2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解

2023年广东省普通高中学业水平合格性考试

数学

（时间：90分钟，总分:150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合M={°,2},N={TQ1},则MDN=（）

A{0,1}B.{0,1,2)

C.{-1,0,1,2)D.{-1,0,1}

2.下列函数中，在其定义域上是增函数的是（)

A./(X)=-XB./(x)=f

C./(x)=3vD./(x)=~

3.已知X、y>0,且Xy=36,则尤+y的最小值是（）

A.10B.12C.13D.15

4.不等式（x-5）（x+2）>0的解集是（）

人.{工|工<-2或尢>5}B.{x∣x<-5或x>2}

C{x∣-2<x<5}D.{x∣-5<x<2}

5已知向量4=（2,0）,Z?=（—1,一2）,则〃+/?二=()

A.（1,2）B.(1,-2)

C.（2,1）D.(-3,2)

6二.下列函数可能是对数函数的是（）

-oΓ----------ɪ

;一

δΓɪ

7.己知角α的顶点与原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边经过P(1,∖Λ^),则tana的值为()

A6B,昱C.

D.√3

2

23

8.某人连续投篮两次,则他至少投中一次的对立事件是()

A.至多投中一次B.两次都投中

C.只投中一次D.两次都没投中

要获得/(x)=Sin(X+3],只需要将正弦图像(

9.)

向左移动,个单位向右移动,个单位

AB.

66

71π

C.向左移动一个单位D.向右移动m个单位

66

10.已知a和夕是两个不同平面，A：a!!β,B:a和4没有公共点，则A是8的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.已知函数/(x)=,若a=∕(±),则/(a)的值是()

11

A—2B.-1C.I—nD.—2

12.若/+/=。2,则见瓦。三个数称之为勾股数，从3,4,12,13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是()

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.

13.已知复数z=T+(m-2)i,要让Z为实数，则实数机为.

14.函数/(x)=CoS2x的最小正周期是.

15.棱长为2的正方体的内切球的直径为.

16.已知向量a和人的夹角为90,忖=2,W=Q,则.

17.己知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500,选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取

27人，则高二抽取的人数为.

18.函数/U)是偶函数，当x≥0时，/(X)=X(1+Λ),则/(—D=.

三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，

证明过程和演算步骤.

19.在..ABC中，内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,b=2,c=」-,6=60.

3

⑴求C；

(2)求a.

20.甲和乙射箭，两人比赛的分数结果如下：

甲868659

乙6778104

求甲和乙分数的平均数和方差，并说明甲和乙发挥的情况.

21.某企业十年内投资一个项目，2022年投资200万，之后每一年的投资额比前一年增长10%.

(1)求该企业在2024年该项目的头投资金额；

(2)该企业在哪一年的投资金额将达到400万元？(参考数据：log∣.∣2=7.4)

22.如图，圆的直径为AB=4,直线BA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点.

P

(1)证明BCL面PACi

(2)若尸A=20,AC=2,求PB与面以C的夹角.

2023年广东省普通高中学业水平合格性考试

数学

(时间：90分钟，总分:150分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合”={&i2},N={T°,1},则MDN=()

A.{0,1}B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2)D.{-1,0,1}

【答案】C

【分析】利用并集的定义可求得集合MUN.

【详解】因为集合M={0,l,2},N={-l,0,l},因此，MUN={-1,0,1,2}.

故选：C.

2.下列函数中，在其定义域上是增函数的是()

A./(X)=-XB./(x)=f

c./(X)=3ΛD./(x)=5

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，函数/(X)=-X在定义域R上为减函数，A不满足条件；

对于B选项，函数/(X)=/定义域R上不单调，B不满足条件；

对于C选项，函数/(x)=3'在定义域R上为增函数，C满足条件；

对于D选项，函数/(x)=L在定义域{x∣XH0}上不单调，D不满足条件.

X

故选：C.

3.已知X、y>(),且孙=36,则χ+y的最小值是()

A.10B.12C.13D.15

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得χ+y的最小值.

【详解】因为X、y>0,且孙=36,由基本不等式可得χ+y≥2而=12,

当且仅当X=y=6时，等号成立，故X+y的最小值是12.

故选：B.

4.不等式(x—5)(x+2)>0的解集是()

A.{x∣x<-2或x>5]8.{划》<一5或%>2}

C.{x∣-2<x<5}D.{x∣-5<x<2}

【答案】A

【分析】根据二次不等式与二次函数图象的关系得结论.

【详解】y=(x-5)(x+2)的图象是开口向上的抛物线,它与X轴的两交点分别是(-2,0),(5,0),

不等式的解为x<-2或x>5,

故选：A.

5.已知向量α=(2,0),人=(-1,-2),则α+方=()

A.(1,2)B.(1,-2)

C.(2,1)D.(-3,2)

【答案】B

【分析】由向量加法的坐标运算计算.

【详解】由题意“+b=(2—1,0—2)=(1,—2),

故选：B.

6,下列函数可能是对数函数的是()

【分析】利用对数函数的图象可得合适的选项.

【详解】对数函数的定义域为(0,+8),ABCD四个选项中最有可能是对数函数的是A选项.

故选：A.

7.已知角α的顶点与原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边经过P（l,√i）,则Iana的值为（）

A.BB.3C,ɪD.√3

232

【答案】D

【分析】根据正切函数的定义计算.

【详解】由题意tana=

1

故选：D.

8.某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（）

A.至多投中一次B.两次都投中

C只投中一次D.两次都没投中

【答案】D

【分析】根据对立事件的定义判断.

【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中，因此选项D正确.

故选：D.

9.要获得/（x）=Sin[X+:],只需要将正弦图像（）

A.向左移动Z个单位B.向右移动W个单位

66

7171

C.向左移动一个单位D.向右移动一个单位

66

【答案】A

【分析】根据三角函数图象变换的概念判断.

【详解】把y=sinx的图象向左平移[个单位，所得图象的函数解析式为y=sin（x+L）.

66

故选：A.

10.已知a和夕是两个不同平面，A-.allβ,B:a和“没有公共点，则A是8的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据面面平行的定义判断.

【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此A是B的充要条件.

故选：C.

H.已知函数=若"=U则/(α)的值是()

11

A—2B.—1C.—D.—

102

【答案】D

【分析】根据分段函数的定义求值.

［详解］a=/(A)=Ig5=T,/(«)=/(-1)=2-1=1.

故选：D.

12.若/+。2=。2,则。乃,C三个数称之为勾股数，从3,4,12,13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是()

【答案】B

【分析】用列举法写出所有基本事件，得出的逆反应概率事件的基本事件，计数后计算即得.

【详解】从3,4,12,13中任取两个的基本事件有(3,4),(3,12),(3,13),(4,12),(4,13),(12,13)共6个,

其中能和5组成勾股数的有(3,4),(12,13)两个基本事件，

所以所求概率为P=§='.

故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.

13.已知复数z=T+(m—2)i,要让Z为实数，则实数机为.

【答案】2

【分析】由复数的定义求解.

【详解】Z为实数，则加一2=0，m=2∙

故答案为：2.

14.函数/(x)=COS2x的最小正周期是.

【答案】兀

_2π

【分析】根据周期公式T=L即可求出函数的周期.

【详解】解：/(x)=cos2x,

Qa)=2,

.∙.T=-=π,即函数/(x)=CoS2x的最小正周期是".

故答案为：兀.

15.棱长为2的正方体的内切球的直径为.

【答案】2

【分析】根据正方体的几何性质可得结果.

【详解】棱长为2的正方体的内切球的直径为2.

故答案：2.

16.已知向量α和b的夹角为90，忖=2,W=G,则α力=.

【答案】0

【分析】利用平面向量数量积的定义可求得。的值.

【详解】由平面向量数量积的定义可得α∙b=W∙∣4cos90=0.

故答案为：0.

17.已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500,选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取

27人，则高二抽取的人数为.

【答案】9

【分析】由分层抽样的定义按比例计算.

450

【详解】由题意高二抽取的人数为---------------×27=9.

400+450+5∞

故答案为：9.

18.函数AX)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x(l+x),则/(—1)=.

【答案】2

【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.

【详解】因为当x≥0时，/(x)=x(l+x),

所以当x<0时，-x>0,

所以JD=-X(I-χ),

函数/(χ)是偶函数，

所以/(X)=/(-%)=-ɪ(l-ɪ),

所以/(-1)=1(1+1)=2,

故答案为：2■

三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，

证明过程和演算步骤.

19.在..ABC中，内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,b=2,c=」-,6=60.

3

⑴求C；

(2)求a.

【答案】(I)C=30

_46

3

【分析】(1)利用正弦定理求出SinC,结合大边对大角定理可求得角C的值：

(2)求得A=90，利用勾股定理可求得”的值.

【小问1详解】

Cb空XB

解：由正弦定理可得二一=-一，所以，.「csinB^VxV1.

sinCsinBSinC=---=------=-

b22

因为则0<C<60，故C=30.

【小问2详解】

解：由(1)可知A=180-(B+C)=90,所以,

20.甲和乙射箭，两人比赛分数结果如下:

甲868659

乙6778104

求甲和乙分数的平均数和方差，并说明甲和乙发挥的情况.

【答案】答案见解析

【分析】根据平均数和方差公式可求得甲和乙分数的平均数和方差，结合平均数与方差的大小关系可得出结论.

8+6+8+6+5+9

【详解】解：甲分数的平均数为漏=7,

6

(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2

方差为*=

6

6+7+7+8+10+4=

乙分数的平均数为X乙=---------------=7,

6

(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(4-7)210

方差为*=----------------------------------------------=--,

63

所以，4=花，端＜或，故甲乙分数