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江苏省泰兴中学高二立体几何复习资料 2002/3/5班级 姓名 基本概念 一、公理： 公理 如果一直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面 内。 公理 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线。 公理 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 推理 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推理 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推理 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理 平行于同一条直线的两条直线平行。二、空间的直线、平面之间的位置关系：直线和直线：直线和平面：平面和平面：三、定义和定理： 定义： 异面直线： 直线和平面平行： 直线和平面垂直： 斜线： 斜线在平面内的射影： 平面和平面平行： 平面和平面垂直： 定理： 异面直线的判定定理： 等角定理： 关于斜线段及其射影的定理： 三垂线定理： 三垂线定理的逆定理： 直线、平面间的平行、垂直的判定定理和性质定理： A.直线和平面平行的判定及性质： 判定定理如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和 这个平面平行。 判定定理如果两个平面平行，则在其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线就与交线平行。 B.直线和平面垂直的判定和性质： 判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面。 判定定理如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个 平面。 判定定理如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直 于另一个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 C.平面和平面平行的判定和性质： 判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行。 判定定理如果两个平面都垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 性质定理如果两个平行平面和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 性质定理如果两个平面平行，那么夹在这两个平行平面间的平行线段相等。 D.平面和平面垂直的判定和性质： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 一个平面。 性质定理如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平 面的直线，在第一个平面内。四、关于角的概念： 异面直线所成的角：（090) 直线和平面所成的角：（090) 最小角定理： 二面角和它的平面角：（0180） 五、关于距离的概念： 两点间距离。(略) 点到直线的距离。(略) 两条平行线间的距离。(略) 两条异面直线的距离：六典型例题：例判断下列各命题是否正确，如果不正确，举出反例，加以说明: 如果一条直线和两条直线相交，那么这三条直线可确定一个平面。 任意三点可确定一个平面。 没有公共点的两条直线叫做平行直线。 分别位于两个平面的两条直线必定是异面直线。 和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。 过平面外一点，有且仅有一条直线和这个平面平行。 平面外一条直线上任意三点到平面的距离相等，那么这条直线和这个平面平行。 如果一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面都平行。 平行于同一平面的两条直线相互平行。 与一个平面相交成等角的两条直线平行。 两条平行直线分别在同一平面内的射影必平行。 垂直于同一直线的一条直线和一个平面必平行。 如果一条直线垂直于平面内两条直线，那么它就与该平面内任何一条直线垂直。 如果两条平行线中的一条垂直于面内无数条直线，那么另一条就垂直于这个平 面。 垂直于同一平面的两个平面必平行。 一个平面内有两条平行直线和另一个平面平行，这两个平面一定平行。 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 如果两个平面互相平行，那么其中任一平面内的一切直线都和另一平面平行。 如果两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线垂直于第二个平面内一直线 ，那么直线一定垂直于第二个平面。2下列各图是正方体或四面体，、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是-（ ） 、 、 、 、3已知、是两条异面直线，且、所成的角是，过空间某一点作直线，使与、所成的角都是，则这样的直线有-（ ）、多于条 、恰有3条 、恰有2条 、仅仅有1条4正方形，沿对角线对折，使点在面外，这时与面所成的角一定不等于-（ ）、 、 、 、5教室内有一把直尺，无论怎么样放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线-（ ）、平行 、垂直 、相交 、异面6有下面四个命题： 、“直线、为异面直线”的充分而非必要条件是“直线、不相交”； 、“直线平面内的所有直线”的充要条件是“”；、“直线”的充分而非必要条件是“垂直于直线在平面内的射影”；、“直线平面”的必要不充分条件是“直线平行于平面内的一条直线”其中正确命题的序号是-（ ） 、 、 、 、7已知是异面直线、的公垂线，且，异面直线、成角，在上取，则点到的距离为-（ ） 、 、 、 、8已知直线与平面成角，直线与成角，则直线与平面成的角的范围是-（ ） 、 、 、 、9是平面内的一条线段，,垂直于平面，是在 平面内的射影，且，求线段之长。10. 边长都是的正方形和正方