3.4基本不等式.ppt

3 4基本不等式 2002年国际数学大会 ICM 2002 在北京召开 此届大会纪念封上的会标图案 其中央正是经过艺术处理的 弦图 它标志着中国古代的数学成就 又像一只转动着的风车 欢迎来自世界各地的数学家 一 问题引入 情景设置 新课探究 新课探究 一般地 对于任意实数 我们有 当且仅当时等号成立 思考 如何证明 证明 当且仅当时 此时 当且仅当a b时 取 号 能否用不等式的性质进行证明 小组合作 在右图中 AB是圆的直径 点C是AB上的一点 设AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD 基本不等式的几何意义是 半径不小于半弦 E P98探究 2 代数意义 几何平均数小于等于算术平均数 2 代数证明 3 几何意义 半弦长小于等于半径 当且仅当a b时 等号成立 二 新课讲解 3 几何证明 从数列角度看 两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项 1 思考 如果当用去替换中的 能得到什么结论 基本不等式 探究3 基本不等式 当且仅当a b时 等号成立 当且仅当a b时 等号成立 重要不等式 注意 1 不同点 两个不等式的适用范围不同 2 相同点 当且仅当a b时 等号成立 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 证明 当时 探究 o a b A B P Q 1 如图 AB是圆o的直径 Q是AB上任一点 AQ a BQ b 过点Q作垂直于AB的弦PQ 连AP BP 则半弦PQ 半径AO 几何意义 圆的半径不小于圆内半弦长 探究4 动态演示 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 2 PQ与AO的大小关系怎样 2 基本不等式 均值定理 1 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 此定理又可叙述为 1 重要不等式 2 基本不等式 均值定理 注意 基本不等式成立的要素 1 看是否均为正数 2 看不等号的方向 3 看等号是否能取到 简言之 一正二定三相等 基本不等式 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 结论2 两个正数和为定值 则积有最大值 例1 1 用篱笆围一个面积为100的矩形菜园 问这个矩形的长宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形的长宽各为多少时 菜园面积最大 最大面积是多少 解法一 2 设矩形菜园的宽为xm 则长为 36 2x m 其中0 x 18 解法二 其面积为 当且仅当2x 36 2x 即x 9时菜园面积最大 即菜园长18m 宽为9m时菜园面积最大为162m2 例2某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每平方米的造价为150元 池壁每平方米的的造价为120元 怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少 解 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 设水池底面一边的长度为xm 则水池的宽为 水池的总造价为y元 根据题意 得 因此 当水池的底面是边长为40m的正方形时 水池的总造价最低 最低总造价是297600元 例题讲解 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 已知x 1 求x 的最小值以及取得最小值时x的值 解 x 1 x 1 0 x x 1 1 2 1 3 当且仅当x 1 时取 号 于是x 2或者x 0 舍去 答 最小值是3 取得最小值时x的值为2 例2 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式 例3已知x 0 y 0 且x y 1求的最小值 1 基本不等式取等号的条件 2 1 的代换在不等式中的应用 错 赵老师花10万元购买了一辆家用汽车 如果每年使用的保险费 养路费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万 则这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 分析 年平均费用 的含义 解 设使用x年后 年平均费用为y万元 则 即当x 10时 y有最小值3万元 答 使用