结构动力学 陈政清教授.doc

结构动力学1.概论1.1 应用范围（土木工程领域）正问题：地震.风震.移动荷载.动力机械反问题：结构参数与损伤识别地震：由基础传入.激发能量大.高度随机性.作用时间短.风振：可以事微振动.也可能事发散的.造成灾难性的后果。（Tocoma桥）1940年后才被认识。车振：列车质量大.恒/活载比小，车振明显：竖向行人振动：人荷载的特点：1.82.0步/秒动力荷载：机械周期性运动的不平衡力的激发.结构的振动土木工程师.必须要有很强的结构动力与稳定的意识。1.2动力问题及其特点一总的原则：惯性力不可忽略，即是动力问题。例：一个茶杯.慢慢推它.往前移 忽然推它.往后退因此.动力问题也可视为考虑惯性力的平衡问题.二特点：1.位移不仅是位置的函数，而是时间的函数u(x,t) 2.惯性力荷载与加速度成正比。F=ma=mu 以后用上面一点表示对时间的数u=ut 3.惯性力与质量分布有关.例1.3结构动力学基本术语结构动力学：研究结构在平衡位置的往复振动的特性.一.确定性荷载 确定性分析. P(t)有明确的函数表达式，任一 时刻的P（t）的已知.例：简谐荷载P（t）=Pucost 随机荷载 随机性分析 荷载的时间历程不确定，例如风荷载，可能的地震波，列车过桥的振动。 本课程只讨论研究确定性分析，它式基础，体现的动力学全部的概念与方法，某些随机性问题可以化为确定性分析。如：地震分析，应用检测的地震波输入.随机荷载 随机振动，变为确定性问题。二动力设计问题 拟定结构 解析模型 数学模型 动力分析 动力实验验证 动力修改本课程主要研究数学模型与动力分析两部分.三解析模型（力学模型）3要素：简化假定.计算简图.结构参数表例：梁的解析模型 承受横向荷载：平截面假定.直线法假设离散参数模型（集参数模型）集中刚度.集中质量连续参数模型（分布参数模型）：刚度.质量均为连续函数为使问题简化，一般均将连续模型进一步简化为离散模型四数学模型即解析模型的运动微分方程例：梁的运动方程：mv+EIv=P(t)建立方法以后讲解：有动力平衡法，虚位移法与达朗尔原理3种五自由度（DOF：degree of freedom）所考虑的动力系统种位移变量的个数例：附：实变函数论知识：可数无穷.不可数无穷。连续函数.具不可数无穷自由度. 可选用一组基函数转化为可数无穷。例:周期函数。(x)=k=1Aksinkx 可数无穷：Ak，K=1，2，六结构动力试验 基本要素：施加动荷载：激振，振动位移计.加速度计 测的是动力响应：放大滤波A/D转换，存入计算机判断结构动力性能响应信号分析七动力修改依据实测结果.修改结构参数.以获得理想的动力响应结果。八结构动力学反问题 结构参数识别.损伤识别通过动力试验获得结构响应，由结构响应反推结构的动力特性。日常应用实例：选西瓜，选碗（损伤诊断）1.4学习注意点：只有先深刻理解结构的动力学基本概念，才可能从事反问题研究。正问题研究的是解析模型，它与实际结构总有区别注重动手能力，包括建模，分析，以及动力试验的反分析（识别）补充内容：A 结构振动的运动学。运动学：只研究运动形态，不涉及运动的原因。振动：土木工程结构总通过基础与大地牢固相连，它不可能在动力荷载下发散宏观的刚体运动，只能产生围绕平衡位置的往复运动，称为振动。A.1简谐振动 一最简单的振动形式 u(t)=Acos()A:振幅 有此文献选用正弦函数 故 二简谐运动的速度与加速度仍是简谐函数 4. 如图设质点A沿圆周作匀速圆周运动，速度大小为v，方向恒与半径r垂直. 试证A点在x轴的投影是简谐振动。 A.3.状态向量. 静力学问题的变形又由各质点的位移来确定。 动力学的运动状态必须由质点位移与速度两者共同确定。换句话说，仅由质点位移不能确定运动状态，但位移与速度两者可以完全确定运动状态。不可能存在两个不同的运动状态。它们具有相同的位移和速度。 位移与速度（）合起来称为物体运动的状态向量。例： 状态空间：由各质点的状态向量组成的空间。状态方程：物体的运动方程也可写成以状态变量为未知数的状态方程。第二章.SDOF系统的数学模型单自由度系统（SDOF）的运动方程 S:single运动方程也即系统的数学模型。单自由度系统虽然简单，但是包含了结构动力学的全部思想和方法。多自由度系统还可通过振型迭加法转化为单自由度系统，因此学习它非常重要。（错误想法：结构振动复杂，单自由度系统不存在因而忽视单自由度，急于跳跃到多自由度。）2.1质量.刚度.阻尼的理想元件 实际的结构往往是质量.刚度.阻尼结合在一起.为了建立集总参数模型，可以假想集总参数的理想元件。 集中质量：认为质量集中在一个点上确定惯性力与加速度的关系F=-ma 理想弹簧：只有刚度，没有质量，确定力与位移的关系。两大类：力与位移正比 符号 扭矩与转角成正比 符号2.2集总参数模型 有些实际结构物的振动可以直接简化为集总参数模型.例如摩托车前轮的振动 单层平顶厂房的振动（楼面的质量大于柱的质量）应用理想元件，经合理简化，由实际结构得到了相应的便于分析的解析模型。且是一个自由度的集总参数模型。2.3集总参数模型的运动方程. 应用牛顿二定律，达朗贝尔原理均质刚体杆，总质量为m虽然杆上的各点的位移不同，但是仍可归结为SDOF问题直接应用牛顿二定律较困难，用虚位移法原理则较为方便。虚位移法要点：1. 选好独立自由度.本题可选中任一个。2. 假定有位移3. 再做虚位移4. 计算虚功二力.虚位移动力问题虚位移原理：设刚杆逆时针转一极小的角度，则可认为 转变为单个自由度再由一虚位移：弹簧虚功：阻尼虚功：外力虚功;2.5.虚位移的原理的应用假定振型法 先看电视塔或水塔的例子. 塔的横向振动u（x，t）这时塔不可能再看做刚性的具有与刚度EI（x）.振动为塔的弯曲振动，质量也必须视为沿塔的分布质量m（x），平台可视为集中质量M，结构的内阻尼边可假定为C（x）横向激振力设为P（x）. 本质上，这是一个无限多个自由度的振动问题，通过假定振型，可化为单自由度问题.一. 假定振型法的一般步骤与公式（弯曲振动为例）1. 设振动为变量分离形式。其中是一个结构容许位移.具体形式可由经验选定.所有容许位移。即使任意一个满足边界条件的连续函数.本例要求：那么 .都可选为容许位移.则刻划了塔振动的形式.因此称为振型函数.2. 将真实力分为保守力与非保守力.保守力：弹性变形的力.重力等.特点：沿闭合路径一周作功为零.非保守力：摩擦力.阻尼力计算各种力的虚功. 3.保守力的虚功为应变能（虚功）变分的负值 塔弯曲应变能：于是 变分：本质上是指未知函数的微小变化。微分：变量的微小变化。两者运算法则相同。4.便分运算公式（为已知函数，其变分为零）5.计算各项虚功 （为广义质量） （为广义粘滞阻尼因数） 6.代入虚功方程，消去，即得运动方程： 即 至此，化为了广义位移的单自由度方程。作为练习：*量纲与单位问题： 设后，为方便与一般单自由度概念一致，可取为无量纲函数，这样与永远保持单位一致。 设 计算，比较两种振型下的值。二、轴向振动问题仅应变能计算不同于是 （轴向应变）三压弯复合运动上例电视塔问题处理时忽略了塔的重量产生的压力，只计了质量惯性力，现忽略塔身重量影响，考虑平台重量Mg产生的压力P的作用。（P=Mg）塔弯曲时，塔在竖直线上的投影会缩短，于是Mg做功。微段缩短量：全塔缩短量：P=Mg作虚功：*讲课时，应突出压力做功，不要突出重力。因为一般而言，重力是保守力。此处本压为压弯效应，只是压力平台重量产生。： 称为几何刚度。* 从另一方面讲，本例的重量不可忽略，是因为重量与平衡位置的关系是相互垂直的关系，与竖直悬挂物体的振动不同。在原公式中加上一项后，变为其中： 一般地，可用一轴向力N代替上例中的Mg得几何刚度系数 于是压弯复合振动方程为 讨论：若P、v不随时间变化，上式变为 当时，即静力失稳。利用的假定振型计算公式，可以很快得到临界失稳荷载，精确度与所选用函数有关。四假定振型法的一般公式 承受轴向与弯曲荷载作用的一维结构（杆）的运动方程都可以用假定振型法化为 (计算时以压力为正) 其中m、c、K、Kg、P的计算式可见教材P31（2.252.29），但我们不推荐死记公式的方法。运动方程即是包含惯性力的力平衡方程，因此按照达朗贝尔原理，运动方程的每一项都是力的量纲，具有力的物理意义。习题：P34 2.13和2.14，2.17，2.18（选作）第三章 SDOF自由振动3.1. SDOF运动方程的一般形式 或（每一项具有相同的量纲，量纲为力或广义力）为便于分析，用m除上式得 于是，最终化为 P(t)=0时，振动由初始条件产生，称为自由振动。3.2 无阻尼自由振动 即式（2）化为 可以直接验证 是方程的解。由初始条件 得到 从而 令 则 于是 可以看出，SDOF无阻尼自由振动就是简谐运动，它是一种等幅振动，从理论上讲会永不停止。3.3 粘滞阻尼SDOF自由振动基本方程 设解为 得 特征方程 分三种情况：（一）、弱阻尼： 从而 令 有阻尼自由振动频率（1） 解： 令 （应用欧拉公式：）可以由反推与的关系。 再由初始条件定或。例：利用确定：（2）绘出曲线。 （3）讨论： 因子 当时，因子。 这表明振幅会越来越小，称为衰减振动。在图上，构成包络线，时程曲线夹在两个包络线之间。 频率比略小，但因（一般结构阻尼很小），故实际差别很小，当时，。二、临界阻尼 这时，于是。 是一条逐渐趋于零的曲线，结构根本不发生振动。 ，即，这是一个很大的值，一般条件下不发生。只有人为地加入阻尼条件才能达到。应用：飞机的翻滚，必须使接近于1，才能迅速停在所需的状态下。回头看：，临界阻尼作为SDOF是否振动的分界线，其本身也是固有的，是由k，m决定的，即k，m一定，也一定。三、过阻尼 这时，结构也不发生振动。3.4 自由振动试验测SDOF的频率和阻尼（小阻尼） 1.通过给定初始位移或初始速度可以使SDOF产生自由振动。 2.记录下振动的全过程，即曲线。 3.利用峰峰值之间的时间间隔，可以定或。 设n个峰值之间的时间为，则 4.对数衰减率 因在时，约等于1。 故有 即对数衰减率是阻尼比的倍。实用时，为了提高精度，当取n个间隔计算对数率。 此时 例： 教材另有：（1） 半幅值法：（2） 库仑阻尼：可作为博士生内容习题：P51:3.8 (小型桥梁检测可用) 第四章 SDOF简谐激励响应4.1 无阻尼SDOF简谐激励响应 一、简谐激励力 ：幅值，常数。 ：激励频率，与系统的自振频率无关。二、运动方程的稳态响应（稳态解）*数学知识：微分方程的解 全解=齐次解+特解 设解为 代入后得 （消去）也可用： 代入 从而 即 三、稳态解的讨论 令： ,即作用下的静位移。 ，即激励频率与固有频率之比，简称频比。得： 式中 ，称为频响函数。（实质上是的函数） 则称为为、稳态放大因子，它表示动位移的幅值是静位移的多少倍。最后将解改写为 讨论：（1），u与激励同相。 （2） ， u与激励反相 （3），称为共振。注意：无阻尼是一种稳态假定，实际上因阻尼存在，U不会趋于无穷，也可能因幅值增大，系统遭到破环或参数发生变化（刚度K变化，从而变化，导致）。四、运动方程的全解由于系统还会发生自由振动，因此总的解为自由振动解与稳态振动解之和。由与确定系数。例、设,即。且作业：1.求u的零点位置（即时刻）。（令u=0，求解） 2.求u的最大值与时刻。（令=0，求解） 3.用MATLAB绘出激励力、稳态的、自由振动的和全解的曲线。注意观察“拍”的现象。4.2 粘滞阻尼SDOF简谐激励一、稳态解方法1.方法2.2.上式每一项都是一个简谐力（同频率不同相位）一般而言，一个简谐量可用旋转矢量（幅值、相位角）在实轴上的投影表示.(基本原理：一个匀速旋转的矢量在实轴上的投影是简谐量)旋转矢量 幅值 相位惯性力 ()阻尼力 ()弹力 激励力 3.设，绘出各矢量图。（顺序：激弹阻惯）4.由表与上图可得5.代入 表示于是：求得： 方法3.用复数表示法 激励力：运动方程： 设解为 （U理解为复常数，可包含相位差）得于是上下同时除 , () 为频响函数，仍是动力响应与静力位移的比值。幅值： 动力放大系数D(),或幅频曲线。相位角： 相频曲线（按定义：即）当时，化为上节结果。（无阻尼） 作业：验证三种方法得到同一结果瞬态解即振动刚开始的一段，可以按照无阻尼处理，以简化计算，见上节。二讨论.1).有阻尼时，自由振动很快衰减。一般稳态解不需要讨论两解叠加的问题。2).响应仍为简谐运动，滞后相位角，或者说滞后时间，。3).放大系数D可以大于1，也可能小于1。 见图.4).共振时，,阻尼越小，放大系数越大，故，即共振时，力与位移有90相位差（共振标志性特性）。 (放大系数一般在以前回到D=1)可研究的问题，若,且，由随机振动加自由振动的全解中是否有明显的“拍”存在，可否用自频激励发测低频小阻尼系统的。即扩展教材例题4.2的范围。作业.用MATLAB绘出不同下的曲线。 4.3.隔振原理本节利用复频响应计算方法来说明隔振原理最方便。一两类问题SDOF系统的振动力传递至基础。（动力基础隔振问题）例.发电机引起的厂房振动基础本身运动引起SDOF系统的响应。（减少地震影响，减少车内振动）二振动力的传递率 即第一类问题 传至基础的力时,？但按照复指数理论可以证明：,从而摸为，即分子的摸除以分母的摸。传递率曲线：讨论，放大 ，减振由于SDOF的强迫振动频率的值是一定的，如发电机以赫兹的频率旋转，故增大意味着降低，常用方法：橡胶垫圈，弹簧+橡胶垫，弹簧阻尼悬挂（洗衣机）。一般的，基础隔振问题给土木工程师的动力设计任务是：激振频率是给定的（如发电机，匀速行驶的列车），设计者通过改变基础动力参数（刚度，质量），即变化达到隔振目的。在激振频率为常量，变化以寻求减振效果时，用来绘曲线方便重绘传递率曲线：即时有减振效果，因此减振设计的方向是降低基础固有频率到以下，但不能无限降低还要综合考虑结构对基础的其它要求，如动刚度要求（振动位移不能过大）。三基础本身运动时，SDOF相对运动的方程基础运动，质点运动容易看出： 弹性力： 阻尼力： 惯性力：于是质点相对于基础运动：上式化为物理意义1. 相对运动v会引起结构振动，比绝对运动u重要2. 计算基础运动效应只须看作基础不动，物体相对基础的运动方程中多了一个惯性力的作用：，此即地震反应计算原理