§3特殊三角形.doc

3 特殊三角形知识要点梳理1等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（“三线合一”）；等边三角形的三个内角都相等，都等于60；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线，底边上的中线或底边上的高所在的直线识别有两边相等的三角形是等腰三角形；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边”）2直角三角形性质直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方识别有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果一个三角形一边上中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形典型试题评析例1 （06河北）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为_若直角三角形的两条边长分别为15和20，则第三边长为_.06重庆如图3-1所示，A、B是45网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以、为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点的位置.C1AB.C3.C2解：等腰三角形的三边可能是4、4、9，也可能是9、9、4，但449，不符合三角形的三边关系，应舍去.故，应填上9.20可能为直角边长也可能是斜边长，所以第三边长为25或者5.故，应填25或5.在网格中作以A、B为其中两个顶点的等腰三角形，可以运用圆规图3-1等工具动手画一画，也可通过计算再结合图形求得.画图，如图3-1所示，以AB为腰的等腰三角形有3个；以AB为底的等腰三角形有0个.评析要分类讨论，否则容易漏解.例2 04浙江衡阳正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用不同的分割方法，将正三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）.解：有四种情形，如图3-24040 4030 3060303060 6060 6060图3-2评析考查正三角形的性质，等腰三角形的判定及它们间的关系，底角为30、60的等腰三角形易解决，底角为20、40、80的等腰三角形不易想到，但也合要求.例3 （06湖南邵阳）如图3-3，在矩形ABCD中，AB6，BC8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.解：设EFx，图3-3依题意，知 CDECFE.DEEFx，CFCD6，AC10.AFACCF4，AEADDE8x. 在RtAEF中，有AE2AF2EF2，即，x3.即EF3.评析设未知数，利用方程的思想来解决有关问题是几何中常用的方法.基础优化训练一、填空题1.若等腰三角形两边长为4cm，5cm，则其周长为_.2.04福建福州如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞了_m.3.（06山东烟台改造）如图，CD是RtABC的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于_度.AECBDA E D BC8m 8m 2m 第3题图第2题图第4题图4.06湖南娄底改造如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆AB长2.5m，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5m，当端点B向右移动0.5m时，求滑杆顶端A下滑距离AE：等于0.5m；大于0.5m；小于0.5m，其中正确结论的序号是_.506广东如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短D路线的长度是_ (结果保留根式)6.（06安徽芜湖）请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：_.第6题图第5题图二、选择题7.06山西如图，分别以直角ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（ ）.A.S1S2 B.S1S2 C.S1S2 D.无法确定8.06湖北仙桃如图，在ABC中，已知ABAC，DE垂直平分AC，A50，则DCB的度数是 A.15 B.30 C. 50 D. 659.等腰三角形的一个角等于80，则另两个角的度数分别是（ ）.A.40、40B.80、20C.50、50D.50、50或80、2010.06山东威海如图，在ABC中，ACB100，ACAE，BCBD，则DCE的度数为（ ）ABCA.20 B.25 C.30 D.40第10题图第8题图第7题图三、解答题11.04吉林图是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm），其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面.用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm）；将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.12.06福建漳州改造如图所示，一张直角三角形的纸片像图中那样折叠，使两个锐角顶点A、B重合，若B30，AC，求折痕DE的长.13.06福建厦门折竹抵地：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺问折者高几何？C E5 12090h D F A B BEDC A第11题图第12题图第13题图14.06山东烟台正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在图的正方形网格中作出了RtABC，请你按照同样的要求，在图、的两个正方形网络中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等.第14题图15.（2005北京海淀）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由.在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.A1 A10 A7 A6A2 A3 A4 A5A9 A8B P C DF EA GAPNBOM第15题图第17题图第16题图四、拓展提高16.06陕西如图，矩形ABCG（ABBC与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，APE的顶点P在线段BD上移动，使APE为直角的点P的个数是 ）A0 B1 C2 D317.（03福建泉州）如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A1、A2、A3、A10这十个点中任意三点为顶点可以组成不同的三角形，问：最多能组成多少个等腰直角三角形.你愿意把得到的结论的探究方法与他人交流吗？若愿意，请简要写出你的探究过程.18.06大连西岗如图，P