高中数学北师大版必修2第一章7.1简单几何体的侧面积作业-1

[学业水平训练]eq\a\vs4\al(1.)圆锥的底面直径为6，高是4，则它的侧面积为()A．12π B．24πC．15π D．30π解析：选C.作圆锥截面如图，高AD＝4，底面半径CD＝3，则母线AC＝5，得S侧＝π×3×5＝15π.eq\a\vs4\al(2.)已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是()A．2S B.eq\f(S,2)C.eq\r(2)S D.eq\f(\r(2),2)S解析：选B.设圆锥的母线长为l，则侧面展开图半圆的半径R＝l.∴S＝eq\f(1,2)πR2＝eq\f(1,2)πl2，∴l＝eq\r(\f(2S,π))，∴圆锥的底面周长C＝πR＝πl＝eq\r(2πS)，∴圆锥的底面半径r＝eq\f(C,2π)＝eq\f(\r(2πS),2π)＝eq\r(\f(S,2π))，∴圆锥的底面积为S′＝πr2＝eq\f(S,2)，故选B.eq\a\vs4\al(3.)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于()A．6 B．2eq\r(3)C.eq\r(3) D．2解析：选A.由主视图可知底面边长为2，高为1，因为三棱柱底面为等边三角形，所以其侧面积S＝6×1＝6.eq\a\vs4\al(4.)正三棱锥的底面边长为a，高为eq\f(\r(6),6)a，则三棱锥的侧面积等于()A.eq\f(3,4)a2 B.eq\f(3,2)a2C.eq\f(3\r(3),4)a2 D.eq\f(3\r(3),2)a2解析：选A.如图所示，VO＝eq\f(\r(6),6)a，OA＝eq\f(a,2)·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),6)a，∴VA＝eq\f(1,2)a，∴S侧＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(1,2)a＝eq\f(3,4)a2，故选A.eq\a\vs4\al(5.)如图所示，有一个圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的点B处的食物．当圆柱的高等于12cm，底面半径为3cm时，蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是()A．12cmB.eq\r(15π)cmC.eq\r(144＋9π2)cmD．18cm解析：选C.如图所示，在圆柱的侧面展开图中，BC的长为底面圆周长的一半，即BC＝eq\f(1,2)×2π×3＝3π，蚂蚁所走路程为AB＝eq\r(122＋（3π）2)＝eq\r(144＋9π2)cm.所以蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是eq\r(144＋9π2)cm.6．一个圆柱的底面面积是S，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．解析：设圆柱的底面半径为r，则πr2＝S，r2＝eq\f(S,π).又因为侧面展开图是正方形，故S侧＝2πr·2πr＝4π2r2＝4π2·eq\f(S,π)＝4πS.答案：4πSeq\a\vs4\al(7.)若圆台的上、下底面半径和母线长的比为1∶4∶5，高为8，则其侧面积为__________．解析：不妨设上、下底面半径和母线长分别为k、4k、5k(k>0)，高为8，如图：则母线l＝eq\r(（4k－k）2＋64)＝eq\r(9k2＋64)，可得：eq\r(9k2＋64)＝5k，解得k＝2，∴上、下底面半径r1＝2、r2＝8，母线长l＝10，因此S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝π×10×10＝100π.答案：100πeq\a\vs4\al(8.)如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．解析：由已知得圆锥的母线：l＝eq\r(62＋22)＝eq\r(40)＝2eq\r(10).该组合体的表面积S＝π×4＋2π×2×6＋π×2×2eq\r(10)＝4π＋24π＋4eq\r(10)π＝(28＋4eq\r(10))π.答案：(28＋4eq\r(10))πeq\a\vs4\al(9.)一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．解：如图所示，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3，在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝eq\r(32＋42)＝5.在旋转生成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π·42＝16π，S2＝2π·4·2＝16π，S3＝π·4·5＝20π，故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.eq\a\vs4\al(10.)直四棱柱的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q1、Q2，求它的侧面积．解：设直四棱柱的底面边长为a，侧棱长为l，如图，S侧＝4al.∵过AA1、C1C与过B1B、D1D的截面都为矩形，设eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Q1＝AC·l，,Q2＝BD·l，))即AC＝eq\f(Q1,l)，BD＝eq\f(Q2,l).又∵AC⊥BD，∴(eq\f(AC,2))2＋(eq\f(BD,2))2＝a2，即(eq\f(Q1,2l))2＋(eq\f(Q2,2l))2＝a2.∴4a2l2＝Qeq\o\al(2,1)＋Qeq\o\al(2,2)，∴2al＝eq\r(Qeq\o\al(2,1)＋Qeq\o\al(2,2)).∴S侧＝4al＝2eq\r(Qeq\o\al(2,1)＋Qeq\o\al(2,2)).[高考水平训练]eq\a\vs4\al(1.)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：选B.设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为6a2.三棱锥D1­AB1C是棱长为eq\r(2)a的正四面体．SD1­AB1C表＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，所以eq\f(SD1­AB1C表,S正方体表)＝eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).eq\a\vs4\al(2.)一个正四棱台上、下两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面面积之和，则这个棱台的高为________．解析：如图，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1O、M1M、O1M1、OM，则M1M为斜高．过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1，S侧＝4×eq\f(1,2)(m＋n)·M1M，S上底＋S下底＝m2＋n2.由已知得2(m＋n)M1M＝m2＋n2，∴M1M＝eq\f(m2＋n2,2（m＋n）).在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝eq\f(1,2)(n－m)，∴M1H＝O1O＝eq\r(M1M2－MH2)＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m2＋n2,2（m＋n）)))\s\up12(2)－\f(1,4)（m－n）2)＝eq\f(mn,m＋n).答案：eq\f(mn,m＋n)3．圆台的母线长为2a，母线所在直线与轴所在直线的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．解：不妨设圆台上底面半径为r，下底面半径为2r，如图作出圆台的轴截面，并延长母线交于S，∠ASO＝30°.在Rt△SA′O′中，eq\f(r,SA′)＝sin30°，则SA′＝2r.在Rt△SAO中，eq\f(2r,SA)＝sin30°，则SA＝4r，有SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a，所以两底面面积之和为S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.综上，圆台两底面半径分别为a，2a，两底面面积之和为5πa2.eq\a\vs4\al(4.)正四棱台的两底面边长分别是a和b(a<b)．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若正四棱台的侧面积等于两底面积之和，求它的高．解：(1)如图所示，设O′，O分别为上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．由题意知，∠EC1C＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O′＝eq\f(\r(2),2)(b－a)．在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝eq\f(\r(2),2)(b－a)，又EF＝CE·sin45°＝eq\f(1,2)(b－a)，所以C1F＝eq\r(C1E2＋EF2)＝eq\f(\r(3),2)(b－a)，所以S侧＝eq\f(1,2)(4a＋4b)×eq\f(\r(3)