证明(二)小店三中.doc

九下讲座稿与三角形有关的证明一、等腰三角形1. 等腰三角形的性质(1).等腰三角形两个底角相等（等边对等角）.(2).等腰三角形底边的中线、高及顶角的平分线“三线合一”.(3).等边三角形各内角都等于60.2.等腰三角形的判定(1).等角对等边.(2).三个角都相等的三角形是等边三角形.(3).有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.二、直角三角形1.直角三角形的性质（1）两个锐角互余.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半.（4）勾股定理2.直角三角形的判定（1）勾股定理的逆定理.（2）一个三角形中两个角互余，则这个三角形是直角三角形.（3）三角形中一边上的中线等于这边的半，则这个三角形是直角三角形.三、命题及其结构1.互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.每个命题都有逆命题，但它不一定是真命题.2.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理.不是所有的定理都有逆定理.【例题解析】ABECD 例1.在44的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB和CD分别是图中13的两个矩形的对角线，显然ABCD.请你用类似的方法画出过点E且垂直于AB的直线，并证明.例2.有一根直尺的短边长2，长边长10，还有一块锐角为45的直角三角形纸板，它的斜边长12cm.如图1，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图2)，设平移的长度为xcm(0x10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S2.(1)当x=0时(如图1)，S=_；当x = 10时，S =_.(2) 当0x4时(如图2)，求S关于x的函数关系式；(3)当4x10时，求S关于x的函数关系式，(同学可在图3、图4中画草图).ABC(图4)ABC(图3)xFEGABCD(图2)(图1)(D)EFCBA例3.例4.在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADCCEB；DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.ABCDEMN图2ACBEDNM图3CBAED图1NM四、线段的垂直平分线1.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.性质定理的逆定理（线段垂直平分线的判定定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3.重要结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.五、角的平分线1.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.3.重要结论：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等.六、两个基本作图1.作已知线段的垂直平分线.2.作已知角的平分线.【例题解析】例5.过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AMBN，按下列步骤画图并回答：（1）画MAB、NBA的平分线交于点E，则AEB900，为什么？（2）过点E任作一线段交AM于点D、交BN于点C，观察线段DE、CE，你有何发现，证明你的猜想；（3）试证明无论DC的两个端点在AM、BN上如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值就不变.例6.如图，在RtABC中，ACB=900,A=22.50,AB的垂直平分线DG分别交AC、AB于点D、G，点F在AC上，点E在BC的延长线上，且CECF，连接BF、DE.探究BF、DE的关系，并证明你的结论.ABGDECFABCD例7.在劳技课上，老师请同学类一张长为17cm，宽为16cm的长方形纸板上，剪一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长），请你帮助同学们计算剪下等腰三角形的面积.练习题1.在等腰梯形ABCD中，AB=DC，求作点P，使得APB与DPC全等，且APD与BPC面积相等。DACBABCD2.已知，ABC中，ABBC，D在BC的延长线上，且ADBC，BAC，CAD，则、之间的数量关系是.ABCEDG3.如图，ABC中，ADBC，CEAB，CGAB，则ACB的度数为_.ABC