函数矩阵 其中 解 例 求下列系统的传递函数矩阵 其中 解 四 组合系统的状态空间表达式和传递函数矩阵 1 并联连接 2 串联连接 3 反馈连接 在反馈连接中 若则称为单位矩阵反馈 单位反馈 或直接反馈 1 4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 一 微分方程右边输入函数中不含有导数项的情况 二 微分方程右边输入函数中含有导数项的情况 1 5根据系统的传递函数建立状态空间表达式 一 直接分解 虚拟输出法 实现 由输入输出模型建立状态空间模型的过程称为实现 最小实现 维数最小的实现 本节讨论单输入单输出系统的几种实现方法 即采用分解的方法 将一个n阶系统分解成n个一阶系统 传递函数的分解有三种方法 直接分解 虚拟输出法 串联分解和并联分解 这种方法适用于传递函数的分母和分子多项式没有分解成因式的形式 引入虚拟输出量 按这种方法得到的状态空间模型 通常称为能控标准型 二 串联分解 这种方法适用于传递函数已被分解为因式的形式 如 三 并联分解 部分分式法 这种方法适用于传递函数的分母多项式已经分解为因式