【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（基础过关+能力训练）第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理课时训练(1).doc

第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理1. 一个同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆，表示实心圆)：，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2014个圆中实心圆的个数为_答案：61解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2014个圆中实心圆的个数，因此，找到第2014个圆所在的段数很重要，由23626119522014，因此，共有61个实心圆2. 已知f1(x)sinxcosx，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nn*，则f2 014(x)_答案：cosxsinx解析：f2(x)f1(x)cosxsinx；f3(x)f2(x)sinxcosx；f4(x)f3(x)cosxsinx；f5(x)f4(x)sinxcosx，则其周期为4，即fn(x)fn4(x)f2014(x)f2(x)cosxsinx.3. 下列推理正确的是_(填序号) 把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogay； 把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsiny； 把(ab)n与(xy)n类比，则有(xy)nxnyn； 把(ab)c与(xy)z类比，则有(xy)zx(yz)答案：解析：逐个验算可知只有正确. 4. 若等差数列an的公差为d，前n项和为sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项都为正数的等比数列bn的公比为q，前n项积为tn，则数列为等比数列，公比为_. 答案：解析：由a1(n1)，类似地，a1qa1()n1即可得到数列为等比数列，公比为.5. 已知命题：在平面直角坐标系xoy中，abc的顶点a(p，0)和c(p，0)，顶点b在椭圆1(mn0，p)上，椭圆的离心率是e，则.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是_答案：在平面直角坐标系中，abc的顶点a(p，0)和c(p，0)，顶点b在双曲线1(m0，n0，p)上，双曲线的离心率是e，则解析：由正弦定理和椭圆定义，类比双曲线应有.6. 已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m、nn*)，则amn；现已知等比数列bn(bn0，nn*)，bma，bnb(mn，m、nn*)，若类比上述结论，则可得到bmn_答案：解析：等差数列中bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中bnam可以类比等比数列中的，等差数列中可以类比等比数列中的.7. 设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nn且n2时，fn(x)f(fn1(x)_答案：解析：观察知四个等式等号右边的分母为x2，3x4，7x8，15x16，即(21)x2，(41)x4，(81)x8，(161)x16，所以归纳出fn(x)f(fn1(x)的分母为(2n1)x2n，故当nn且n2时，fn(x)f(fn1(x).8. 观察： sin210cos240sin10cos40； sin26cos236sin 6cos36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：猜想：sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：左边sin2cos(30)cos(30)sinsin2sin2cos2sin2右边所以，猜想是正确的9. 在rtabc中，两直角边的长分别为a、b，直角顶点c到斜边的距离为h，则易证.在四面体sabc中，侧棱sa、sb、sc两两垂直，saa，sbb，scc，点s到平面abc的距离为h，类比上述结论，写出h与a、b、c之间的等式关系并证明解：类比得到：.证明：过s作abc所在平面的垂线，垂足为o，连结co并延长交ab于d，连结sd，so平面abc，soab.scsa，scsb，sc平面abc，scab，scsd，ab平面scd， absd.在rtabs中，有， 在rtcds中，有.10. 老师布置了一道作业题“已知圆c的方程是x2y2r2，求证：经过圆c上一点m(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2”，聪明的小明很快就完成了，完成后觉得该题很有意思，经过认真思考后大胆猜想出如下结论：若圆c的方程是(xa)2(yb)2r2，则经过圆c上一点m(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.你认为小明的猜想正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由解：小明的猜想正确(证法1)若x0a，y0b，则因圆c的方程是(xa)2(yb)2r2，m(x0，y0)是圆c上一点，所以直线mc的斜率为k1，设过m(x0，y0)的切线斜率为k，因直线mc与切线l垂直，所以k，所以过m(x0，y0)的切线l方程为yy0(xx0)，整理得(x0a)(xa)(y0b)(yb)(x0a)2(y0b)2.又点m(x0，y0)在圆c上，所以有(x0a)2(y0b)2r2，故此时过m(x0，y0)的圆c的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.若x0a或y0b(同时成立不合题意)，则切线的斜率不存在或为0，可直观看出：|y0b|r或|x0a|r，此时切线方程分别为yy0或xx0，适合(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.综上所述，过m(x0，y0)的圆c的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(证法2)设p(x，y)为切线上任一点，则(x0x，y0y)，(x0a，y0b)又， 0，即(x0x)(x0a)(y0y)(y0b)0.又(x0a)2(y0b)2r2，化简得(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2为所求切线11. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1) 求出f(5)的值；(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3) 求的值解：(1) f(5)41.(2) 因为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，