高中数学 第三章 不等式 1.2 不等关系与不等式(一)课件 北师大版必修5.ppt

第三章不等式 1 2不等关系与不等式 一 1 实数比较大小的方法 2 通过解决具体问题 培养严谨的思维习惯 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一作差法比较两个实数大小的原理 因为2x与x2 1两个式子都在变化 谁大谁小不容易确定 而x2 1 2x x 1 2 0 大小关系容易确定 答案 2x与x2 1谁大谁小容易确定吗 x2 1 2x与0的大小关系呢 梳理 一般地 可以通过比较a b与0的大小来比较a与b的大小 其原理是 a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 知识点二比较两个实数大小的依据 思考 这种方法对 其依据是不等式的传递性 若a b b c 则a c 有同学借助一个中间量 x 1 x x 1来比较x 1与x 1的大小 这种方法对吗 依据是什么 答案 梳理 一般地 比较两个实数的大小 常需要对两个实数变形 为不改变它们的大小关系 需遵循不等式的性质进行变形 常用的依据有 1 如果a b 那么a c b c 加法性质 2 如果a b c 0 那么ac bc 3 如果a b c 0 那么ac bc 乘法性质 题型探究 类型一比较大小 命题角度1作差法比较大小例1已知a b均为正实数 试利用作差法比较a3 b3与a2b ab2的大小 a3 b3 a2b ab2 a3 a2b b3 ab2 a2 a b b2 b a a b a2 b2 a b 2 a b 当a b时 a b 0 a3 b3 a2b ab2 当a b时 a b 2 0 a b 0 a3 b3 a2b ab2 综上所述 a3 b3 a2b ab2 解答 反思与感悟 比较两个实数的大小 只要考察它们的差就可以了 作差法比较实数的大小的一般步骤是作差 恒等变形 判断差的符号 下结论 作差后变形是比较大小的关键一步 变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式 跟踪训练1已知x 1 试比较x3 1与2x2 2x的大小 解答 x3 1 2x2 2x x3 2x2 2x 1 x3 x2 x2 2x 1 x2 x 1 x 1 2 命题角度2作商法比较大小例2若0 x 1 a 0且a 1 试比较 loga 1 x 与 loga 1 x 的大小关系 解答 0 x 1 1 x2 1 x 1 x 1 且1 x 0 loga 1 x loga 1 x 反思与感悟 作商法的依据 若b 0 则 1 a b 跟踪训练2若a b 0 比较aabb与abba的大小 解答 又 a b 0 aabb abba 类型二作差法在数学中的应用 例3利用作差法证明下列问题 1 函数y x2在 0 上是增函数 证明 对于任意的x2 x1 0 有 00 x1 x2 x1 x2 0 即y1 y2 0 函数y x2在 0 上是增函数 2 若a1 0 0 q 1 则等比数列 an 是递减数列 证明 a1 0 0 q 1 an 1 an a1qn a1qn 1 a1qn 1 q 1 0 n n 故等比数列 an 是递减数列 反思与感悟 作差法判断函数的增减性在数学中有着广泛的应用 跟踪训练3设等差数列 an 的公差为d 若数列 为递减数列 则a d0c a1d0 设bn 则bn 1 由于 是递减数列 则bn bn 1 即 y 2x是单调增函数 a1an a1an 1 a1an a1 an d 0 a1 an an d 0 即a1 d 0 a1d 0 答案 解析 类型三作差法在实际问题中的应用 例4一般的人 下半身长与全身长的比值在0 57 0 60之间 当这个比值越接近黄金分割值0 618时 人的身材就越好 设某人下半身长为b cm 全身长为a cm 请问这个人穿上m cm 的高跟鞋后 下半身长与全身长的比值会增加吗 解答 已知a b m都是正数 且a b 则 a b m都是正整数 且a b m 0 m a 0 a 0 a b 0 即穿上高跟鞋后 下半身长与全身长的比值会增加 反思与感悟 用数学方法解决实际问题 通常要先把条件目标用式子表示出来 把问题抽象成数学模型 再予以解决 跟踪训练4甲 乙两人同时从a地出发沿同一路线走到b地 所用时间分别为t1和t2 甲有一半时间以速度m行走 另一半时间以速度n行走 乙有一半路程以速度m行走 另一半路程以速度n行走 且m n 1 令路程为1 请用m n表示出t1和t2 解答 2 判断谁先到达b地 解答 故t1 t2 即甲先到达b地 当堂训练 a c b d a b c d a b且c d a b 0 c d 0 a c b d 0 a c b d 1 若a b且c d 则a c与b d的大小关系是 答案 解析 1 2 3 a c b d 2 已知m 2 a2 b2 n 2a 4b 2ab 7 且a b r 则m n的大小关系为 1 2 3 m n 2 a2 b2 2a 4b 2ab 7 a2 2a 1 b2 4b 4 a2 2ab b2 2 a 1 2 b 2 2 a b 2 2 0 m n 答案 解析 m n 3 已知a 1 试比较与1 a的大小 1 2 3 解答 1 2 3 1 2 3 规律与方法 1 比较大小 1 步骤 作差 变形 判断符号 下结论 2 关键点 变形 是作差比较