数值计算典型习题详解.pdf

1 数值计算数值计算典型典型习题习题详解详解 目录目录 一 插值 2 1 拉格朗日插值 2 2 牛顿插值 4 二 数值积分 7 1 龙贝格积分 7 2 高斯积分 12 三 非线性方程求根 15 1 二分法 15 2 牛顿迭代法 弦截法 17 四 线性方程组求根 20 1 高斯消元法 含列主元高斯消元法 20 2 迭代法 高斯 赛德尔迭代 雅可比迭代 23 五 微分方程初值问题的数值解 28 1 欧拉法 及改进欧拉法 28 2 龙格 库塔公式 29 2 一 插值一 插值 1 拉格朗日插值 拉格朗日插值 例例 1利用二阶拉格朗日插值计算 f 2 3 要求精确到小数点后 2 位 x 1 2 3 4 5 f x 0 3 4 2 6 解 1 利用二次拉格朗日插值公式计算 公式如下 3 3 0 ii i Lxlx y 12 0 0102 xxxx l xxxx 02 1 1012 xxxx l xxxx 01 2 2021 xxxx l xxxx 2 取 00 1 0 xy 11 2 3 xy 22 3 4 xy 代入公式 12 0 0102 0 105 xxxx l xxxx 02 1 1012 0 910 xxxx l xxxx 01 2 2021 0 195 xxxx l xxxx 001122 2 33 51 fl yl yl y 3 例例 2利用三阶拉格朗日插值计算 2 5f 要求精确到小数点后 2 位 x 1 2 3 4 5 f x 0 3 4 2 6 解 利用三次拉格朗日插值公式计算 公式如下 3 3 0 ii i Lxlx y 123 0 010203 xxxxxx l xxxxxx 023 1 101213 xxxxxx l xxxxxx 013 2 202123 xxxxxx l xxxxxx 012 3 303132 xxxxxx l xxxxxx 2 取 00 1 0 xy 11 2 3 xy 22 3 4 xy 33 4 2 xy 代入公式 123 0 010203 0 063 xxxxxx l xxxxxx 023 1 101213 0 563 xxxxxx l xxxxxx 013 2 202123 0 563 xxxxxx l xxxxxx 012 3 303132 0 063 xxxxxx l xxxxxx 00112233 2 53 81 fl yl yl yl y 4 2 牛顿插值 牛顿插值 例例 1利用二阶牛顿插值计算 f 2 3 要求精确到小数点后 2 位 x 1 2 3 4 5 fx 0 3 4 2 6 解 利用二阶牛顿插值公式计算 公式如下 012011 011 1 kkk kk kk f x xxxf x xx f x xxx xx 2000101012 Nxf xxxf x xxxxxf x x x 计算各差商 0 0 f x 1 3 f x 2 4 f x 10 01 10 30 3 2 1 f xf x f x x xx 21 12 21 1 f xf x f x x xx 1201 012 20 1 f x xf x x f x x x xx 2000101012 2 3 02 3 1 32 3 12 3213 51 Nf xxxf x xxxxxf x x x 5 例例 2利用三阶牛顿插值计算 f 2 5 要求精确到小数点后 2 位 x 1 2 3 4 5 f x 0 3 4 2 6 解 利用三阶牛顿插值公式计算 公式如下 012011 011 1 kkk kk kk f x xxxf x xx f x xxx xx 3000101012 0120123 Nxf xxxf x xxxxxf x x x xxxxxxf x x xx 计算各差商 0 0 f x 1 3 f x 2 4 f x 3 2 f x 10 01 10 30 3 2 1 f xf x f x x xx 21 12 21 1 f xf x f x x xx 32 23 32 2 f xf x f x x xx 1201 012 20 1 f x xf x x f x x x xx 2312 122 31 1 5 f x xf x x f x x x xx 123012 0123 30 0 167 f x x xf x x x f x x x x xx 6 3000101012 0120123 2 5 0 1 5 3 1 5 0 511 5 0 50 50 167 3 81 Nf xxxf x xxxxxf x x x xxxxxxf x x x x 7 二 数值积分二 数值积分 1 龙贝格积分 龙贝格积分 例例 1请利用龙贝格积分公式计算以下积分 其中梯形积分必须采用递推公式 龙贝格积 分计算 1 次 2x x2 4dx 1 0 解 令 2 2 4 x f x x 1 分段递推公式如下 1 21 0 2 1 22 n nn i i h TTfx 可得 1 1 020 0 333 221 44 ba Tf af b 2111 2 111 0 50 300 2222 i h TTfxTf 42 11 0 250 750 291 24 TTff 84 11 0 1250 3750 6250 8750 289 28 TTffff 2 利用龙贝格积分 有如下公式 22 1 3 nnnn STTT 22 1 15 nnnn CSSS 22 1 63 nnnn RCCC 故有 8 21 1 4 0 289 3 TT S 42 2 4 0 288 3 TT S 4 0 288 S 21 1 16 0 288 15 SS C 2 0 288 C 21 1 64 0 288 63 CC R 例例 2请利用龙贝格积分公式计算以下积分 其中梯形积分必须采用递推公式 龙贝格积 分计算 1 次 要求精确到小数点后 2 位 x2lnxdx 8 4 解 令 2 ln f xxx 1 分段递推公式如下 1 21 0 2 1 22 n nn i i h TTfx 可得 1 84 8ln84ln4310 530 22 ba Tf af b 2111 2 111 6284 272 2222 i h TTfxTf 42 11 57277 721 24 TTff 84 11 4 55 56 57 5276 085 28 TTffff 2 利用龙贝格积分 有如下公式 9 22 1 3 nnnn STTT 22 1 15 nnnn CSSS 22 1 63 nnnn RCCC 故有 21 1 4 275 519 3 TT S 42 2 4 275 538 3 TT S 4 275 539 S 21 1 16 275 539 15 SS C 2 275 539 C 21 1 64 275 54 63 CC R 例例 3请利用龙贝格积分公式计算以下积分 其中梯形积分必须采用递推公式 龙贝格积 分计算 1 次 要求精确到小数点后 2 位 8 0 sind xxx 解 令 sin fxxx 1 分段递推公式如下 1 21 0 2 1 22 n nn i i h TTfx 可得 1 80 8sin8031 660 22 ba Tf af b 10 2111 2 118 43 721 2222 i h TTfxTf 42 1 262 145 22 h TTff 84 1 13572 141 22 h TTffff 2 利用龙贝格积分 有如下公式 22 1 3 nnnn STTT 22 1 15 nnnn CSSS 22 1 63 nnnn RCCC 故有 21 1 4 5 592 3 TT S 42 2 4 1 619 3 TT S 4 2 140 S 21 1 16 2 100 15 SS C 2 2 175 C 21 1 64 2 176 63 CC R 例例 4请利用龙贝格积分公式计算以下积分 其中梯形积分必须采用递推公式 龙贝格积 分计算 1 次 要求精确到小数点后 2 位 8 2 0 d 1 x x x 11 解 令 2 1 x f x x 1 分段递推公式如下 1 21 0 2 1 22 n nn i i h TTfx 可得 1 2 8080 0 492 221 81 0 ba Tf af b 2111 2 118 41 1873 2222 i h TTfxTf 42 1 261 718 22 h TTff 84 1 13571 991 22 h TTffff 2 利用龙贝格积分 有如下公式 22 1 3 nnnn STTT 22 1 15 nnnn CSSS 22 1 63 nnnn RCCC 故有 21 1 4 1 419 3 TT S 42 2 4 1 895 3 TT S 4 2 082 S 21 1 16 1 927 15 SS C 2 2 095 C 12 21 1 64 2 10 63 CC R 2 高斯积分 高斯积分 例例 1利用 2 点高斯积分公式计算以下积分 cosx 2 3 1 dx 解 标准两点高斯求积公式为 1 1 11 d 33 f xxff 一般区间应用高斯求积公式 可以利用如下转换 1 1 11 dd 222 b a ba f xxfabba tt 故有 31 2 11 1 1 3 111 cosd3 13 1d 222 2d 11 22 33 0 74 xxftt ftt ff 例例 2利用 2 点高斯积分公式计算以下积分 要求精确到小数点后 2 位 3 2 2 d x x 解 标准两点高斯求积公式为 1 1 11 d 33 f xxff 一般区间应用高斯求积公式 可以利用如下转换 13 1 1 11 dd 222 b a ba f xxfabba tt 故有 31 21 1 1 3211 2 d3232d 222 1 2 50 5d 2 0 50 5 0 52 50 52 5 33 2 23 x xftt ftt ff 例例 3利用 2 点高斯积分公式计算以下积分 要求精确到小数点后 2 位 3 2 1 25d xx 解 标准两点高斯求积公式为 1 1 11 d 33 f xxff 一般区间应用高斯求积公式 可以利用如下转换 1 1 11 dd 222 b a ba f xxfabba tt 故有 31 2 11 1 1 3 111 25d3 13 1d 222 2d 11 22 33 7 28 xxftt ftt ff 例例 4利用 2 点高斯积分公式计算以下积分 要求精确到小数点后 2 位 2 x2 4 1 0 dx 解 标准两点高斯求积公式为 14 1 1 11 d 33 f xxff 一般区间应用高斯求积公式 可以利用如下转换 1 1 11 dd 222 b a ba f xxfabba tt 故有 11 2 01 1 1 21 011 d1 01 0d 4222 1 0 50 5d 2 0 50 5 0 50 50 50 5 33 0 55 xftt x ftt ff 15 三 三 非线性方程求根非线性方程求根 1 二分法 二分法 例例 1请用二分法在区间 2 0 5 上求解以下方程 要求根的误差小于 0 001 3 x 1 x 0 5 x 1 0 解 二分法的原理是利用方程两侧的函数值异号而得到的 列表计算如下 n a b c a b 2 f a f b f c C n C n 1 1 2 0 5 1 25 2 1 25 0 5 0 875 0 375 3 1 25 0 875 1 0625 0 1875 4 1 0625 0 875 0 9688 0 0937 5 1 0625 0 9688 1 0156 0 0456 6 1 0156 0 9688 0 9922 0 0234 7 1 0156 0 9922 1 0039 0 0117 8 1 0039 0 9922 0 9988 0 0051 9 1 0039 0 9988 1 0014 0 0026 10 1 0014 0 9988 1 0001 0 0013 11 1 0001 0 9988 0 9994 0 0007 故 0 999 为近似值 例例 2请用二分法在区间 4 4 5 上求解以下方程 要求根的误差小于 0 001 tanx x 解 二分法的原理是利用方程两侧的函数值异号而得到的 令 tan f xxx 列表计算如下 n a b c a b 2 f a f b f c C n C n 1 1 4 4 5 4 25 2 4 25 4 5 4 375 0 125 3 4 375 4 5 4 4375 0 0625 4 4 4375 4 5 4 4688 0 0313 5 4 4688 4 5 4 4844 0 0156 6 4 4844 4 5 4 4922 0 0078 7 4 4922 4 5 4 4961 0 0039 16 8 4 4922 4 4961 4 4942 0 0019 9 4 4922 4 4942 4 4932 0 0011 10 4 4932 4 4942 4 4937 0 0005 故 4 494 为近似值 例例 3请用 2 分法在区间 0 1 上求解以下方程 要求根的误差小于 0 001 cos0 xx 解 二分法的原理是利用方程两侧的函数值异号而得到的 列表计算如下 n a b c a b 2 f a f b f c C n C n 1 1 0 1 0 5 2 0 5 1 0 75 0 25 3 0 5 0 75 0 625 0 125 4 0 625 0 75 0 6875 0 0625 5 0 625 0 6875 0 6563 0 0313 6 0 625 0 6563 0 6406 0 0157 7 0 6406 0 6563 0 6484 0 0079 8 0 6406 0 6484 0 6445 0 0040 9 0 6406 0 6445 0 6425 0 0020 10 0 6406 0 6425 0 6415 0 0010 11 0 6415 0 6425 0 6420 0 0005 故 0 642 为近似值 例例 4请用 2 分法在区间 0 1 上求解以下方程 要求根的误差小于 0 001 32 71460 xxx 解 二分法的原理是利用方程两侧的函数值异号而得到的 列表计算如下 n a b c a b 2 f a f b f c C n C n 1 1 0 1 0 5 2 0 5 1 0 75 0 25 3 0 5 0 75 0 625 0 125 4 0 5 0 625 0 5625 0 0625 5 0 5625 0 625 0 5938 0 0313 6 0 5625 0 5938 0 5781 0 0157 7 0 5781 0 5938 0 5859 0 0078 17 8 0 5781 0 5859 0 5820 0 0039 9 0 5820 0 5859 0 5839 0 0019 10 0 5839 0 5859 0 5849 0 0010 11 0 5849 0 5859 0 5854 0 0005 故 0 585 为近似值 2 牛顿迭代法 牛顿迭代法 弦截法 弦截法 例例 1请用牛顿迭代法求解以下方程 要求根的误差小于 0 001 x3 2x2 5 0 其中1 x 5 解 牛顿迭代法的公式为 1 k kk k f x xx fx 令 32 25 f xxx 有 2 34 fxxx 令 0 2 x 32 00 10 2 00 25 3 2500 34 xx xx xx 32 11 21 2 11 25 2 8110 34 xx xx xx 32 22 32 2 22 25 2 6980 34 xx xx xx 4 2 6907 x 5 2 6906 x 故根为 2 691 例例 2请用牛顿迭代法求解以下方程 要求根的误差小于 0 001 0 80 2sin0 xx 18 其中0 2 x 解 牛顿迭代法的公式为 1 k kk k f x xx fx 令 0 80 2sin f xxx 有 1 0 2cos fxx 令 0 0 x 00 10 0 0 80 2sin 1 1 0 2cos xx xx x 2 0 9645 x 3 0 9643 x 故根为 0 964 例例 3请用弦截法求解以下方程 要求根的误差小于 0 001 x2 6 0 其中x0 3 x1 2 解 弦截法的公式为 11 1 k kkkk kk f x xxxx f xf x 令 2 6 f xx 01 3 2 xx 1 2110 10 2 4 f x xxxx f xf x 2 3221 21 2 4545 f x xxxx f xf x 4 2 4494 x 19 5 2 4495 x 所以方程的根为 2 450 例例 4请用弦截法求解以下方程 要求根的误差小于 0 001 2 30 x ex 其中01 x 解 弦截法的公式为 11 1 k kkkk kk f x xxxx f xf x 令 2 3 x f xex 01 0 1 xx 1 2110 10 0 7802 f x xxxx f xf x 2 3221 21 0 9029 f x xxxx f xf x 4 0 9106 x 5 0 9100 x 6 0 9100 x 所以方程的根为 0 910 20 四 线性方程组求根四 线性方程组求根 1 高斯消元法 含列主元高斯消元法 高斯消元法 含列主元高斯消元法 例例 1请用高斯消元法求解方程组 要求精确到小数点后 2 位 4x1 x2 2x3 9 2x1 4x2 x3 5 x1 x2 3x3 9 解 利用高斯消元法 首先建立增广矩阵 开始消元 21 31 32 2 41294129 4 241503 529 51 4113900 753 511 25 4129 0 75 03 529 53 5 003 07149 2143 ll ll ll 消元完毕 开始回代 可得 3 3 x 2 1 x 123 92 41 xxx 例例 2请用高斯消元法求解方程组 要求精确到小数点后 2 位 123 123 123 48 2523 42411 xxx xxx xxx 解 利用高斯消元法 首先建立增广矩阵 开始消元 21 21 31 32 2 41184118 4 252305 51 51 424110333 4118 3 05 51 515 5 002 1823 546 ll ll ll 消元完毕 开始回代 可得 3 1 63 x 2 0 63 x 123 8 41 44 xxx 例例 3请用列主元高斯消元法求解方程组 要求精确到小数点后 2 位 2x1 1 5x2 3x3 1 x1 2x3 3 4x1 4 5x2 5x3 1 解 利用高斯消元法 首先建立增广矩阵 21 531 1023 44 551 选择第 1 列中的最大值第 3 行为第 1 行 可得 21 31 31 1 4 2 3 2 3 44 55144 551 102301 1253 253 25 21 53100 750 50 5 44 551 01 1253 253 25 002 66672 6667 ll ll ll 消元完毕 开始回代 可得 3 1 x 2 3 25 3 25 1 1 1250 x 1 1 x 22 最终解为 1 0 1 例例 4请用列主元高斯消元法求解方程组 要求精确到小数点后 2 位 123 123 12 32 331 3 xxx xxx xx 解 利用高斯消元法 首先建立增广矩阵 1132 3311 1103 选择第 1 列中的最大值第 2 行为第 1 行 可得 21 31 1 3 1 3 33113311 1132002 6672 333 1103020 3333 333 ll ll 选择第 2 列中的最大值第 3 行为第 2 行 可得 33 11 020 3333 333 002 6672 333 消元完毕 开始回代 可得 3 0 875 x 2 3 333 0 333 0 875 21 813 x 1 1 188 x 最终解为 0 88 1 81 1 19 23 2 迭代法 高斯 迭代法 高斯 赛德尔迭代 赛德尔迭代 雅可比雅可比迭代 迭代 例例 1请用雅可比迭代法求解方程组 要求精确到小数点后 3 位 4x1 x2 x3 x4 2 x1 4x2 x3 x4 1 x1 x2 5x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 1 初值取 x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 解 首先建立迭代格式 1 234 1 1 134 2 1 124 3 1 123 4 2 4 1 4 5 1 3 nnn n nnn n nnn n nnn n xxx x xxx x xxx x xxx x 将初值代入公式 有 000 1 234 1 000 1 134 2 000 1 124 3 000 1 123 4 2 0 5 4 1 0 25 4 0 5 1 0 333 3 xxx x xxx x xxx x xxx x 111 2 234 1 111 2 134 2 111 2 124 3 111 2 123 4 2 0 5208 4 1 0 0417 4 0 2167 5 1 0 4167 3 xxx x xxx x xxx x xxx x 最终结果 24 0 753 0 041 0 281 0 692 例例 2请用雅可比迭代法求解方程组 要求精确到小数点后 3 位 12 123 234 34 1056 510425 4811 511 xx xxx xxx xx 初值取 0 0 0 0 解 首先建立迭代格式 1 2 1 1 13 2 1 24 3 1 3 4 65 10 2554 10 114 8 11 5 n n nn n nn n n n x x xx x xx x x x 将初值代入公式 有 0 1 2 1 00 1 13 2 00 1 24 3 0 1 3 4 65 0 6 10 2554 2 5 10 114 1 375 8 11 2 2 5 x x xx x xx x x x 25 1 2 2 1 11 2 13 2 11 2 24 3 1 2 3 4 65 0 65 10 2554 1 65 10 114 0 40 8 11 2 475 5 x x xx x xx x x x 最终结果 0 797 2 795 0 260 2 252 例例 3请用高斯 赛德尔迭代法求解方程组 要求精确到小数点后 3 位 3x1 x2 x3 1 3x1 6x2 2x3 0 3x1 3x2 7x3 4 初值取 x1 x2 x3 0 0 0 解 首先建立迭代格式 1 23 1 1 1 13 2 11 1 12 3 1 3 032 6 433 7 nn n nn n nn n xx x xx x xx x 将初值代入公式 有 1 23 1 1 1 13 2 11 1 12 3 1 0 3333 3 03203 0 33332 0 0 1667 66 43343 0 33333 0 1667 0 5 77 nn n nn n nn n xx x xx x xx x 26 1 23 1 1 1 13 2 11 1 12 3 1 0 1111 3 03203 0 33332 0 0 2222 66 43343 0 33333 0 1667 0 6190 77 nn n nn n nn n xx x xx x xx x 最终结果 0 035 0 237 0 658 例例 4请用高斯 赛德尔迭代法求解方程组 要求精确到小数点后 3 位 12 123 23 109 1027 2106 xx xxx xx 初值取 0 0 0 解 首先建立迭代格式 1 2 1 1 1 13 2 1 1 2 3 9 10 72 10 62 10 n n nn n n n x x xx x x x 将初值代入公式 有 0 1 2 1 10 1 13 2 1 1 2 3 9 0 9 10 7270 9 0 79 1010 6262 0 79 0 758 1010 x x xx x x x 27 1 2 2 1 21 2 13 2 2 2 2 3 9 0 979 10 72 0 950 10 62 0 790 10 x x xx x x x 最终结果 0 996 0 958 0 792 28 五 微分方程初值问题的数值解五 微分方程初值问题的数值解 1 欧拉法 及改进欧拉法 欧拉法 及改进欧拉法 例例 1请用改进欧拉公式求y 2 要求精确到小数点后 2 位 dy dx 1 y x y 1 2 取h 0 5 解 改进欧拉公式如下 1 111 2 n