山东专升高数复习重点材料.doc

山东省普通高等教育专升本高等数学考试要求总要求：考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。（4）掌握函数的四则运算与复合运算。（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（6）了解初等函数的概念。（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x，x+，x-）时函数的极限。（4）掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。（6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。（2）掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型。（3）掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。二、一元函数微分学（一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。（二）中值定理及导数的应用（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。（2）熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/ ”、“0”、“-”、“”、“”和“”型未定式的极限方法。（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。（6）会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。三、一元函数积分学（一）不定积分（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。（2）熟练掌握不定积分的基本公式。（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。（二）定积分（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。（2）掌握定积分的基本性质。（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法。（4）掌握牛顿莱布尼茨公式。（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。（6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积。四、向量代数与空间解析几何（一）向量代数（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的条件。（二）平面与直线（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。（2）会求点到平面的距离。（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。五、多元函数微积分（一）多元函数微分学（1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）。会求二元函数的定义域。（2）理解偏导数、全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件。（3）掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。（4）掌握复合函数一阶偏导数的求法。（5）会求二元函数的全微分。（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所确定的隐函数z=z（x，y）的一阶偏导数的计算方法。（7）会求二元函数的无条件极值。（二）二重积分（1）理解二重积分的概念、性质及其几何意义。（2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。六、无穷级数（一）数项级数（1）理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。（2）掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。（3）掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性。（4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。（二）幂级数（1）了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间。（2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。（3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。七、常微分方程（一）一阶微分方程（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。（2）掌握可分离变量方程的解法。（3）掌握一阶线性方程的解法。（二）二阶线性微分方程（1）了解二阶线性微分方程解的结构。（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。第二部分 学习内容第一章 函数、极限、连续1.1 本章知识要点（一）函数1. 函数的概念（1）定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于每个数，变量y按照一定法则“f”总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作，其中x称为自变量，y也称为自变量，D称为这个函数的定义域。对应于函数的定义域D，因变量y的取值范围称为这个函数的值域，记作R。函数关系的两要素定义域D及对应法则f。（2）函数的表示法：表格法、图形法、解析法（公式法）。（3）分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数。 2、函数的几种特性（1）单调性：若对区间I上任意两点，,且，恒有，则称函数在区间I上是单调增加的；恒有，则称函数在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。（2）奇偶性：设函数的定义域D关于原点对称 ，若对任一，有 ，则称为偶函数 ；若对任一，有，则称为奇函数。偶函数的图形关于 y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数（注以上函数均为非零函数）。（3）有界性：若存在正数M，对任一，有，则称函数在X上有界；否则，无界。有界函数的图形特点是，函数的图形在直线和的之间。（4）周期性：设函数的定义域为D，如果存在一个整数，使得对任一有有，且，则称为周期函数，称为的周期。如三角函数中，和是周期为的周期函数，和是周期为的周期函数。3复合运算与复合函数 设函数，若函数的值域全部或部分的包含在函数的定义域之内，则通过中间变量，y是x的复合函数，记做。注意：和构成复合函数的条件是：函数的值域必须含在的定义域内，即。否则，不能构成复合函数。4初等函数 （1）基本初等函数幂函数： 指数函数： ，定义域为，通过点（0，1），值域为，当时为严格单增函数；当时为严格单减函数。对数函数： ，它是指数函数的反函数。它的定义域为，值域为。当时为严格单增函数，当时为严格单减函数。图形位于y轴的右方，且通过点（-1，0），自然对数为。三角函数：正弦函数 ，余弦函数 ，正切函数 ，余切函数 ，正割函数 ，余割函数 。反三角函数：反正弦函数 ，反余弦函数 ，反正切函数 ，反余切函数 。幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数。（2）初等函数由常数和基本初等函数记过有限次四则运算和有限次复合所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。分段函数一般不是初等函数。不是初等函数的函数统称为非初等函数。例如，符号函数，取整函数x都是非初等函数。但也有分段函数却能用一个解析式来表示，如函数 可以写成，因而它是一个初等函数。（二）极限1. 数列的极限定义：对于，当时，恒有成立，则称数列收敛，并且以为极限，记作： （或，）如果数列没有极限，则称数列是发散的。定理1（唯一性） 若数列收敛，则其极限是唯一的。定理2（有界性）收敛数列一定有界。注逆命题不成立，有界数列未必收敛。定理3（保号性）如果，且（或），那么存在正整数，当时，都有（或）。推论：如果，如果数列从某项起有（或），那么有（或）定理4 单调有界数列必收敛。2函数的极限（1）函数极限的“”定义： 对于，当时，总有，则称常数A为函数当时的极限，记作：。（2）函数极限的“”定义：对于，当时，总有，则称常数A为函数当时的极限，记作：。（3）左（右）极限： 对于，当（）时，总有，则称常数A为函数当从x从左（右）侧趋于时的极限，记作（）定理1 的充要条件为定理2（保号性）若，A0(A0),则存在，当时，（）。定理3 若在的某一去心邻域内，（）且,则().3. 无穷大与无穷小（1）无穷小的定义： 若，则称为（）时的无穷小。定理1 的充要条件为，其中（2）无穷大的定义： 对于，当 时，总有，则称当（）时为无穷大，记作定理2 如果，则；反之，如果为无穷小，则为无穷大。即，无穷小和无穷大互为倒数关系。（3）无穷小的比较： 设，则（1） 若，则称是比高阶的无穷小，记为（2） 若，则称是比低阶的无穷小。（3） 若，（）,则称与是同阶无穷小。（4） 若，则称与是等价无穷小，记为。（5） 若,(,)，则称是x的k阶无穷小。（4）无穷小的性质：（1） 有限个无穷小的和，差，积是无穷小。（2） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。定理 3 与是等价无穷小的充要条件：定理4 （等价无穷小代换定理）：若，且存在，则有=。4. 极限运算法则：定理1（极限四则运算） 设及存在，则（1）（2）（3）。推论：（1），（2） 定理2（复合函数的极限运算）设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域有定义，若，且存在，当时，有，则 5. 两个重要极限 定理1 （夹逼准则）若数列满足（1） 从某项起，当时有（）（2） ，则数列极限存在，且 。定理2 单调有界原理：单调有界数列必有极限。两个重要极限：（1），（2） 或。（三）连续1. 定义：设函数在点的某邻域内有定义，若或，则称函数在点连续。2. 间断点：若函数在点点不连续，则称为的间断点。3. 第一类间断点： 左、右极限都存在的间断点；（1）左、右极限存在且相等，称为可去间断点；（2）左、有极限存在但不相等，称为跳跃间断点。4. 第二类间断点：不是第一类间断点的间断点称为第二类间断点。常见的第二类间断点有：无穷间断点和振荡间断点。5连续函数的运算：定理1：设函数和均在处连续，则它们的和、差、积、商均在连续。定理2：如果函数在区间I上连续且单调递增（递减），则其反函数在其对应的区间也是连续且且单调递增（递减）。定理3：（复合函数的连续性）设函数是由函数与函数复合而成，若函数在处连续且，函数在处连续则函数在处连续5. 初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。6. 闭区间上连续函数的性质定理9 （有界、最大值、最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上必有界取得最大值和最小值。定理10（介值定理）设在a,b上连续，且，若c是介于与之间的任意数，则至少存在一点，使得。定理11（零点定理）设在a,b上连续，且，则至少存在一点，使得。（四）渐近线1. 渐近线定义：给定函数，若（1），则称为的水平渐近线（2），或时有，则称为的铅垂渐近线。（3）若 ； 进一步，则称直线 为函数的斜渐近线第二章 导数和微分2.1本章知识要点（一）导数的定义及概念1. 定义：设 在点的某邻域内有定义， ，对于函数增量，如果极限存在，称函数在点可导，并称极限在点的导数，记作，或。注：导数定义的等价形式；2. 左导数: 或 右导数: 或 3. 定理1：函数在点处可导的充分必要条件是点左、右导数都存在且相等。4. 导数的几何意义：函数在点的导数，表示曲线上点处切线的斜率。曲线上点处切线方程为：，法线方程为：5. 定理2：若函数在点可导，则必在点连续。注：（1）函数可导一定连续，但连续不一定可导；（2）如果函数在某一点不连续，则在该点一定不可导；（3）可导是连续的充分条件，而连续则是可导的必要条件。（二）求导公式与法则1基本初等函数的导数公式常量函数：幂函数：指数函数： ，对数函数： ，三角函数： ， ， ，反三角函数：，2. 函数和、差、积、商的求导法则：设均在点x处可导，则；。 3. 反函数求导法则： 设函数在区间内单调、可导且，则它的反函数在相应的区间内也可导，且 或4. 复合函数的求导法则：如果函数在x点可导，函数在相应的u点可导，则复合函数在x点可导，且或5. 隐函数求导：二元函数方程F（x，y）=0，确定隐函数，求导数。方法：方程两端对x求导，使y为x的函数，利用复合函数求导法则，得到关于y的方程，解出即可。6. 由参数方程确定函数的求导：设参数方程均可导，且严格单调，则有：或；7. 对数求导法则：对数求导法主要用于幂指函数、多因子乘幂型函数求导。幂指函数的导数：两边取对数：两端关于x求导 所以，（三）高阶导数定义：函数在点的邻域内一阶导数存在，如果极限存在，称函数在点二阶可导，并称极限值为在点的二阶导数，记作：，或。类似的，二阶导数的导数称为三阶导数，n-1阶导数的导数称为n阶导数。二阶以上的导数统称为高阶导数。（四）微分 1定义：设函数在点的某邻域内有定义，如果函数增量可表示为：，且只与有关，与无关，是比高阶的无穷小，则称函数在点的微分。记作：或2. 定理：函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且 注：（1）函数可微一定连续，但连续不一定可微；（2）如果函数在某一点不连续，则在该点一定不可微；（3）可微是连续的充分条件，而连续则是可微的必要条件。3微分的四则运算：（1）；（2）；（3）。第三章 微分中值定理及导数的应用3.1本章知识要点（一）中值定理1. 罗尔中值定理 如果函数在区间上连续，在开区间内可导，且，那么至少存在一点，使得。2. 拉格朗日中值定理 如果函数在区间上连续，在开区间内可导，且，那么至少存在一点，使得或推论 1若在内可微，且，则为常数。推论2若与在内可微，且，则在内有，其中C为常数。 3.了解柯西中值定理。（二）洛必达法则1. 定理（型） 设函数及满足：当时，函数及都趋于零；在点a的某去心领域内，及都存在且存在（或为无穷大）；则 2. 定理（型） 设设函数及满足：当时，函数及都趋于无穷；在点a的某去心领域内，及都存在且存在（或为无穷大）；则 注：以上两个定理在时仍适用。（三）函数的性态1函数单调性的判别法设函数在上连续，在内可导，若在内，则函数在上单调增加（减少）。定理1 （极值的必要条件） 设函数在点处可导，且在处取得极值，则。注： （1）导数为零的点不一定是极值点；（2）导数不为零的点一定不是极值点； （3）极值点处未必导数存在。定理 2 （极值的第一充分条件） 设函数在的某一领域内连续，去心邻域可导，如果在该领域内：当时，；当时，则在在处取得极小值。当时，；当时，则在在处取得极大值。当或时，不改变符号，则在处不取得极值。定理 3 （极值的第二充分条件） 设函数在的某一领域内二价可导，且，而，则当时，在处取得极小值。当时，在处取得极大值。注：若，则可能存在极值，也可能不存在极值。2. 函数最值的求法设在a,b上连续，是的驻点或使不存在的点，则中最大（小）者为在a,b上的最大（小）值。3. 凹凸性的判定方法定理 设在a,b上连续，在（a,b）内二阶可导，若在(a,b)内,则曲线在a,b上是凹的.若在(a,b)内,则曲线在a,b上是凸的.4拐点的判定方法设函数在的某一领域内二阶可导,且(或不存在),若在该领域内:在点的左右两侧异号,则是曲线的拐点.在点的左右两侧异号,则不是曲线的拐点.注： （1）二阶导数为零的点不一定取得拐点；（2）二阶导数不为零的点一定不能取得拐点； （3）拐点处未必二阶导数存在。第四章 不定积分4.1本章知识要点（一）原函数与不定积分的概念1原函数：如果在区间I上，或，则称F(x)是f(x)在区间I上的一个函数。2. 原函数存在定理： 区间I上的连续函数一定有原函数。3. 不定积分：f(x)在区间I上的原函数的全体，称为f(x)在区间I上的不定积分，即若F（x）是f（x）在区间上的任一原函数，则4. 不定积分的性质（1）积分与微分互为逆运算：，或，或。（2）线性性质 （二）求不定积分的基本方法1、基本积分表2、第一换元法（凑微分法） 设f（u）具有原函数，且可导，则 一般：3、第二换元法（变量代换法）设是单调、可导的函数，且，函数具有原函数，则有：一般：4、分部积分法：第五章 定积分及其应用5.1本章知识要点（一）定积分概念与性质1. 定积分注：（1）定积分的积分值只与被积函数、积分区间有关。与积分变量的符号无关，即：（2）规定： 2. 可积的条件：定理1 函数闭区间上连续一定可积定理2 有界函数且只有有限个间断点的函数一定可积。 或函数在区间上存在有限个第一类间断点一定可积。定理 3 函数可积在区间上一定有界。注： （1）函数在区间有界不一定可积。（2）函数在区间上无界一定不可积。3. 定积分的几何意义（1）若，的几何意义是位于x轴上方的曲边梯形的面积；（2）若，是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反值；一般，表示曲边梯形面积的代数和，位于x轴上方取正，下方取负。4. 定积分的性质（1） 线性性质：（2） 可加性：对于任意都有（3）（4） 不等式性质：若在a，b上，恒有，则（5） 保号性：若在a，b上，恒有则（6） 绝对值性质： （7） 定积分的估值定理 若在a，b上的最大值和最小值分别M,m，则 （8） 定积分的中值定理 设在区间a，b上连续，则存在使 （二）定积分的计算1. 微积分基本定理（1）变上限的积分函数及其导数定理：定理1. 如果函数在区间连续，则积分上限函数在可导，并且。进一步有公式： 定理2：如果函数在区间连续，则函数 就是在区间的一个原函数。（2）牛顿莱布尼茨公式：定理3：如果函数是连续函数在区间的原函数，则。2定积分的计算方法（1）换元法 定理：设函数在区间a,b连续，函数满足（1）在区间上可导，且连续；（2），当时，则（2）分部积分法3反常积分 （1）无穷限的反常积分： 在区间连续=，若极限存在则收敛，否则发散。 （2）无界函数的反常积分 函数在区间连续，在b处无界 ，若极限存在则收敛，否则发散。4. 定积分的应用（1）平面图形的面积（a）曲线，及直线，（ab）且所围图形的面积：（b），及直线，且所围图形的面积：(2)旋转体的体积（a）由曲线，直线，（ab）及x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积：（b）由曲线，直线及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积：第六章 空间解析几何与向量代数6.1本章知识要点（一）向量及其线性运算、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量，例如位移、速度等，记做。2、向量的线性运算 （1）向量的加减法：三角法则和平行四边形法则以及加减法的交换律和结合律、数乘运算。 （2）空间直角坐标系及向量表示法。 （3）向量的线性运算：设，为常数，则 3、向量的模、单位向量，方向角 （1）模：向量的长度称为模，记为。设，则 （2）单位向量：，且 （3）非零向量与三条坐标轴的夹角称为向量的方向角，记做。其中称为向量的方向余弦，且，。 注：（二）数量积和向量积 1、数量积 （1）定义：设，它们的夹角为，则称为的数量积，记作，进一步有。 （2）运算规律：（a）交换律 (b) 分配律 (c) 结合律 （3）投影 （4）应用：（1）会求两个向量的夹角； （2）会求向量在另外一个向量上的投影 （3）两个向量平行的充要条件： 2、向量积 （1）定义：设，它们的夹角为，则称为的向量积，若满足： (a) (b) 且构成右手坐标。作，且。 （2）运算规律：（a） (b) 分配律 (c) 结合律 （3）向量积的应用：（1）求两个向量所围成的平行四边形的面积 即， （2）求与两个向量都垂直的向量 （3）两向量平行的充要条件： （4）两向量平行的另一充要条件：（三）平面方程和直线方程1、平面方程 （1）点法式方程：设垂直该平面的法向量，经过平面上一点，则平面方程为。 （2）一般方程：，其中法向量。2、直线方程 （1）点向式方程：设与该直线平行的向量为，经过直线上一点，则直线方程为。 （2）参数方程：。 （3）方程组形式3、点到平面的距离：已知点，平面，则点到平面的距离：4、直线与平面的关系 （1）直线与直线的夹角： 设直线：和直线：它们的方向向量分别为，则直线与直线的夹角满足： （2）平面与平面的夹角： 设平面：和平面：它们的法向量分别为，则平面与平面的夹角满足： （3）平面与直线的夹角： 设平面：和直线： 平面的法向量为，直线的方向向量为，则平面与直线的夹角满足： 第七章 多元函数微分学7.1 本章知识要点（一）.多元函数基本概念1、二元函数的几何图形上是一张曲面。2、极限的定义： 设函数在开区域（或闭区域）内有定义，是的内点或边界点，若对，当时，都有 成立，则称常数为函数当时的极限，记作注意 定义中的是以任意方式趋于点。3、连续 设函数在开区域（或闭区域）内有定义，是的内点或边界点，且，如果，则称函数在点连续。（二） 偏导数 1、偏导数的定义： 设函数在点的某邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果 存在，则称该极限值为函数在点处对的偏导数，记作或。即 类似地，函数在点处对的偏导数定义为，记作或。即 。2、二阶偏导数： 定义：一阶偏导数的偏导数，称为函数的二阶偏导数。，还可记作或，还可记作或，还可记作或，还可记作或 注：，又称为函数的二阶混合偏导数，当和都是连续函数的时候，有：=（三）全微分1、可微的定义： 如果在点的全增量可表示为 ，其中A、B不依赖于而仅与有关，则称函数在点可微分，而称为函数在点的全微分，记作，即 2、可微、偏导数及连续的关系（1）定理2 若函数在点可微，则必在该点连续。 注：（1）若函数在点连续，则未必在该点可微； （2）若函数在点不连续，则一定在该点不可微； （3）若函数在点连续，则该函数在点的两个一阶偏导数不一定存在。 （4）若函数在点存在一阶偏导数，则未必在该点连续。（2）定理3 若函数在点可微，则该函数在点的两个一阶偏导数存在。（3）定理4 若函数在点有一阶连续偏导数，则该函数在该点可微分，且。（四） 多元复合函数求导： 1多元复合函数定义： 若给定函数，在相应的定义域有定义，则称函数为二元复合函数。 2. 多元函数复合求导： （1）若给定函数，关于x存在导数，在点处关于u及v存在连续偏导数，则复合函数在点x的偏导数为： （2）若给定函数，在点关于x及y存在偏导数，在点处关于u及v存在连续偏导数，则复合函数在点的偏导数为： ； （3）若给定函数，在点关于x及y存在偏导数，在点处关于u及v存在连续偏导数，则复合函数在点的偏导数为 ；(五) 隐函数求导 定理1：设函数在点的某邻域内有连续偏导数，且，则方程在点的某邻域内恒有唯一一个单值连续且具有连续偏导数的函数满足，并有。定理2：设函数在点的某邻域内有连续偏导数，且，则方程在点的某邻域内恒有唯一一个单值连续且具有连续偏导数的函数满足，并有 ， 。（五）多元函数无条件极值定理：函数二阶可导，若，令，则（1）当时，在处取极值而且当A0时，取极小值；（2）当无极值；（3）当，无法判别。第八章 多元函数积分学 8.1 本章知识要点 1、二重积分的概念 ：（1）定义：，其中称为被积函数，称为积分表达式，为面积元素，x,y为积分变量，D为积分区域。（2）可积条件：函数在区域D连续，则存在。（3）几何意义：函数，表示以D为底，以曲面为顶的曲边梯形的体积；：若函数，表示以D为底，以曲面为顶的曲边梯形的体积的相反数。 2、二重积分的性质：二重积分的性质基本上与一重积分的性质类似。（1）线性性质： （2）积分区域可加性：（3），其中为区域D的面积。（4）保号性：如果在区域D满足，则 。（5）绝对值性质： （6）估值定理： 设M，m为函数在闭区域D上的最大值和最小值，为区域D的面积，则 （7）积分中值定理： 设函数在区域D连续，为区域D的面积，则在D上至少存在一点，使得： 3、二重积分的计算：。（1）（X-形积分区域）设积分区域D可以用不等式来表示，其中函数在区间连续，则（2）（Y-形积分区域）设积分区域D可以用不等式来表示，其中函数在区间连续，则 （3）在极坐标坐标系中计算二重积分： （1）直角坐标与极坐标的变换关系：， （2）面积积分元素的关系 （3）直角坐标与极坐标的积分变换公式： 第九章 无穷级数9.1本章知识要点（一）数项级数1.常数项级数的概念与性质（1）常数项收敛的定义： 设级数，令，若极限存在，则称收敛，否则发散。（2）级数收敛的性质：（1）若收敛与有相同的敛散性，若收敛时且有（2）若与都收敛，则收敛；若一个收敛另一个发散，则发散；若两个发散则无法判别。（3）增加、去掉、改变级数的前有限项不影响级数的收敛性（4）若级数收敛，则任意加括号仍收敛（5）若级数收敛，则2. 正项级数敛散性的判定（1）定义：若，则称为正项级数（2）比较判别法定理1（比较审敛法）设和均为正项级数，且，则：（1） 若级数收敛，则级数收敛；（2） 若级数发散，若级数发散。定理2（比较判别法的极限形式）：设和均为正项级数，且，则： （1）若，且收敛，则级数收敛； （2）若，且发散，则级数发散。（3）比值判别法：