高中数学 第一章 立体几何初步 6.1 垂直关系的判定课件 北师大版必修2.ppt

6 1垂直关系的判定 第一章 6垂直关系 学习目标1 掌握直线与平面垂直的定义 判定定理 2 掌握平面与平面垂直的概念 判定定理 3 会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一直线与平面垂直的定义 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子 随着时间的变化 影子的位置在移动 在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化 为多少 答案 答案不变 90 线面垂直的概念 梳理 任何一条 l 垂线 垂面 垂足 知识点二直线和平面垂直的判定定理 将一块三角形纸片abc沿折痕ad折起 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 bd dc与桌面接触 观察折痕ad与桌面的位置关系 思考1 折痕ad与桌面一定垂直吗 答案 答案不一定 思考2 当折痕ad满足什么条件时 ad与桌面垂直 答案 答案当ad bd且ad cd时 折痕ad与桌面垂直 判定定理 梳理 两条相交直线 思考1 知识点三二面角 观察教室内门与墙面 当门绕着门轴旋转时 门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状 数学上 用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角 答案 答案二面角 思考2 平时 我们常说 把门开大一点 在这里指的是哪个角大一点 答案 答案二面角的平面角 1 定义 从一条直线出发的所组成的图形 2 相关概念 这条直线叫作二面角的 两个半平面叫作二面角的 3 二面角的记法以直线ab为棱 半平面 为面的二面角 记作二面角面 ab 4 二面角的平面角 若有 ol oa ob oal obl 则二面角 l 的平面角是 梳理 两个半平面 棱 面 aob 知识点四平面与平面垂直 思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物 做成 铅锤 用这种方法来检查墙与地面是否垂直 当挂铅锤的线从上面某一点垂下时 如果墙壁贴近铅锤线 则说明墙和地面什么关系 此时铅锤线与地面什么关系 答案 答案都是垂直 1 平面与平面垂直的概念 定义 如果两个平面相交 且它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 画法 记法 梳理 直二面角 2 判定定理 垂线 题型探究 例1如图 已知pa垂直于 o所在的平面 ab是 o的直径 c是 o上任意一点 求证 bc 平面pac 类型一线面垂直的判定 证明 证明 pa 平面abc pa bc 又 ab是 o的直径 bc ac 而pa ac a bc 平面pac 引申探究若本例中其他条件不变 作ae pc交pc于点e 求证 ae 平面pbc 证明 证明由例1知bc 平面pac pc ae 且pc bc c ae 平面pbc 1 使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直 即把线面垂直转化为线线垂直来解决 2 证明线面垂直的方法 线面垂直的定义 线面垂直的判定定理 如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 那么它也垂直于另一个平面 反思与感悟 跟踪训练1如图 已知pa垂直于 o所在的平面 ab是 o的直径 c是 o上任意一点 过点a作ae pc于点e 作af pb于点f 求证 pb 平面aef 证明 证明由引申探究知ae 平面pbc ae pb 又af pb 且ae af a pb 平面aef 例2如图所示 在四棱锥s abcd中 底面四边形abcd是平行四边形 sc 平面abcd e为sa的中点 求证 平面ebd 平面abcd 证明 类型二面面垂直的判定 证明连接ac 与bd交于o点 连接oe o为ac的中点 e为sa的中点 eo sc sc 平面abcd eo 平面abcd 1 由面面垂直的判定定理知 要证两个平面互相垂直 关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线 2 证明面面垂直的常用方法 面面垂直的判定定理 所成二面角是直二面角 反思与感悟 跟踪训练2如图 三棱柱abc a1b1c1中 侧棱垂直于底面 acb 90 ac aa1 d是棱aa1的中点 证明 平面bdc1 平面bdc 证明 证明由题设知bc cc1 bc ac cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 由题设知 a1dc1 adc 45 所以 cdc1 90 即dc1 dc 又dc bc c 所以dc1 平面bdc 例3如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求二面角b a1c1 b1的正切值 类型三与二面角有关的计算 解答 解取a1c1的中点o 连接b1o bo 由题意知b1o a1c1 又ba1 bc1 o为a1c1的中点 所以bo a1c1 所以 bob1即是二面角b a1c1 b1的平面角 1 求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 再把平面角放在三角形中 利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值 其步骤为作角 证明 计算 2 为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点 如是否为等腰三角形等 反思与感悟 跟踪训练3如图 ab是 o的直径 pa垂直于 o所在的平面 c是圆周上的一点 且pa ac 求二面角p bc a的大小 解答 解 又 bc是二面角p bc a的棱 pca是二面角p bc a的平面角 由pa ac知 pac是等腰直角三角形 pca 45 即二面角p bc a的大小是45 ab是 o的直径 且点c在圆周上 ac bc 又 pa ac a bc 平面pac 当堂训练 1 如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况 能保证该直线与平面垂直的是 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 a b c d 答案 2 3 4 5 1 解析由线面垂直的判定定理知 直线垂直于 图形所在的平面 而 图形中的两边不一定相交 故该直线与它们所在的平面不一定垂直 解析 2 已知pa 矩形abcd所在的平面 如图所示 图中互相垂直的平面有a 1对b 2对c 3对d 5对 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 解析 da ab da pa ab pa a da 平面pab 同理bc 平面pab 又易知ab 平面pad dc 平面pad 平面pad 平面abcd 平面pad 平面pab 平面pbc 平面pab 平面pab 平面abcd 平面pdc 平面pad 共5对 3 如图 l 点a c 点b 且ba bc 那么直线l与直线ac的关系是a 异面b 平行c 垂直d 不确定 答案 2 3 4 5 1 同理bc l 又ba bc b l 平面abc 解析 4 三棱锥p abc中 pa pb pc ab 10 bc 8 ca 6 则二面角p ac b的大小为 2 3 4 5 1 解析 答案 60 2 3 4 5 1 解析由题意易得点p在平面abc上的射影o是ab的中点 取ac的中点q 连接oq 则oq bc 由题意可得 abc是直角三角形 且 acb 90 aqo 90 即oq ac 又 pa pc pq ac pqo即是二面角p ac b的平面角 5 如图 在四面体abcd中 cb cd ad bd 且e f分别是ab bd的中点 求证 平面efc 平面bcd 2 3 4 5 1 证明 证明 ad bd ef ad ef bd cb cd f是bd的中点 cf bd 又ef cf f bd 平面efc 2 3 4 5 1 平面efc 平面bcd 规律与方法 1 直线和平面垂直的判定方法 1 利用线面垂直的定义 2 利用线面垂直的判定定理 3 利用下面两个结论 若a b a 则b 若 a 则a 2 证明两个平面垂直的主要途径