【初高中】四川省南江四中高一数学衔接教材 三角形的“四心”.doc_第1页
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四川省南江四中高一数学初高中衔接教材：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图2图1如图1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 d、e、f分别为三边bc、ca、ab的中点，求证 ad、be、cf交于一点，且都被该点分成2：1.证明 连结de，设ad、be交于点g，d、e分别为bc、ae的中点，则de/ab，且，且相似比为1：2，.设ad、cf交于点，同理可得，则与重合， ad、be、cf交于一点，且都被该点分成.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 例2 已知的三边长分别为，i为的内心，且i在的边上的射影分别为，求证：.证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，同理，bd=bf，cd=ce.即.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知 o为三角形abc的重心和内心.求证 三角形abc为等边三角形.证明 如图，连ao并延长交bc于d.o为三角形的内心，故ad平分，（角平分线性质定理）o为三角形的重心，d为bc的中点，即bd=dc.，即.同理可得，ab=bc.为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图） 例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，ad与be交于h点.求证 .证明 以ch为直径作圆，在以ch为直径的圆上，.同理，e、d在以ab为直径的圆上，可得.，又与有公共角，即.过不共线的三点a、b、c有且只有一个圆，该圆是三角形abc的外接圆，圆心o为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习1求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2 （1） 若三角形abc的面积为s，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_;（2）若
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