从一道2009年高考题看高考对能力的考查.doc

本文载于数学辅导报高中教师版2010年3月15日，总第141期，20092010学年度下学期第37期从一道2009年高考题看高考对能力的考查安徽省太湖中学 李昭平 安徽省潜山野寨中学 汪和平 数学高对学生重点考查的能力是空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力及应用意识、创新意识.下面以2009年高考全国卷中的一道解析几何题为例来解读高考数学能力的考查，供参考.题目: 已知椭圆C:(ab0)的离心率为，过右焦点的直线与相交与、两点。() 当的斜率为1时，坐标原点到的距离为，求的值；() 上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由.解析：（I）审题时应将文字语言和符号语言转化为图形语言,画出图形,对于图形想象能力比较强的学生也可以想象图形而不必画出,此处考查考生对图象的想象能力和画图能力.由于直线l斜率是确定的,这样直线l的方程中只有一个参数需要确定,确定了直线即确定了椭圆焦点,再由方程的知识知即可求出的值，考查考生识图能力、抽象概括能力和运算能力.设F（c，0），当l斜率为1时，其方程为xyc=0，O到的l距离为， 故=,c=1.由e=得,= (II) 是否存在的实质是相应直线方程或点的坐标能否求出.由(I)可求出椭圆方程,直线l与椭圆C有两个交点A,B,有两个思路可以考虑:联立直线方程与椭圆方程,可以得出方程的根与系数(斜率存在时用k表示)的关系,并将向量表示的条件也用根表示,从而求出直线方程;由于本题条件涉及线段中点,而直线方程的确定需求出斜率,也可以考虑运用点差法.两种方法都需要考查斜率不存在的情况,此时验证即可.考生在解题之前可以通过试运算来估计两种运算方向的运算量,需要考生分析运算条件,探究运算方向,根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径,确定运算程序,在运算过程中还需要对直线位置的不确定性的代数表示形式进行讨论.运算过程中可能会遇到一定的障碍,但需要分析这些障碍是来自思路设计的错误,还是运算性错误,注意监控运算过程,要登高望远,而不能不识庐山真面目,真缘身在此山中. 空间想象能力、合情推理能力较强的考生可能这样考虑:当直线转动l时,A,B也随之运动,从而以OA,OB为邻边的平行四边形也随之运动变化,该平行四边形的第四个顶点P也随之运动,本题中符合题意的P点应该是P的轨迹与椭圆C的交点.由于直线过椭圆焦点,而焦点在椭圆对称轴上,可以猜想如果存在P点,则P应关于x轴对称!这就使在未解题之前就猜到了结果的可能情况,使解题过程不再盲目,是推理论证能力的较高层次的体现.方向一: C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立.由（I）知C的方程为2x2+3y2=6，设A(x1,y1),B(x2,y2).（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y= k(x1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，且2(x1+ x2)2+3(y1+ y2)2=6，整理得2x12+ 3y12+2x22+3 y22+4 x1 x2+6y1 y2=6.又A,B在C上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6,故2 x1 x2+3y1 y2+3=0将y= k(x1)代入2x2+3y2=6，并化简得: (2+3k2)x26k2x+3k26=0.于是x1+x2=,x1x2=, y1 y2=k2(x11)( x21)=,代入解得: k2=2,此时x1+x2=,于是y1+y2= k(x1+x22)=即P(,)因此当k=时，P(,), l的方程为x+y=0;当时k=时，P(,), l的方程为xy=0.（ii）当l垂直于x轴时，由=(2,0)知C上不存在点P使成立.综上，C上存在点P(,)使成立，此时l的方程为xy=0. 方向二: 设AB中点M(x0,y0),将2x12+3y12=6,2x22+3y22=6相减得:2 (x1+x2) (x1x2)+3(y1+ y2) (y1y2)=0,即:2 x0 (x1x2)+3y0 (y1y2)=0,又,故当x1x2时,有.又点P(2x0,2y0)在椭圆上,所以有8x02+12y02=6,解得x0 =, y0 =,由两点式知直线方程为: xy=0.当x1=x2时经验证不成立.综上，C上存在点P(,)使成立，此时l的方程为xy=0. 可见,对于