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好题目 新解法李福顺 冯玉芳在新课程理念的指导下，一批创意新颖的题目在各地中考试题中脱颖而出，现采撷几例，以飨读者：例1. 两名游泳者在长为90米的游泳池对面同时开始游泳，其中一人以3米/秒行进，另一人以2米/秒的速度行进，他们来回游了12分钟，若不考虑转向时的时间，则他们相遇的次数是_。点评：此题是一道典型的“相遇”类型问题，若用常规的纯代数方法很难求解，如果巧妙借助于图象进行直观分析，则顿开茅塞，事半功倍！同时本题也充分体现了数形结合的思想、解决问题的优美与简洁。解：建立如图所示的直角坐标系，其中实线和虚线分别表示速度为3米/秒和2米/秒的游泳者游的距离（相对于2米/秒的游泳者开始时所在的岸边）与时间的图象，从图象观察发现：每180秒两者又回到开始时的位置，两人在中途共相遇了5次，这样，经过12分钟两人共相遇20次。例2. 现有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，下列四种方案能拼成边长为a+b的正方形的是_。A. （1）1个 （2）2个 （3）1个B. （1）1个 （2）1个 （3）2个C. （1）1个 （2）1个 （3）1个D. （1）2个 （2）1个 （3）1个点评：本题表面上看是一个拼图形问题，仔细思考发现实际上是完全平方公式的应用问题，学生往往感到无从下手而导致出错。解：由完全平方公式得：得本题答案为B。例3. 一副自行车外胎，若安装在前轮，则能行驶5000千米；若安装在后轮，则只能行驶3000千米，为使一副外胎尽可能多地行驶路程，采取行驶一段路程后，前后轮胎对换的方法，当行驶_千米后对换，这副外胎行驶的路程最多。点评：本题类型在中学数学2005年第四期有所介绍，题目难度较大，若通过方程的思想建立数学模型，学生易于理解。解：若把一只轮胎的磨损量看成整体“1”，则每行驶1km后前轮轮胎磨损了它的，后轮轮胎磨损了它的，那么一副轮胎就磨损了这一副轮胎的，设一付新轮胎最多可行驶x km则，解得又设行驶了y km后前后轮胎对换，则对于一只轮胎来说，在前轮行驶了y km后，在后轮只能行驶，由题意得：，解得（由x、y的大小关系可以看出：y是一副轮胎最大行程的一半）例4. 一个定滑轮起重装置中，滑轮的半径为10cm，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心转过的角度是_度。点评：本题明显是一道以物理知识为背景的考查学生能力的跨学科试题，设计上符合新教材的主流，在几届学生测试中，出错率较高，只有学生灵活运用物理、数学知识方可正确求解，同时，学生在实际填空时，由于不注意审题或受思维定势影响，往往写成而出错。解：当重物上升时，则绕在滑轮上的绳子转过，利用弧长公式可得例5. 计算当n取无限大的自然数时，_点评：乍一看，本题是一道高中试题，初中生受知识限制而无法下手，但是，若利用数形结合的思想去思考，则此题不难解决。解：如图1，设圆的面积为“1”，作一条直径后，圆的上部半圆的面积为，再作一条半径，则圆的左下角扇形面积为，依次作该圆的半径，直至最后一个小扇形的面积为，因此当n取无限大的自然数时，原式的值等于1。图1例6. 如图2，已知O的半径OA等于4cm，过A向半径OB作垂线OC，垂足为C，若，则图中阴影部分的面积为_。图2点评：本题中的条件令人望而生畏，不知如何下手，而本题的突破口就在于此，由联想到，不妨将扇形OAB向下翻折，则得到，则图中阴影部分面积即为扇形的面积